対応のない2標本 $t$ 検定

統計学の復習　第12章 §12.9　★★★ 等分散ならプールした分散 $S_p^2$ で $t_{n_1+n_2-2}$、等分散を仮定しないなら Welch の近似自由度 $\nu^*$。3群以上で $t$ 検定を繰り返さない

等分散を仮定する場合

2つの母集団 $\mathrm N(\mu_1,\sigma_1^2)$ と $\mathrm N(\mu_2,\sigma_2^2)$ から、互いに独立に大きさ $n_1$ の標本 $X_1,\dots,X_{n_1}$ と大きさ $n_2$ の標本 $Y_1,\dots,Y_{n_2}$ を取る。$H_0:\mu_1=\mu_2$ を検定する。

$\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$（未知）を仮定できる場合は、第9章・第10章で定めたプールした分散

$$S_p^2=\frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$$

を使う。第10章 §10.5 の定理で $\mu_1-\mu_2=0$ と置くと、$H_0$ のもとで

$$T=\frac{\bar X-\bar Y}{S_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}}\sim t_{n_1+n_2-2}\tag{12.6}$$

である。分子は「推定値 $-$ 帰無仮説の値」で、帰無仮説の値 $0$ が見えなくなっているだけである。分母の根号の中が和 $1/n_1+1/n_2$ になるのは、独立な2つの標本平均の差の分散が $V[\bar X-\bar Y]=\sigma^2/n_1+\sigma^2/n_2$ と和になるからである。自由度が $n_1+n_2-2$ なのは、偏差平方和を作るときに2つの標本平均を1回ずつ使うからである。両側検定なら $\lvert T\rvert >t_{n_1+n_2-2}(\alpha/2)$ で棄却する。

等分散を仮定しない場合（Welch の検定）

$\sigma_1^2$ と $\sigma_2^2$ が等しいと仮定できないときは、差の標準誤差を $\sqrt{S_1^2/n_1+S_2^2/n_2}$ で推定した

$$T_W=\frac{\bar X-\bar Y}{\sqrt{S_1^2/n_1+S_2^2/n_2}}$$

を使う。$T_W$ は $H_0$ のもとで厳密には $t$ 分布に従わないが、第10章 §10.5 の近似自由度

$$\nu^*=\frac{\bigl(s_1^2/n_1+s_2^2/n_2\bigr)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}$$

の $t$ 分布で近似される。これを Welch の検定と呼ぶ。

等分散かどうかを先に $F$ 検定で調べ、その結果で2つの方法を切り替える手続きは、第15章で扱うとおり予備検定にすぎず、2段階の手続き全体の有意水準は $\alpha$ にならない。等分散を仮定する根拠が無ければ、初めから Welch の検定を使う方が安全である。$n_1=n_2$ のときは、2つの統計量の値が一致する（確認テスト 12.9-2）。

3群以上で $t$ 検定を繰り返さない

3つの群 A・B・C の母平均がすべて等しいかを調べるために、A と B、B と C、A と C の $t$ 検定を有意水準 $5\%$ で3回行うのは誤りである。3回の検定がもし独立なら、すべての母平均が等しいときに少なくとも1回棄却する確率は $1-0.95^3=0.143$ で、$5\%$ を大きく超える。これを検定の多重性と呼ぶ。3群以上の母平均を一度に比べる方法は、第15章の分散分析である。

確認テスト

オリジナル

1. 12.9-1 2群の大きさがどちらも8、平均が $15.2$ と $13.1$、不偏分散が $4.0$ と $5.0$ のとき、等分散を仮定して $H_0:\mu_1=\mu_2$ を有意水準 $5\%$ の両側検定で調べよ（$t_{14}(0.025)=2.145$）。
2. 12.9-2 $n_1=n_2=n$ のとき、プールした $t$ 統計量 $T$ と Welch の統計量 $T_W$ の値が一致することを示せ。確認テスト 12.9-1 のデータで Welch の近似自由度 $\nu^*$ を求めよ。
3. 12.9-3 4つの群のすべての2群の組で $t$ 検定を有意水準 $5\%$ で行う。組の数を答え、検定が互いに独立だと仮定して、すべての母平均が等しいときに少なくとも1回棄却する確率を求めよ。
4. 12.9-4 $n_1=5$、$s_1^2=16$、$n_2=25$、$s_2^2=1$ のとき、プールした標準誤差 $s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}$ と Welch の標準誤差 $\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}$ を求めて比べよ。等分散の仮定が崩れているのにプールすると何が起こるかを述べよ。