正規性の確認

統計学の復習　第16章 §16.5　★★ Q-Q プロットは、並べ替えたデータを正規分布の分位点に対して打った図で、正規分布なら直線に並ぶ。曲がり方から歪みと裾の重さが読める

正規性を確かめる理由

$t$ 検定や母分散の区間推定、分散分析は、母集団が正規分布であることを仮定している。平均についての手法は中心極限定理（第8章）のおかげで、$n$ が大きければ正規性の崩れに強い。しかし母分散の区間（第11章）のように分散を扱う手法は、$n$ を増やしても正規性の崩れの影響が残る。そのため、手法を当てはめる前に、データが正規分布と矛盾しないかを図で確かめる。ヒストグラム（第1章）でも形は分かるが、階級の幅の選び方で見た目が変わり、裾の重さのような細かい違いは読み取りにくい。正規性の確認に最もよく使われる図が Q-Q プロットである。

Q-Q プロット

データを小さい順に並べた値を $x_{(1)}\le x_{(2)}\le\cdots\le x_{(n)}$ と書く（順序統計量）。$x_{(i)}$ は、データの中で下から割合 $i/n$ 程度の位置にある値なので、母集団の分布の $p_i$ 分位点の推定値とみなせる。ここで割合には、端の値で $0$ や $1$ にならないように

$$p_i=\frac{i-0.5}{n}\qquad(i=1,\dots,n)\tag{16.11}$$

を使う（プロット位置。$i/(n+1)$ などを使う流儀もある）。

母集団が $\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$ なら、その $p$ 分位点は、標準正規分布の $p$ 分位点 $\Phi^{-1}(p)$ を使って

$$\mu+\sigma\,\Phi^{-1}(p)\tag{16.12}$$

である。$X=\mu+\sigma Z$ と書け、$P(X\le\mu+\sigma c)=P(Z\le c)$ だからである。そこで、点 $\bigl(\Phi^{-1}(p_i),\,x_{(i)}\bigr)$ を打つと、データが正規分布に従うなら、点は傾き $\sigma$、切片 $\mu$ の直線 (16.12) の近くに並ぶ。この図を（正規）Q-Q プロットと呼び、横軸の値 $\Phi^{-1}(p_i)$ を正規スコアと呼ぶ。直線に並ぶかどうかだけを見ればよく、$\mu$ と $\sigma$ を知らなくても使うことができる。直線の切片と傾きから $\mu$ と $\sigma$ の見当もつく。

$x_{(i)}$ が $p_i$ 分位点の推定になる理由は、第6章の確率積分変換 $F(X)\sim\mathrm{U}(0,1)$ で説明できる。$F(X_{(i)})$ は $\mathrm{U}(0,1)$ からの $n$ 個の標本の下から $i$ 番目で、$n$ 個の一様な点は $[0,1]$ をほぼ等分するので、$i$ 番目はおよそ $i/n$ の付近にある。順序統計量の分布の正確な扱いは数理統計の解説 第5章 §5.4 で扱う。

曲がり方の読み方

母集団が正規分布でないと、点は直線からずれる。ずれ方は分布の形によって決まっている。図 16.2 は、$n=20$ のプロット位置 (16.11) で、母集団の分位点そのもの（標本のぶれを含まない値）を正規スコアに対して打ったものである。

読み方をまとめると次のようになる。右に裾が長い（正の歪度。第6章）分布では、上側の値が正規分布の予想より大きく、下側の値は予想より小さく出られないので、点の列は下に凸に曲がる。左に裾が長い分布はその逆で、上に凸に曲がる。両側に裾が重い（尖度が $3$ より大きい）分布では、左端が直線より下、右端が直線より上に出て、点の列は S 字を逆向きにした形になる。裾が軽い分布では図 16.2(b) のように、左端が上、右端が下になる。1つだけ大きく離れた点があれば、それは §16.4 の外れ値の候補である。

実際のデータでは、正規分布の標本でも点は直線の周りでぶれ、特に両端のぶれが大きい。$n$ が小さいときに端の1〜2点が直線から離れているだけでは、正規性を否定する根拠にはならない。図による判断を確率で裏づける検定（Shapiro–Wilk の検定など）もあるが、2級の範囲では名前を知っていれば足りる。

確認テスト

オリジナル

1. 16.5-1 データが $\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$ に従うとき、Q-Q プロットの点が直線 $x=\mu+\sigma z$ の近くに並ぶ理由を、分位点の関係 (16.12) を導いて説明せよ。
2. 16.5-2 4個のデータ $2.0,2.6,3.1,4.3$ の正規スコアを求め（$\Phi^{-1}(0.875)=1.1503$、$\Phi^{-1}(0.625)=0.3186$）、例題 16.5 と同じ方法で直線の傾きを求めて $s$ と比べよ。
3. 16.5-3 次の3つの母集団からの大きな標本の Q-Q プロットは、それぞれどのように曲がるか。(a) 対数正規分布のように右に裾が長い分布 (b) $t_3$ 分布のように両側に裾が重い分布 (c) 一様分布。
4. 16.5-4 平均についての $t$ 区間は正規性が崩れても $n$ が大きければ使えるのに、母分散の $\chi^2$ 区間はそうでない理由を、第8章の中心極限定理と第11章の結果に触れて述べよ。