データの集計とグラフ、クロス集計表

統計学の復習　第1章 §1.2　★★ 度数・相対度数とグラフの使い分け。クロス集計表の条件付き相対度数は第13章の独立性の検定の入口

度数表と相対度数

質的変数を集計するには、カテゴリごとに該当する個体の数（度数）を数え、総数 $n$ で割って相対度数を作る。カテゴリ $j$ の度数を $n_j$ とすると相対度数は $f_j=n_j/n$ で、$\sum_j f_j=1$ を満たす。相対度数にしておくと、総数の違う集団どうしを比べることができる。

棒グラフ・円グラフ・折れ線グラフ

3つのグラフは、見せたい量の種類で使い分ける。棒グラフはカテゴリごとの度数（または量）の大小を比べるためのもので、棒の長さが量に比例する。長さで比べるので、縦軸を $0$ から始めないと比が誤って伝わる。円グラフは全体に対する構成比を示すためのもので、カテゴリ $j$ の扇形の中心角は $360^\circ\times f_j$ である。扇形の面積も中心角に比例するので、面積の比がそのまま構成比になる。折れ線グラフは時間の順に並んだ値の変化を示すためのもので、横軸が時間のように順序と間隔を持つときに使う。名義尺度のカテゴリを折れ線でつなぐと、カテゴリの並べ方に依存した見かけの「傾向」が現れるので使わない。

クロス集計表と帯グラフ

2つの質的変数を同時に集計した表をクロス集計表（分割表）と呼ぶ。行の変数のカテゴリを $i=1,\dots,r$、列の変数のカテゴリを $j=1,\dots,c$ とし、両方に該当する個体の数を $n_{ij}$ と書く。行の合計 $n_{i\cdot}=\sum_j n_{ij}$ と列の合計 $n_{\cdot j}=\sum_i n_{ij}$ を周辺度数と呼び、総数を $n=\sum_i\sum_j n_{ij}$ と書く。

クロス集計表から読み取りたいのは、多くの場合「行の変数によって列の変数の分布が変わるか」である。そのためには、行ごとに合計で割った行の条件付き相対度数 $n_{ij}/n_{i\cdot}$ を作り、行どうしで比べる。各行の条件付き相対度数を、長さをそろえた帯の上に積み上げて並べた図が帯グラフである。帯の長さが全行で等しいので、区切りの位置を比べるだけで構成比の違いを読み取ることができる。

行の条件付き相対度数がすべての行で等しいとき、2つの変数は（データの上で）独立であるという。

式 (1.1) の右辺を期待度数と呼ぶ。観測された度数が期待度数からどれだけずれているかを1つの数にまとめ、そのずれが偶然の範囲かを判定するのが、第13章で扱う独立性の $\chi^2$ 検定である。この章では、期待度数が「行の比率をすべて列の周辺の比率にそろえたときの度数」であることを押さえておけばよい。

確認テスト

オリジナル

1. 1.2-1 100人の回答が4つのカテゴリに $45,30,15,10$ 人ずつ分かれた。円グラフの各扇形の中心角を求めよ。
2. 1.2-2 男性60人・女性40人に賛否を尋ね、男性は賛成36・反対24、女性は賛成24・反対16であった。行（性別）の条件付き相対度数、列（賛否）の条件付き相対度数、独立のときの期待度数を求め、この表について何が言えるかを述べよ。
3. 1.2-3 列の条件付き相対度数 $n_{ij}/n_{\cdot j}$ がすべての列で等しいなら、行の条件付き相対度数もすべての行で等しいことを示せ。
4. 1.2-4 上の Simpson のパラドックスの表で、合計の成功率が層ごとの成功率の重み付き平均になることを、度数の式から示せ。重みは何か。