第1種の過誤と第2種の過誤

統計学の復習　第12章 §12.3　★★★ 第1種の過誤の確率 $\alpha$ は自分で決めるが、第2種の過誤の確率 $\beta$ は真の母数の値ごとに決まり、$n$ を増やすことでしか $\alpha$ を保ったまま小さくすることができない

2種類の誤り

検定の結論と真実の組み合わせは4通りある。

$\alpha$ と $\beta$ は条件が違う確率なので、足して $1$ になる関係はない。$H_0$ が正しいときに棄却しない確率は $1-\alpha$ で、$\beta$ ではない。

第2種の過誤の確率を計算する

$\alpha$ と $\beta$ の扱いは非対称である。$\alpha$ は「$0.05$ にする」と決めればそのとおりになる。$H_0$ が $\mu$ を1つの値に固定しているので、その値のもとで棄却域の確率を $0.05$ に合わせることができるからである。一方、$\beta$ を計算するには「$H_1$ が正しいときの分布」が要るが、$H_1:\mu\ne\mu_0$ は分布を1つに決めない。したがって $\beta$ は、真の $\mu$ の値を1つ指定して初めて計算できる、$\mu$ の関数である。

母分散既知の正規母集団で、$H_0:\mu=\mu_0$、$H_1:\mu>\mu_0$ を有意水準 $\alpha$ で検定する場合に $\beta(\mu)$ を求める。棄却域は $Z=(\bar X-\mu_0)/(\sigma/\sqrt n)>z_\alpha$、$\bar X$ について書けば

$$\bar X>c,\qquad c=\mu_0+z_\alpha\frac{\sigma}{\sqrt n}$$

である。真の母平均が $\mu$ のとき $\bar X\sim\mathrm N(\mu,\sigma^2/n)$ なので、$\bar X$ を真の $\mu$ で標準化して

$$P_\mu(\bar X\le c)=P\!\left(\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\le\frac{c-\mu}{\sigma/\sqrt n}\right)=\Phi\!\left(\frac{\mu_0-\mu}{\sigma/\sqrt n}+z_\alpha\right)$$

を得る。$\delta=(\mu-\mu_0)\sqrt n/\sigma$ と置くと、

$$\beta(\mu)=\Phi(z_\alpha-\delta),\qquad 1-\beta(\mu)=\Phi(\delta-z_\alpha),\qquad \delta=\frac{(\mu-\mu_0)\sqrt n}{\sigma}\tag{12.2}$$

である。両側の対立仮説 $H_1:\mu\ne\mu_0$ で棄却域が $\lvert Z\rvert >z_{\alpha/2}$ のときは、同じ標準化で

$$\beta(\mu)=P_\mu\bigl(-z_{\alpha/2}\le Z\le z_{\alpha/2}\bigr)=\Phi(z_{\alpha/2}-\delta)-\Phi(-z_{\alpha/2}-\delta)\tag{12.3}$$

となる。$Z=(\bar X-\mu_0)/(\sigma/\sqrt n)$ は、真の $\mu$ のもとでは $\mathrm N(\delta,1)$ に従うからである。

図 12.1 は、菓子の例で $\mu_0=200$、$\sigma/\sqrt n=1$、$\alpha=0.05$ の上側検定と、真の母平均 $\mu=202$ の場合を描いたものである。臨界値 $c=201.645$ の右で $H_0$ の分布の下の面積が $\alpha$、左で真の分布の下の面積が $\beta$ である。

$\beta$ を決める4つの要素

式 (12.2) の $\beta=\Phi(z_\alpha-\delta)$ は $z_\alpha$ について増加し、$\delta$ について減少する。このことから $\beta$ の動き方が次のように読み取れる。

1. $\alpha$ を小さくすると $z_\alpha$ が大きくなり、$\beta$ は増える。図 12.1 では縦線が右へ動き、破線の下の左側の面積が広がる。2つの誤りの確率の一方を減らすと、他方が増える。
2. 真の差 $\mu-\mu_0$ が大きいほど $\delta$ が大きく、$\beta$ は小さい。小さな差ほど見逃しやすい。
3. $\sigma$ が小さいほど $\delta$ が大きく、$\beta$ は小さい。
4. $n$ を大きくすると $\delta$ が $\sqrt n$ に比例して大きくなり、$\beta$ は小さくなる。$\alpha$ は自分で決めた値なので、$n$ を変えても変わらない。$\alpha$ を保ったまま $\beta$ を小さくする方法は、$n$ を増やすことである。

検出力 $1-\beta(\mu)$ を $\mu$ の関数として描いたものを検出力曲線と呼ぶ。図 12.2 は、上の上側検定の検出力曲線を $n=36$ と $n=81$ で比べたものである。2本の曲線はどちらも $\mu=200$ で高さ $\alpha=0.05$ を通り、$n$ が大きい方が $\mu>200$ で速く $1$ に近づく。

検出力を指定した値にするための $n$ は、式 (12.2) を $n$ について解いて求めることができる。この逆算は第16章で詳しく扱い、この章では章末の総合問題で1回通す。

確認テスト

オリジナル

1. 12.3-1 次の文の正誤を答えよ。(a) 標本の大きさを増やすと、第1種の過誤の確率は小さくなる。(b) 有意水準を小さくすると、第2種の過誤の確率は大きくなる。(c) $\alpha+\beta=1$ である。(d) 第2種の過誤の確率は真の母数の値によって変わる。
2. 12.3-2 例題 12.3 と同じ設定（$\sigma=6$、$n=36$、$\alpha=0.05$）で、対立仮説を両側 $H_1:\mu\ne200$ にしたとき、真の $\mu=202$ での第2種の過誤の確率を式 (12.3) で求め、片側の場合と比べよ（$\Phi(-0.04)=0.4840$、$\Phi(-3.96)=0.00004$）。
3. 12.3-3 新薬の臨床試験で、$H_0$「新薬は従来薬と効果が同じ」、$H_1$「新薬の方が効果が大きい」とする。次の誤りはそれぞれ第何種の過誤か。(a) 本当は効果が同じなのに、新薬の方が効果が大きいと結論した。(b) 本当は新薬の方が効果が大きいのに、効果に差があるとはいえないとした。
4. 12.3-4 式 (12.2) の検出力 $1-\beta(\mu)=\Phi(\delta-z_\alpha)$ について、(i) $\mu$ について増加すること、(ii) $\mu=\mu_0$ で $\alpha$ に等しいこと、(iii) $\mu>\mu_0$ を固定して $n\to\infty$ とすると $1$ に近づくことを示せ。