連続分布

数理統計　第3章 §3.2　★★★ 指数 → ガンマ → カイ二乗、ガンマ → ベータの関係は、第5章以降の標本分布の導出すべての土台になる

一様分布と確率積分変換

区間 $(a,b)$ 上で密度が一定値 $1/(b-a)$ の分布を一様分布と呼ぶ。これを $\mathrm{U}(a,b)$ と書く。

$$E[X]=\int_a^b\frac{x}{b-a}\,dx=\frac{a+b}{2},\qquad E[X^2]=\frac{b^3-a^3}{3(b-a)}=\frac{a^2+ab+b^2}{3},$$

したがって

$$V[X]=\frac{a^2+ab+b^2}{3}-\frac{(a+b)^2}{4}=\frac{(b-a)^2}{12}$$

である。

証明

(2) から示す。$F$ は右連続で単調非減少なので、$F^{-1}(u)\le x\iff u\le F(x)$ が成り立つ。よって $P(F^{-1}(U)\le x)=P(U\le F(x))=F(x)$。

(1) は $F$ が狭義単調増加の場合に示す。$0<u<1$ に対し $F(X)\le u\iff X\le F^{-1}(u)$ なので

$$P(F(X)\le u)=F(F^{-1}(u))=u$$

で、これは $\mathrm{U}(0,1)$ の分布関数である。（$F$ に平らな区間があっても、その区間に $X$ が入る確率は 0 なので結論は変わらない。）

この定理の2つの主張は、それぞれ次の根拠になる。

• (2) は、一様乱数から任意の分布の乱数を作る方法（逆関数法）の根拠である。
• (1) は、連続分布に従う検定統計量の $p$ 値が帰無仮説のもとで $\mathrm{U}(0,1)$ に従うことの根拠である。

たとえば指数分布の分布関数 $F(x)=1-e^{-\lambda x}$ の逆関数は $F^{-1}(u)=-\log(1-u)/\lambda$ である。$1-U$ も $\mathrm{U}(0,1)$ に従う。よって $-\log U/\lambda$ は指数分布に従う。

正規分布

密度の積分が 1 になることは、$I=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}dx$ の2乗を極座標で計算して確かめる。

$$I^2=\int_{-\infty}^\infty\!\int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)/2}\,dx\,dy=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^\infty e^{-r^2/2}\,r\,dr\,d\theta =2\pi\Bigl[-e^{-r^2/2}\Bigr]_0^\infty=2\pi .$$

$I>0$ なので $I=\sqrt{2\pi}$。一般の $\mu,\sigma$ は $z=(x-\mu)/\sigma$ と置換する。$dx=\sigma\,dz$ でこの場合に帰着する。同じ置換から、$X\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$ なら次が成り立つ。

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim\mathrm{N}(0,1)\ \ \text{（標準化）},\qquad aX+b\sim\mathrm{N}(a\mu+b,\,a^2\sigma^2)\ \ (a\ne0).$$

証明

まず $Z$ について、指数の中を平方完成する。$tz-z^2/2=-(z-t)^2/2+t^2/2$ なので

$$M_Z(t)=\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{tz-z^2/2}\,dz=e^{t^2/2}\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-(z-t)^2/2}\,dz=e^{t^2/2}.$$

最後の積分は $\mathrm{N}(t,1)$ の密度の積分で 1 である。$X=\mu+\sigma Z$ なので

$$M_X(t)=E[e^{t\mu+t\sigma Z}]=e^{\mu t}M_Z(\sigma t)=\exp(\mu t+\sigma^2t^2/2).$$

積率は、次の2つの展開の係数を比べて得る。

$$M_Z(t)=e^{t^2/2}=\sum_{k\ge0}\frac{t^{2k}}{2^kk!},\qquad M_Z(t)=\sum_m\frac{E[Z^m]}{m!}t^m .$$

奇数次の項が無いので、奇数次の積率は 0 である。$t^{2k}$ の係数から $E[Z^{2k}]/(2k)!=1/(2^kk!)$ である。

この積率母関数から、独立な $X_i\sim\mathrm{N}(\mu_i,\sigma_i^2)$ の線形結合の分布がわかる。

$$M_{\sum a_iX_i}(t)=\prod_i\exp(a_i\mu_it+a_i^2\sigma_i^2t^2/2)$$

より、$\sum a_iX_i$ は $\mathrm{N}(\sum a_i\mu_i,\ \sum a_i^2\sigma_i^2)$ に従う。とくに独立同一に $\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$ に従う標本の平均は $\bar X\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2/n)$ である。数表の値として、次を使う。

$$z_{0.05}=1.645,\qquad z_{0.025}=1.960,\qquad z_{0.005}=2.576 .$$

指数分布とガンマ分布

分布関数は $F(x)=1-e^{-\lambda x}$、裾は $P(X>x)=e^{-\lambda x}$ である。$t<\lambda$ で積率母関数

$$M_X(t)=\int_0^\infty\lambda e^{-(\lambda-t)x}dx=\frac{\lambda}{\lambda-t}$$

が存在する。微分して $t=0$ を代入すると

$$\begin{aligned}M_X'(t)&=\frac{\lambda}{(\lambda-t)^2} &&\Longrightarrow\quad E[X]=\frac1\lambda,\\ M_X''(t)&=\frac{2\lambda}{(\lambda-t)^3} &&\Longrightarrow\quad E[X^2]=\frac2{\lambda^2},\quad V[X]=\frac1{\lambda^2}.\end{aligned}$$

