検出力の計算

統計学の復習　第16章 §16.3　★★★ 検出力の条件 $\Delta\sqrt n-z_\alpha\ge z_\beta$ を $n$ について解くと、必要な標本の大きさ $n\ge\{(z_\alpha+z_\beta)\sigma/\delta\}^2$ が出る

必要な標本の大きさ

実験を計画するときは、「平均が $\delta$ だけずれていたら、検出力 $1-\beta$ 以上で見つけたい」という要求を先に決め、それを満たす $n$ を求める。(16.4) で $\mu-\mu_0=\delta>0$ とすると、検出力が $1-\beta$ 以上になる条件は

$$\Phi\!\left(\frac{\sqrt n\,\delta}{\sigma}-z_\alpha\right)\ge1-\beta$$

である。$\Phi(z_\beta)=1-\beta$（$z_\beta$ は上側 $100\beta\%$ 点）で、$\Phi$ は増加関数なので、この条件は $\sqrt n\,\delta/\sigma-z_\alpha\ge z_\beta$ と同値である。$\sqrt n$ について解いて2乗する。

(16.6) から、必要な $n$ について次のことを読み取ることができる。$n$ は $(\sigma/\delta)^2$ に比例するので、検出したい差を半分にすると $n$ は4倍になる。$\alpha$ や $\beta$ を小さくすると $z_\alpha+z_\beta$ が大きくなり、$n$ が増える。よく使う値は $z_{0.05}=1.645$、$z_{0.025}=1.960$、$z_{0.2}=0.8416$（検出力 $0.8$）、$z_{0.1}=1.2816$（検出力 $0.9$）である。

2群の比較

独立な2群（各群 $n$ 個、共通の既知の分散 $\sigma^2$）の平均の差を比べるときは、$\bar X-\bar Y$ の分散が $2\sigma^2/n$ である（第10章 §10.5）。1標本の式で $\sigma^2$ を $2\sigma^2$ に置き換えればよく、

$$n\ge2\left\{\frac{(z_\alpha+z_\beta)\,\sigma}{\delta}\right\}^2\qquad\text{（各群）}\tag{16.7}$$

となる。2群を比べるには、1群の平均を既知の値と比べるときの各群2倍、合計4倍の個体が要る。§16.1 の対応のある比較なら、差の分散が $2\sigma^2(1-\rho)$ なので、必要な対の数は (16.7) の $(1-\rho)$ 倍になる。

母比率の検定の検出力

母比率の検定 $H_0:p=p_0$、$H_1:p>p_0$ では、第8章の二項分布の正規近似を使う。$H_0$ のもとで $\hat p\approx\mathrm{N}(p_0,p_0q_0/n)$（$q_0=1-p_0$）なので、棄却域は $\hat p\ge c$、$c=p_0+z_\alpha\sqrt{p_0q_0/n}$ である。真の値が $p_1>p_0$ のとき $\hat p\approx\mathrm{N}(p_1,p_1q_1/n)$ で、標準偏差が $H_0$ のもとと違うことに注意が要る。

$$1-\beta=P(\hat p\ge c)\approx\Phi\!\left(\frac{p_1-c}{\sqrt{p_1q_1/n}}\right)=\Phi\!\left(\frac{\sqrt n\,(p_1-p_0)-z_\alpha\sqrt{p_0q_0}}{\sqrt{p_1q_1}}\right).\tag{16.8}$$

これが $1-\beta$ 以上になる条件 $\{\sqrt n(p_1-p_0)-z_\alpha\sqrt{p_0q_0}\}/\sqrt{p_1q_1}\ge z_\beta$ を解いて

$$n\ge\left\{\frac{z_\alpha\sqrt{p_0q_0}+z_\beta\sqrt{p_1q_1}}{p_1-p_0}\right\}^2\tag{16.9}$$

を得る。母平均の場合と違い、$z_\alpha$ には $H_0$ のもとの標準偏差、$z_\beta$ には $H_1$ のもとの標準偏差が掛かる。

確認テスト

オリジナル

1. 16.3-1 (16.4) から (16.6) を導け。また、検出したい差 $\delta$ を $1/3$ にすると必要な $n$ は何倍になるかを答えよ。
2. 16.3-2 $\sigma=8$ の正規母集団で、両側検定（有意水準 $1\%$）が差 $\delta=3$ を検出力 $0.9$ 以上で検出するのに必要な $n$ を求めよ（$z_{0.005}=2.576$）。
3. 16.3-3 2つの製法の平均強度を比べる。各群同数で $\sigma=10$ は共通かつ既知とする。両側有意水準 $5\%$ で差 $5$ を検出力 $0.8$ 以上で検出するには、各群何個要るか。
4. 16.3-4 不良率 $p_0=0.2$ の工程が改悪されて $p_1=0.3$ になったことを、片側有意水準 $5\%$、検出力 $0.9$ で検出したい。何個を検査すればよいか。