変数の尺度

統計学の復習　第1章 §1.1　★★ 4つの尺度は「どの変換で意味が変わらないか」で区別する。尺度ごとに使える代表値が決まる

この章は、対策本の第1章（データの集計と表現方法）・第2章（データの分布）・第4章（箱ひげ図）に当たる。

データを集めたあと最初に行う作業は、数値を要約する前に「そのデータで何をしてよいか」を決めることと、分布の形を目で見られる形に直すことである。前者を決めるのが変数の尺度で、後者の道具が度数分布表・ヒストグラム・累積相対度数の折れ線・ローレンツ曲線・箱ひげ図である。2級ではこれらを「表を読んで数値を出す」形で問うが、この章では各道具を式で定義し直し、なぜその手順で数値が出るのかを積分と和の計算で確かめる。

1級との関係は2つある。第一に、度数分布の累積を連続な関数として扱う見方は、そのまま経験分布関数と順序統計量の話になる（数理統計の解説 第5章 §5.4 で扱う）。第二に、分位点（四分位数・パーセント点）を「累積分布関数がその値に達する点」として定義する考え方は、以後の章で $z_\alpha$ や $t_n(\alpha)$ を引くときの考え方と同じである。この章では、ジニ係数と箱ひげ図の外れ値基準を、離散のデータだけでなく密度で与えた分布に対しても計算し、第4章以降の期待値の計算へつなぐ。

質的変数と量的変数

調査や実験で記録する項目を変数と呼ぶ。変数は、値が分類の名札にすぎない質的変数（カテゴリカル変数）と、値が数量を表す量的変数に分かれる。量的変数はさらに、人数や件数のようにとびとびの値しかとらない離散変数と、身長や時間のように区間内の任意の値をとりうる連続変数に分かれる。質的変数に番号を振って記録することはよくあるが、番号を振っただけで量的変数になるわけではない。番号の大小や差に意味があるかどうかは、次の尺度の区別で判断する。

4つの尺度と許される変換

尺度の区別は「データにどんな変換を施しても、データの持つ情報が変わらないか」で定義すると、使える統計量との対応が明確になる。

下の尺度ほど許される変換が少なく、そのぶんデータに含まれる情報が多い。間隔尺度と比例尺度の違いは原点が意味を持つかである。摂氏の $0$ ℃は水の凝固点を便宜的に $0$ と置いただけで「温度が無い」状態ではないので、原点をずらす変換 $x\mapsto ax+b$ が許される。所得の $0$ 円は「所得が無い」状態を表すので、原点は動かせず、単位の取り替え $x\mapsto ax$ だけが許される。

統計量が尺度の上で意味を持つかどうかは、次の性質で判定する。統計量 $T$ が変換 $g$ と可換であるとは、データ $x_1,\dots,x_n$ を $g$ で付け替えてから $T$ を計算しても、$T$ を計算してから $g$ を施しても同じ値になること、すなわち $T(g(x_1),\dots,g(x_n))=g(T(x_1,\dots,x_n))$ が成り立つことをいう。尺度で許される変換すべてと可換な統計量は、値の付け方によらず同じ対象を指すので、その尺度で使ってよい。

この命題から、尺度と代表値の対応が出る。名義尺度で使えるのは最頻値だけで、順序尺度では中央値まで、間隔尺度では平均まで使える。比例尺度では、比 $x_i/x_j$ や、第2章で扱う変動係数（標準偏差を平均で割った量）のように、原点を基準にした量も意味を持つ。$n$ が偶数のとき中央値は中央の2つの値の平均で定義するので、単調変換との可換性は一般に崩れる（確認テスト 1.1-3）。それでも順序尺度で中央値を使うのは、2つの値の間のどの値を代表に選んでも順序の上では同じ位置を指すからである。

確認テスト

オリジナル

1. 1.1-1 次の変数の尺度を答えよ。(a) 血液型　(b) 摂氏の気温　(c) 体重　(d) 成績の5段階評価　(e) 西暦年　(f) 郵便番号
2. 1.1-2 4つの値 $x_1,x_2,x_3,x_4$（$x_3\ne x_4$）について、差の比 $(x_1-x_2)/(x_3-x_4)$ は一次変換 $x\mapsto ax+b$（$a>0$）で変わらないことを示せ。比 $x_1/x_2$ は一次変換で変わりうることを例で示せ。
3. 1.1-3 $n$ が偶数のとき中央値を中央の2値の平均で定める。データ $\{1,3\}$ と $g(x)=x^2$ で、中央値が $g$ と可換でないことを示せ。
4. 1.1-4 満足度を $1$〜$5$ で符号化した2つの群 $A=\{3,3,3\}$、$B=\{1,1,5\}$ がある。(a) 平均と中央値の大小を比べよ。(b) 符号 $5$ を $10$ に付け替えた（順序は保たれる）とき、平均と中央値の大小を比べ直し、何が言えるかを述べよ。