母平均の検定（両側 $t$ 検定）

統計学の復習　第12章 §12.6　★★★ 母分散が未知なら $\sigma$ を $S$ に置き換え、帰無仮説のもとで $T$ が $t_{n-1}$ に従うことを使う。棄却域は $\lvert T\rvert >t_{n-1}(\alpha/2)$

母分散が未知のときの検定統計量

ここまでは母分散 $\sigma^2$ が既知としてきた。実際の問題では $\sigma^2$ も未知であることが多く、$Z=(\bar X-\mu_0)/(\sigma/\sqrt n)$ は計算することができない。第10章と同じく、$\sigma$ を不偏分散 $S^2=\frac1{n-1}\sum(X_i-\bar X)^2$ の平方根 $S$ で置き換えた

$$T=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}\tag{12.4}$$

を検定統計量にする。第10章 §10.3 で示したとおり、正規母集団 $\mathrm N(\mu,\sigma^2)$ からの標本では $(\bar X-\mu)/(S/\sqrt n)$ が自由度 $n-1$ の $t$ 分布 $t_{n-1}$ に従う。$H_0:\mu=\mu_0$ のもとでは $\mu=\mu_0$ なので、

$$T=\frac{\bar X-\mu_0}{S/\sqrt n}\sim t_{n-1}\qquad(H_0\text{ のもとで})$$

である。$t_{n-1}$ の分布は $\sigma^2$ を含まないので、$\sigma^2$ が未知でも $H_0$ のもとでの $T$ の分布は完全に分かっている。これが検定統計量として使える理由である。

$t$ と $z$ の使い分け

$t_{n-1}(\alpha/2)$ はいつも $z_{\alpha/2}$ より大きい。$S$ が標本ごとにぶれる分だけ $T$ の分布の裾が厚くなり、同じ $\alpha$ を保つには臨界値を外へ動かす必要があるからである。$\sigma$ が未知なのに $s$ を代入して $z_{\alpha/2}$ と比べると、臨界値が小さすぎて、$H_0$ が正しいときに棄却する確率が $\alpha$ を超える。たとえば $n=10$ では $t_9(0.025)=2.262$ で、$1.96$ との差を無視することはできない。$n$ が大きくなると $t_{n-1}$ は標準正規分布に近づき（第10章）、$n=100$ では $t_{99}(0.025)=1.984$ で $1.96$ とほとんど変わらない。それでも、問題文が「母分散は未知」「不偏分散が $s^2$」と与えていれば、$t$ 分布を使うのが正しい手続きである。

確認テスト

オリジナル

1. 12.6-1 母分散未知の正規母集団から $n=20$ の標本を取り、$H_0:\mu=\mu_0$ を有意水準 $5\%$ の両側 $t$ 検定で検定する。検定統計量の自由度と臨界値を答え、$z$ の臨界値と比べよ（$t_{19}(0.025)=2.093$）。
2. 12.6-2 $n=16$、$\bar x=48.2$、不偏標準偏差 $s=4.0$ のとき、$H_0:\mu=50$、$H_1:\mu\ne50$ を有意水準 $5\%$ で検定せよ（$t_{15}(0.025)=2.131$）。
3. 12.6-3 $n=16$、$\bar x=48.2$、不偏分散 $s^2=6.25$ のとき、$H_0:\mu=50$、$H_1:\mu\ne50$ を有意水準 $5\%$ で検定せよ。また、$6.25$ を標準偏差と読み違えた場合の $t$ の値と結論を求めよ。
4. 12.6-4 定理 12.7 の検定について、確認テスト 12.4-4 の同値性を使い、「$p$ 値が $\alpha$ 以下」「$\mu_0$ が信頼係数 $1-\alpha$ の $t$ 区間の外にある」の2つが同値であることを説明せよ。