棄却域と採択域

統計学の復習　第12章 §12.4　★★★ 有意水準 $\alpha$ の両側検定で $\mu_0$ が棄却されないことと、$\mu_0$ が信頼係数 $1-\alpha$ の信頼区間に入ることは同値である

棄却域を標本平均で書く

棄却域は検定統計量の値の集まりとして決めるが、$\bar X$ の値で書き直すこともできる。母分散既知、$H_0:\mu=\mu_0$、$H_1:\mu\ne\mu_0$ の有意水準 $\alpha$ の検定では

$$\lvert Z\rvert >z_{\alpha/2}\iff \bar X<\mu_0-z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}\ \text{ または }\ \bar X>\mu_0+z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}$$

である。採択域は $\mu_0$ を中心とする幅 $2z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt n$ の区間で、その両外側が棄却域になる。棄却域の端の値を臨界値（棄却限界）と呼ぶ。

例題 12.1 で見たように、統計量が離散型のときは、$H_0$ のもとで棄却域に入る確率を $\alpha$ にちょうど合わせられないことがある。そのときは確率が $\alpha$ を超えない範囲で最も広い棄却域を取り、実際の棄却の確率は $\alpha$ より小さくなる。確率を $\alpha$ にちょうど合わせるために境界の点でくじを引く方法（確率化検定）は、数理統計の解説 第7章で扱う。

区間推定と検定の双対性

検定の採択域と第10章の信頼区間は、同じ不等式の2つの読み方である。

検定は「$\mu_0$ を固定して $\bar x$ が $\mu_0$ の周りの採択域に入るか」を見て、区間推定は「$\bar x$ を固定して $\mu_0$ が $\bar x$ の周りの区間に入るか」を見ている。不等式 $\lvert \bar x-\mu_0\rvert \le e$ は同じで、どちらの文字について解くかだけが違う。片側検定は片側の信頼限界と同じ関係にある（第10章 §10.2 の片側の信頼限界）。$t$ 検定と $t$ 区間についても、$z_{\alpha/2}$ と $\sigma$ を $t_{n-1}(\alpha/2)$ と $s$ に取り替えて同じことが成り立つ（確認テスト 12.4-4）。

確認テスト

オリジナル

1. 12.4-1 母標準偏差 $10$ が既知の正規母集団から $n=25$ の標本を取り、$H_0:\mu=80$、$H_1:\mu\ne80$ を有意水準 $1\%$ で検定する。棄却域を $\bar X$ の範囲で書け（$z_{0.005}=2.576$）。
2. 12.4-2 ある母平均の $95\%$ 信頼区間が $[\,12.4,\ 15.8\,]$ であった。(a) $\mu_0=12,\ 15,\ 16$ のそれぞれについて、有意水準 $5\%$ の両側検定の結論を答えよ。(b) $\mu_0=12$ の有意水準 $1\%$ の両側検定の結論は、この区間だけから分かるか。
3. 12.4-3 硬貨を10回投げ、$H_0:\theta=1/2$、$H_1:\theta>1/2$ を「$X\ge k$ なら棄却」の形で有意水準 $5\%$ で検定する。最小の $k$ と、そのときの実際の棄却の確率を求めよ。
4. 12.4-4 正規母集団で母分散が未知のとき、$T=(\bar X-\mu_0)/(S/\sqrt n)$ を使う有意水準 $\alpha$ の両側検定で $H_0:\mu=\mu_0$ が棄却されないことと、$\mu_0$ が第10章の $t$ 分布による信頼係数 $1-\alpha$ の区間に入ることが同値であることを示せ。