ポアソン分布

$n>\lambda$、$n\ge k$ とする。二項係数の分子 $n(n-1)\cdots(n-k+1)$ を $n^k$ でまとめると、左辺は次の4つの因子の積に分かれる。

$$\binom nk\Bigl(\frac\lambda n\Bigr)^k\Bigl(1-\frac\lambda n\Bigr)^{n-k} =\underbrace{\prod_{j=0}^{k-1}\Bigl(1-\frac jn\Bigr)}_{\text{(a)}}\cdot\underbrace{\frac{\lambda^k}{k!}}_{\text{(b)}}\cdot\underbrace{\Bigl(1-\frac\lambda n\Bigr)^{n}}_{\text{(c)}}\cdot\underbrace{\Bigl(1-\frac\lambda n\Bigr)^{-k}}_{\text{(d)}}.\tag{5.6}$$

実際、$\binom nk\dfrac{\lambda^k}{n^k}=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}\cdot\dfrac{\lambda^k}{k!}$ で、前の分数は $\dfrac nn\cdot\dfrac{n-1}n\cdots\dfrac{n-k+1}n=\prod_{j=0}^{k-1}(1-j/n)$ である。

(a) は $k$ 個の因子の積で、$k$ は $n$ と無関係に固定されている。各因子 $1-j/n$ は $n\to\infty$ で $1$ に近づき、有限個の収束する列の積は極限の積に収束するので、(a) は $1$ に近づく。因子の数が $n$ とともに増えるわけではないので、ここに不定形は現れない。

(b) は $n$ を含まない。

(c) は底が $1$ に近づき指数が $\infty$ に向かうので、そのままでは極限が分からない（$1^\infty$ 型の不定形）。対数をとると $n\log(1-\lambda/n)$ で、$x=\lambda/n$ と置くと

$$n\log\Bigl(1-\frac\lambda n\Bigr)=-\lambda\cdot\frac{\log(1-x)}{-x}.$$

$\log(1-x)$ の $x=0$ での微分係数は $-1$ なので、微分係数の定義から $\dfrac{\log(1-x)-\log1}{x}\to-1$、すなわち $\dfrac{\log(1-x)}{-x}\to1$（$x\to0$）である。よって $n\log(1-\lambda/n)\to-\lambda$ で、指数関数の連続性から (c) は $\mathrm{e}^{-\lambda}$ に近づく。

(d) は指数 $-k$ が固定なので、底が $1$ に近づけば $1$ に近づく。

4つの極限を掛けて $1\cdot\dfrac{\lambda^k}{k!}\cdot\mathrm{e}^{-\lambda}\cdot1$ を得る。

$k=0$ の項は $0$ なので $k\ge1$ から和をとり、$k/k!=1/(k-1)!$ を使って $j=k-1$ と置き直すと

$$E[X]=\sum_{k=1}^\infty k\,\mathrm{e}^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}=\lambda\mathrm{e}^{-\lambda}\sum_{k=1}^\infty\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!}=\lambda\mathrm{e}^{-\lambda}\sum_{j=0}^\infty\frac{\lambda^j}{j!}=\lambda.$$

同じ手順で $k(k-1)/k!=1/(k-2)!$（$k\ge2$）を使うと $E[X(X-1)]=\lambda^2$ となる（確認テスト 5.2-3）。よって $V[X]=\lambda^2+\lambda-\lambda^2=\lambda$ である。確率母関数は $G_X(s)=\sum_k\mathrm{e}^{-\lambda}(\lambda s)^k/k!=\mathrm{e}^{-\lambda}\mathrm{e}^{\lambda s}=\mathrm{e}^{\lambda(s-1)}$ で、$G_X'(1)=\lambda$、$G_X''(1)=\lambda^2$ から同じ結果が出る。

$X+Y=n$ となるのは $X=j$、$Y=n-j$（$j=0,\dots,n$）のいずれかで、これらは排反である。独立性から

$$P(X+Y=n)=\sum_{j=0}^n\mathrm{e}^{-\lambda}\frac{\lambda^j}{j!}\,\mathrm{e}^{-\mu}\frac{\mu^{n-j}}{(n-j)!} =\frac{\mathrm{e}^{-(\lambda+\mu)}}{n!}\sum_{j=0}^n\frac{n!}{j!\,(n-j)!}\lambda^j\mu^{n-j}=\mathrm{e}^{-(\lambda+\mu)}\frac{(\lambda+\mu)^n}{n!}.$$

最後の等号は二項定理である。これは $\mathrm{Po}(\lambda+\mu)$ の確率関数である（確率母関数を使えば $\mathrm{e}^{\lambda(s-1)}\mathrm{e}^{\mu(s-1)}=\mathrm{e}^{(\lambda+\mu)(s-1)}$ の1行で済む）。条件付き確率は、事象 $\{X=j\}\cap\{X+Y=n\}=\{X=j\}\cap\{Y=n-j\}$ を使って

$$P(X=j\mid X+Y=n)=\frac{\mathrm{e}^{-\lambda}\lambda^j/j!\cdot\mathrm{e}^{-\mu}\mu^{n-j}/(n-j)!}{\mathrm{e}^{-(\lambda+\mu)}(\lambda+\mu)^n/n!} =\binom nj\Bigl(\frac{\lambda}{\lambda+\mu}\Bigr)^j\Bigl(\frac{\mu}{\lambda+\mu}\Bigr)^{n-j}.\quad\square$$