母平均の検定（片側 $t$ 検定）

統計学の復習　第12章 §12.7　★★ 上側なら $T>t_{n-1}(\alpha)$ で棄却する。$\alpha$ を半分にしない。帰無仮説を不等号で書いても、境界の値で第1種の過誤の確率が最大になる

片側の棄却域

$H_1:\mu>\mu_0$ のときは、$\bar X$ が $\mu_0$ より大きいほど $H_1$ の証拠になるので、棄却域を右の裾に置く。$H_0$ のもとで $T\sim t_{n-1}$ なので

$$\text{棄却域：}\ T>t_{n-1}(\alpha),\qquad p=P(T_{n-1}\ge t_{\mathrm{obs}})$$

である。$H_1:\mu<\mu_0$ なら左の裾に置き、棄却域は $T<-t_{n-1}(\alpha)$、$p=P(T_{n-1}\le t_{\mathrm{obs}})$ である。臨界値は $t_{n-1}(\alpha)$ で、両側の $t_{n-1}(\alpha/2)$ と取り違えないように注意する。$t$ 分布表の「上側確率 $0.05$」の列は、片側 $5\%$ と両側 $10\%$ の臨界値である。

帰無仮説を不等号で書く場合

命題 12.6 と同じことが、母分散が未知の $t$ 検定でも成り立つ。

この証明は、$\sigma$ が未知で $T$ の分布が $\mu\ne\mu_0$ では $t$ 分布でなくなる場合にも、分布を計算せずに不等式だけで結論を出している。標本ごとに2つの確率変数の大小を比べ、事象の包含から確率の大小を出す方法である。

確認テスト

オリジナル

1. 12.7-1 ある部品の重さの基準は $10.0\,\mathrm g$ 以上である。25個の平均が $9.4\,\mathrm g$、不偏標準偏差が $1.5\,\mathrm g$ のとき、「基準を下回っている」といえるかを有意水準 $5\%$ で検定せよ（$t_{24}(0.05)=1.711$）。
2. 12.7-2 $n=9$ の標本で $H_0:\mu=\mu_0$、$H_1:\mu<\mu_0$ を有意水準 $1\%$ で検定する。棄却域を $T$ で書け（$t_8(0.01)=2.896$）。
3. 12.7-3 上側の片側 $t$ 検定で、自由度 $15$、$t_{\mathrm{obs}}=2.0$ であった。$t$ 分布表の $t_{15}(0.05)=1.753$、$t_{15}(0.025)=2.131$ から $p$ 値の範囲を答え、有意水準 $5\%$ での結論を述べよ。
4. 12.7-4 $n=12$、$\bar x=52.1$、不偏標準偏差 $3.5$ のとき、$\mu_0=50$ について、上側の片側検定と両側検定をそれぞれ有意水準 $5\%$ で行え（$t_{11}(0.05)=1.796$、$t_{11}(0.025)=2.201$）。