移動平均

統計学の復習　第16章 §16.6　★★ $k$ 項移動平均は不規則な変動を均し、長さ $k$ の周期の変動を消す。データは $k-1$ 個短くなり、偶数項では中心化する

時系列と移動平均の定義

時間の順に並んだデータ $y_1,y_2,\dots,y_n$ を時系列と呼ぶ。月ごとの売上、四半期ごとの生産量、毎日の気温などである。時系列の値は、長期的な傾向、季節による周期的な変動、不規則な変動が重なってできている（§16.7）。傾向を見るには、細かい上下を均す必要がある。

$t$ が $m+1$ から $n-m$ まで動くので、移動平均は $n-2m=n-k+1$ 個得られる。最初の $m$ 個と最後の $m$ 個の時点では前後の値が足りず、移動平均を計算することができない。データは合わせて $k-1$ 個短くなる。

偶数項の移動平均と中心化

四半期データ（周期 $4$）や月次データ（周期 $12$）では、周期と同じ長さの偶数項の移動平均を使いたい。しかし $y_1,\dots,y_4$ の平均は時点 $2.5$ の値になり、元の時点と揃わない。そこで、隣り合う2つの4項移動平均（時点 $2.5$ と $3.5$）をさらに平均して、時点 $3$ に置く。これを中心化移動平均と呼ぶ。式で書くと

$$\tilde y_t=\frac12\left(\frac{y_{t-2}+y_{t-1}+y_t+y_{t+1}}4+\frac{y_{t-1}+y_t+y_{t+1}+y_{t+2}}4\right) =\frac{\frac12y_{t-2}+y_{t-1}+y_t+y_{t+1}+\frac12y_{t+2}}{4}\tag{16.14}$$

で、重みは $(1/8,1/4,1/4,1/4,1/8)$ である。前後2個ずつ使うので、データは両端で2個ずつ、合わせて4個短くなる。12か月の中心化移動平均では、両端の月に $1/24$、間の11か月に $1/12$ の重みを置き、合わせて12個短くなる。

移動平均が残すものと消すもの

直線でなく曲がった傾向（2次以上の項）は、移動平均で少し変形する。$k$ を大きくするほど不規則な変動はよく均されるが、傾向の曲がりも均されてしまい、データも短くなる。$k$ の選び方はこの兼ね合いで決まり、季節変動のあるデータではその周期に合わせる。

確認テスト

オリジナル

1. 16.6-1 長さ $60$ の月次データに12か月の中心化移動平均を施すと、何個の値が得られるか。各時点の重みも答えよ。
2. 16.6-2 四半期の系列 $10,14,12,16,15,19,17,21$ について、3項移動平均と、4項の中心化移動平均 (16.14) をそれぞれ全部求めよ。
3. 16.6-3 周期 $4$ で1周期の和が $0$ の変動 $s_t$ に、4項の中心化移動平均 (16.14) を施すと $0$ になることを、具体的に $s_1,\dots,s_4$ を使った式で確かめよ。また、3項移動平均では一般に $0$ にならないことを例で示せ。
4. 16.6-4 独立で分散 $\sigma^2$ の不規則な変動に、4項の中心化移動平均を施した値の分散を求め、単純な4項移動平均の分散 $\sigma^2/4$ と比べよ。