検出力

統計学の復習　第16章 §16.2　★★★ 検出力は「対立仮説が正しいときに $H_0$ を棄却する確率」で、母数の真の値の関数になる。$\alpha$ を下げると下がり、$n$ を増やすと上がる

2種類の誤りと検出力

仮説検定（第12章）では、帰無仮説 $H_0$ を棄却するかどうかを、検定統計量が棄却域に入るかどうかで決める。判断の誤りは2種類あり、第12章 §12.3 で定義したとおり、$H_0$ が正しいのに棄却する誤りが第1種の過誤（確率は有意水準 $\alpha$）、対立仮説 $H_1$ が正しいのに棄却しない誤りが第2種の過誤（確率 $\beta$）である。この節では、第12章で1つの対立仮説の値について計算した $\beta$ を、母数の関数として調べ直す。

$\alpha$ は $H_0$ が正しいという1つの状況で決まる確率なので、研究者が事前に $0.05$ のように決めることができる。これに対して $\beta$ は、$H_1$ のもとで母数の真の値がどこにあるかによって変わり、真の値は分からないので、1つの数として決めることはできない。検出力を論じるときは、必ず「真の値が $\mu_1$ のときの検出力」のように、$H_1$ の中の特定の値を指定する。

片側 $z$ 検定の検出力関数

$X_1,\dots,X_n$ を $\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$ からの無作為標本とし、$\sigma$ は既知とする。$H_0:\mu=\mu_0$、$H_1:\mu>\mu_0$ を有意水準 $\alpha$ で検定する。検定統計量 $Z_0=(\bar X-\mu_0)/(\sigma/\sqrt n)$ が $z_\alpha$ 以上なら棄却する。これを $\bar X$ の言葉に直すと、棄却域は $\bar X\ge c$、$c=\mu_0+z_\alpha\sigma/\sqrt n$ である。

真の平均が $\mu$ のとき、$\bar X\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2/n)$（第6章の線形結合の再生性）なので、$(\bar X-\mu)/(\sigma/\sqrt n)\sim\mathrm{N}(0,1)$ である。棄却する確率は

$$P(\bar X\ge c)=P\!\left(\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\ge\frac{c-\mu}{\sigma/\sqrt n}\right)=1-\Phi\!\left(\frac{\mu_0-\mu}{\sigma/\sqrt n}+z_\alpha\right)$$

となる。$1-\Phi(-w)=\Phi(w)$（第6章）を使って整理する。

両側の式 (16.5) は、$Z_0\ge z_{\alpha/2}$ と $Z_0\le-z_{\alpha/2}$ の確率の和として、片側と同じ計算を2回すれば得られる。$\Delta>0$ では第2項は $\Phi(-z_{\alpha/2}-\Delta\sqrt n)<\Phi(-z_{\alpha/2})=\alpha/2$ で小さく、多くの場合は無視できる。

検出力関数の性質

(16.4) の $\Phi$ は増加関数なので、括弧の中の $\Delta\sqrt n-z_\alpha$ が大きいほど検出力は大きい。このことから次の性質をすべて読み取ることができる。

(1) と (3) をあわせると、$n$ を増やしても有意水準 $\alpha$ は変わらず、変わるのは検出力（$\beta$）の方だということが分かる。$n$ を増やすと $\bar X$ の分布は細くなるが、棄却の境界 $c=\mu_0+z_\alpha\sigma/\sqrt n$ も同じ割合で $\mu_0$ に近づくので、$H_0$ のもとで境界を越える確率は $\alpha$ のまま保たれる。$H_1$ のもとでは $\bar X$ の分布の中心 $\mu$ は動かないまま境界が近づくので、境界を越える確率が上がる。(4) は、$\alpha$ と $\beta$ の間の取引関係である。$n$ を固定したまま第1種の過誤を減らそうとすると、第2種の過誤が増える。両方を同時に減らす方法は、$n$ を増やすか、$\sigma$ を小さくする（測定を精密にする、局所管理を取り入れる）ことである。

図 16.1　片側 $z$ 検定（$\alpha=0.05$）の検出力関数 (16.4)。横軸は効果量 $\Delta$。どちらの曲線も $\Delta=0$ で $\alpha=0.05$ を通る（$n$ を変えても $\alpha$ は変わらない）。$\Delta>0$ では $n=25$ の方が速く $1$ に近づき、検出力が $0.8$（上の破線）に達する $\Delta$ は $n=9$ で $0.83$、$n=25$ で $0.50$ である。

確認テスト

オリジナル

1. 16.2-1 次の文の正誤を答え、誤りなら正しく直せ。(a) 検出力とは、帰無仮説が正しいときにそれを棄却しない確率である。(b) 有意水準を $5\%$ から $1\%$ に下げると、検出力は下がる。(c) 標本の大きさを増やすと、第1種の過誤の確率は小さくなる。(d) 片側 $z$ 検定の検出力関数は、$\mu=\mu_0$ で有意水準に等しい。
2. 16.2-2 $\mathrm{N}(\mu,15^2)$ からの $n=16$ の標本で、$H_0:\mu=100$、$H_1:\mu>100$ を有意水準 $5\%$ で検定する。棄却域を $\bar X$ で表し、$\mu=106$ のときの検出力を求めよ。
3. 16.2-3 16.2-2 と同じ設定で、両側検定（$H_1:\mu\ne100$、有意水準 $5\%$）にしたときの $\mu=106$ での検出力を (16.5) で求め、16.2-2 と比べよ。
4. 16.2-4 (16.4) から命題 16.5 の (1)・(2)・(4) を示せ。