対応のある2標本 $t$ 検定

統計学の復習　第12章 §12.8　★★★ 同じ対象の2回の測定は差をとって1標本の $t$ 検定に戻す。対象ごとのばらつきが差で消えるので、対応を無視した検定より検出力が高い

差をとって1標本に戻す

同じ対象を2つの条件で測ったデータ（同じ人の投薬前と投薬後、同じ試料を2つの方法で測ったもの）を、対応のあるデータと呼ぶ。同じ番号で2つの値の組を作ることができるかどうかで、対応の有無を判定する。対応のあるデータ $(X_i,Y_i)$（$i=1,\dots,n$）では、組ごとの差 $D_i=X_i-Y_i$ を作る。差 $D_1,\dots,D_n$ は独立に $\mathrm N(\mu_D,\sigma_D^2)$ に従うと仮定する。2つの条件の母平均に差が無いことは $\mu_D=0$ と書くことができるので、

$$H_0:\ \mu_D=0$$

を検定すればよい。これは差 $D_i$ を1つの標本とみた1標本の $t$ 検定そのもので、差の標本平均 $\bar D$ と不偏標準偏差 $S_D$（実現値は $\bar d$、$s_d$）を使って

$$T=\frac{\bar D}{S_D/\sqrt n}\sim t_{n-1}\qquad(H_0\text{ のもとで})\tag{12.5}$$

となる。自由度は組の数 $n$ から $1$ を引いた $n-1$ で、データの個数 $2n$ から数えるのではない。2標本の問題を1標本の問題に戻すので、新しい理論は必要ない。第10章 §10.5 の対応のある差の信頼区間と同じ統計量である。

なぜ対応を使うと検出力が上がるか

1つの組の $X$ と $Y$ の分散がどちらも $\sigma^2$、相関係数が $\rho$ のとき、第7章の線形結合の分散の公式から

$$V[D]=V[X]+V[Y]-2\,\mathrm{Cov}(X,Y)=2\sigma^2(1-\rho)$$

である（第10章の総合問題 (1)）。同じ人の前後の値のように、対象ごとの個人差が $X$ と $Y$ の両方に含まれていれば $\rho$ は $1$ に近く、差をとると個人差が消えて $V[D]$ は小さくなる。対応を無視して $X$ の $n$ 個と $Y$ の $n$ 個を独立な2標本とみると、個人差が誤差として残るので標準誤差が大きくなり、検出力が下がる。

確認テスト

オリジナル

1. 12.8-1 次のデータは対応のある2標本か、対応のない2標本か。(a) 同じ10台の車で、2種類の燃料の燃費を測った。(b) 1組の生徒20人と2組の生徒22人の試験の点。(c) 双子8組の、一方に教材A・他方に教材Bを使わせたあとの点。
2. 12.8-2 対応のある10組の差について $\bar d=1.2$、$s_d=1.5$ であった。$H_0:\mu_D=0$、$H_1:\mu_D\ne0$ を有意水準 $5\%$ で検定せよ（$t_9(0.025)=2.262$）。
3. 12.8-3 5人の作業時間を、新しい手順の導入前と導入後に測ったところ、差（前$-$後、単位は分）は $3,\ 1,\ 4,\ 0,\ 2$ であった。新しい手順で作業時間が短くなったといえるかを、有意水準 $5\%$ で検定せよ（$t_4(0.05)=2.132$）。
4. 12.8-4 1組の $(X,Y)$ の分散がどちらも $\sigma^2$、相関係数が $\rho$ のとき、対応を使った $\bar D$ の分散と、独立な $n$ 個ずつの標本から作る $\bar X-\bar Y$ の分散を求めよ。$\rho>0$ のとき、対応を使う方が標準誤差が小さくなることを示せ。