仮説検定とは

統計学の復習　第12章 §12.1　★★★ 母数を1つの値に仮定すると統計量の分布が決まる。観測値がその分布で珍しすぎれば仮定を棄てる、という確率版の背理法

この章は、対策本の第22章（仮説検定の準備）と第23章（平均の検定）に当たる。

第10章では、分布が母数によらない量（ピボット）を作り、その確率の式を母数について解いて信頼区間を組んだ。仮説検定は同じ道具を逆向きに使う。母数の値を1つ仮定すると、統計量の分布が完全に決まる。その分布のもとで観測値がどれだけ珍しいかを確率で測り、珍しすぎれば最初の仮定を棄てる。区間推定が「$\mu$ はどのあたりにあるか」に答えるのに対して、検定は「$\mu$ は特定の値 $\mu_0$ と異なるといえるか」という二択の問いに答える。

前半の5節（§12.1〜§12.5）では、検定の論理・用語・2種類の誤り・棄却域・片側と両側を、母分散が既知の正規母集団という最も簡単な場面で立てる。後半の4節（§12.6〜§12.9）では、母分散が未知の場面に移り、第10章の $t$ 分布を使って1標本の両側・片側の検定と、2標本の検定を組む。

2級の検定問題での誤りは、$p$ 値を「帰無仮説が正しい確率」と読む、片側と両側で臨界値を取り違える、$t$ を使うべき所で $z$ を使う、対応の有無を見落とす、の4つに集中する。この章ではそれぞれがなぜ誤りになるかを、検定の定義から説明する。1級との関係では、第2種の過誤の確率（検出力）を母数の関数として計算すること、区間推定と検定が同じ不等式の2つの読み方であること、の2点が統計数理の検定の大問の出発点になる。一般論は数理統計の解説 第7章で扱う。

見えている差は本物か

ある菓子の袋には内容量 $200\,\mathrm g$ と表示されている。製造工程の記録から、1袋の内容量は標準偏差 $6\,\mathrm g$ の正規分布に従うことが分かっている。36袋を無作為に選んで量ったところ、平均は $\bar x=202.3\,\mathrm g$ であった。この工程の母平均 $\mu$ は $200\,\mathrm g$ からずれているといえるだろうか。

標本平均は標本を取り直すたびに変わる確率変数なので、$\bar x$ が $200$ でなかったというだけでは何も結論することができない。$\mu=200$ であっても、$\bar x$ が $200$ にちょうど一致する確率は $0$ である。問題は「$2.3\,\mathrm g$ のずれが、標本のばらつきで説明できる大きさかどうか」である。

問いを裏返す

$\mu$ の値は分からないので、「$\mu$ はいくつか」を直接問うことはできない。そこで問いを裏返し、「もし $\mu=200$ だとしたら、$\bar x=202.3$ はどれくらい珍しいか」を問う。この問いには答えを計算することができる。$\mu=200$ と値を1つに決めれば、第8章の標本平均の分布と第6章の再生性から

$$\bar X\sim\mathrm N\!\left(200,\ \frac{6^2}{36}\right)=\mathrm N(200,\ 1^2)$$

となり、$\bar X$ のばらつき方が完全に分かるからである。標準化した

$$Z=\frac{\bar X-200}{6/\sqrt{36}}=\bar X-200$$

は標準正規分布に従う。観測値を入れると $z_{\mathrm{obs}}=2.3$ である。$\mu=200$ の世界で $\lvert Z\rvert \ge2.3$ となる確率は、第6章の対称性 $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$ から

$$P(\lvert Z\rvert \ge2.3)=2\{1-\Phi(2.3)\}=2\times(1-0.98928)=0.0214$$

である。$\mu=200$ が正しいなら、今回のずれ以上のずれは約 $2\%$ の確率でしか起こらない。

ここで推論は2通りに分かれる。$\mu=200$ が正しく、約 $2\%$ でしか起きないことがたまたま起きたと考えるか、$\mu=200$ という仮定の方が誤っていると考えるかである。仮説検定は、珍しさの基準をあらかじめ決めておき（たとえば $5\%$）、観測値がその基準より珍しければ後者を選ぶ手続きである。

確率版の背理法

この論理は数学の背理法に似ている。背理法は「仮定から矛盾が出たので仮定は偽」と結論する。検定は「仮定のもとでは滅多に起きないことが起きたので、仮定を疑う」と結論する。矛盾の代わりに「確率が小さい」を使うので、結論が誤っている可能性が残る。仮定が本当は正しいのに棄ててしまう確率がそれで、§12.3 で第1種の過誤と呼ぶ量になる。

仮定する側を帰無仮説 $H_0$、その否定の側を対立仮説 $H_1$ と呼ぶ。菓子の例では

$$H_0:\ \mu=200,\qquad H_1:\ \mu\ne200$$

である。$H_0$ が等号の形をしているのは慣習ではない。上の計算は「$\mu$ を1つの値に決めれば $\bar X$ の分布が決まる」ことに依存していた。$\mu\ne200$ という仮定からは、$\mu$ が $201$ なのか $210$ なのかが決まらないので、$\bar X$ の分布も1つに決まらず、珍しさを計算することができない。したがって、確率を計算する側、すなわち値が1つに決まる側を $H_0$ に置く。

この非対称性から、結論の強さも非対称になる。$H_0$ を棄却したときは「$H_0$ のもとでは滅多に起きないことが起きた」という根拠がある。一方、棄却しなかったときに言えるのは「$H_0$ のもとでも起こりうる値だった」ことだけで、$\mu=201$ のもとでも同じくらい起こりうる値だったかもしれない。棄却しなかったことは、$H_0$ が正しいことの証拠にならない。このため、データで示したい主張は $H_1$ の側に置く。

菓子の例で $\alpha=0.05$ とすると、棄却域は $\lvert Z\rvert >1.960$ で、$z_{\mathrm{obs}}=2.3$ はこれに入る。したがって「有意水準 $5\%$ で、母平均は $200\,\mathrm g$ と異なる」と結論する。

確認テスト

オリジナル

1. 12.1-1 次の2つの文の誤りを指摘せよ。(a)「主張したい『$\mu\ne50$』を帰無仮説に置き、それが棄却されなければ主張が示されたとする。」(b)「$H_0:\mu=50$ が棄却されなかったので、$\mu=50$ であることが示された。」
2. 12.1-2 内容量の母標準偏差が $4\,\mathrm{mL}$ と分かっている飲料で、25本の平均は $498.2\,\mathrm{mL}$ であった。$H_0:\mu=500$、$H_1:\mu\ne500$ を有意水準 $5\%$ で検定せよ。
3. 12.1-3 硬貨を10回投げて表が9回出た。$H_0:\theta=1/2$、$H_1:\theta>1/2$ として、$H_0$ のもとで $X\ge9$ となる確率を求め、有意水準 $5\%$ と $1\%$ での結論をそれぞれ述べよ。
4. 12.1-4 $Z\sim\mathrm N(0,1)$ のとき、規則「$\lvert Z\rvert >z_{\alpha/2}$ なら棄却」で $H_0$ を棄却する確率がちょうど $\alpha$ になることを、$\Phi(-z)=1-\Phi(z)$ を使って示せ。