幾何分布と同じ無記憶性

$$P(X>s+t\mid X>s)=\frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}}=e^{-\lambda t}=P(X>t)\qquad(s,t>0)\tag{3.15}$$

を持つ。正の値をとる連続分布で無記憶性を持つのは指数分布だけである。

実際、$g(t)=P(X>t)$ は $g(s+t)=g(s)g(t)$ を満たす単調な関数である。そのような関数は $g(t)=e^{-\lambda t}$ の形に限られる。寿命や待ち時間のモデルで「使い古されても壊れやすさが変わらない」という仮定を置くことは、指数分布を仮定することと同じである。

ガンマ分布を定義するために、ガンマ関数

$$\Gamma(\alpha)=\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}\,dx\qquad(\alpha>0)\tag{3.16}$$

を使う。積分は両端で収束する。

• $x\to0$ で被積分関数は $x^{\alpha-1}$ 程度である。よって $\alpha>0$ なら収束する。
• $x\to\infty$ では、指数関数 $e^{-x}$ の減衰がべき関数の増加より速い。よって収束する。

部分積分で

$$\Gamma(\alpha+1)=\Bigl[-x^\alpha e^{-x}\Bigr]_0^\infty+\alpha\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}dx=\alpha\,\Gamma(\alpha)$$

を得る。$\Gamma(1)=1$ と合わせると、正の整数 $n$ について次が成り立つ。

$$\Gamma(n)=(n-1)!$$

また $x=z^2/2$ と置換する。$dx=z\,dz$、$x^{-1/2}=\sqrt2/z$ なので

$$\Gamma(1/2)=\int_0^\infty\frac{\sqrt2}{z}e^{-z^2/2}\,z\,dz=\sqrt2\int_0^\infty e^{-z^2/2}dz=\sqrt2\cdot\frac{\sqrt{2\pi}}{2}=\sqrt\pi .$$

$x=\beta y$ と置換すると

$$\int_0^\infty f(x)dx=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^\infty y^{\alpha-1}e^{-y}dy=1$$

である。同じ置換から、$Y\sim\mathrm{Ga}(\alpha,1)$ なら $\beta Y\sim\mathrm{Ga}(\alpha,\beta)$ である。一般に $c>0$ について $cX\sim\mathrm{Ga}(\alpha,c\beta)$。

$\alpha=1$ とすると $f(x)=e^{-x/\beta}/\beta$ である。よって $\mathrm{Ga}(1,1/\lambda)=\mathrm{Ex}(\lambda)$ である。

ガンマ分布を $x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}\lambda^\alpha/\Gamma(\alpha)$（$\lambda$ は率）で書く本もある。そのときの $\lambda$ はこの教材の $1/\beta$ に当たる。答案ではどちらの書き方かを先に宣言する。

証明

(1) 密度の積分が 1 であることを、母数 $\alpha+k$ について使う。すなわち

$$\int_0^\infty x^{\alpha+k-1}e^{-x/\beta}dx=\Gamma(\alpha+k)\beta^{\alpha+k}$$

なので

$$E[X^k]=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}\int_0^\infty x^{\alpha+k-1}e^{-x/\beta}dx=\frac{\Gamma(\alpha+k)\beta^{\alpha+k}}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha} =\beta^k\frac{\Gamma(\alpha+k)}{\Gamma(\alpha)}.$$

$k=1$ とすると、$\Gamma(\alpha+1)/\Gamma(\alpha)=\alpha$ である。よって $E[X]=\alpha\beta$。$k=2$ とすると $E[X^2]=\beta^2\alpha(\alpha+1)$。よって

$$V[X]=\beta^2\alpha(\alpha+1)-\alpha^2\beta^2=\alpha\beta^2.$$

(2) $e^{tx}e^{-x/\beta}=e^{-x(1-\beta t)/\beta}$ である。そこで $\beta'=\beta/(1-\beta t)$ とおく（$t<1/\beta$ で正）。尺度 $\beta'$ のガンマ密度の積分に直すと

$$M_X(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x/\beta'}dx=\frac{\Gamma(\alpha)\beta'^\alpha}{\Gamma(\alpha)\beta^\alpha}=\Bigl(\frac{1}{1-\beta t}\Bigr)^\alpha .$$

(3) (3.1) から、$t<1/\beta$ で

$$M_{X_1+X_2}(t)=(1-\beta t)^{-\alpha_1}(1-\beta t)^{-\alpha_2}=(1-\beta t)^{-(\alpha_1+\alpha_2)}.$$

これは $\mathrm{Ga}(\alpha_1+\alpha_2,\beta)$ の積率母関数なので、一意性定理から主張が従う。

尺度 $\beta$ が共通でないと再生性は成り立たない。系として、$X_1,\dots,X_n$ が独立に $\mathrm{Ex}(\lambda)=\mathrm{Ga}(1,1/\lambda)$ に従うとする。その和は $\sum X_i\sim\mathrm{Ga}(n,1/\lambda)$ である。定数倍の性質と合わせて

$$2\lambda\sum_{i=1}^nX_i\sim\mathrm{Ga}(n,2)\tag{3.18}$$

を得る。次の小節で見るように、$\mathrm{Ga}(n,2)$ は自由度 $2n$ のカイ二乗分布である。(3.18) は指数分布の母数の信頼区間（第8章）と検定（第7章）の枢軸量になる。

図 3.2 に $\beta=1$ のガンマ密度を示す。形は $\alpha$ で2通りに分かれる。

• $\alpha\le1$ では $x=0$ で密度が最大になる。$\alpha<1$ なら密度は発散する。
• $\alpha>1$ では最頻値 $(\alpha-1)\beta$ を持つ山形になる。

ガンマ分布と指数分布の和の関係は、ポアソン分布との間の次の関係に言い換えることができる。

証明

右辺を $t$ の関数 $R(t)$ とみて微分する。和の各項の微分は次のとおりである。

$$\begin{aligned}&k\ge1\text{ の項：}&&\frac{d}{dt}\Bigl\{e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k!}\Bigr\}=\lambda e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{k-1}}{(k-1)!}-\lambda e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^k}{k!},\\ &k=0\text{ の項：}&&\frac{d}{dt}e^{-\lambda t}=-\lambda e^{-\lambda t}.\end{aligned}$$

$\sum_{k=0}^{n-1}$ の微分では隣どうしが打ち消し合い、$-\lambda e^{-\lambda t}(\lambda t)^{n-1}/(n-1)!$ だけが残る。よって

$$R'(t)=\lambda e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{n-1}}{(n-1)!}=\frac{t^{n-1}e^{-\lambda t}}{\Gamma(n)(1/\lambda)^n},$$

これは $\mathrm{Ga}(n,1/\lambda)$ の密度である。$R(0)=1-1=0=P(T\le0)$ なので、両辺は $t=0$ で等しく導関数も等しい。したがってすべての $t>0$ で等しい。

この関係には次の解釈がある。事象が単位時間あたり平均 $\lambda$ 回、互いに独立に起こるとする（ポアソン過程、第12章）。

• 事象の間隔は独立に $\mathrm{Ex}(\lambda)$ に従う。$n$ 番目の事象の時刻を $T$ とする。$T$ は間隔を $n$ 個足したものである。よって $T\sim\mathrm{Ga}(n,1/\lambda)$。
• 時刻 $t$ までの事象の個数を $N_t$ とする。$N_t$ は $\mathrm{Po}(\lambda t)$ に従う。

次の2つは同じ事象なので、確率が一致する。

• $n$ 番目の事象が時刻 $t$ までに起こる。
• 時刻 $t$ までに $n$ 個以上起こる。

カイ二乗分布

定理 3.14 から、$\chi^2_n$ について次が成り立つ。

$$\begin{aligned}&\text{平均}&&(n/2)\cdot2=n,\\ &\text{分散}&&(n/2)\cdot4=2n,\\ &\text{積率母関数}&&(1-2t)^{-n/2}\quad(t<1/2).\end{aligned}$$

また再生性により、独立なカイ二乗変数の和は、自由度を足したカイ二乗分布に従う。式で書けば $\chi^2_m+\chi^2_n\sim\chi^2_{m+n}$ である。$n=2$ では $\mathrm{Ga}(1,2)=\mathrm{Ex}(1/2)$ である。カイ二乗分布が統計に現れる理由は、次の命題にある。

証明

$x>0$ について、$Z^2\le x\iff-\sqrt x\le Z\le\sqrt x$ である。よって

$$P(Z^2\le x)=\Phi(\sqrt x)-\Phi(-\sqrt x)=2\Phi(\sqrt x)-1 .$$

$x$ で微分すると、合成関数の微分で $(\sqrt x)'=1/(2\sqrt x)$ だから

$$f_{Z^2}(x)=2\phi(\sqrt x)\cdot\frac{1}{2\sqrt x}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}x^{-1/2}e^{-x/2}.$$

$\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$ から $2^{1/2}\Gamma(1/2)=\sqrt{2\pi}$ である。よってこれは (3.20) で $n=1$ としたものに等しい。

後半を示す。独立な $Z_i^2$ はそれぞれ $\mathrm{Ga}(1/2,2)$ に従う。定理 3.14 (3) の再生性を $n-1$ 回使えばよい。

$Z^2\le x$ の事象を2つの裾に分けて書くところが、単調でない変換の分布を求めるときの定石である（第2章 §2.5 の変数変換の公式は単調な変換を前提にしているので、そのままは使えない）。命題から $\chi^2_1(\alpha)=z_{\alpha/2}^2$ で、たとえば $\chi^2_1(0.05)=1.960^2=3.841$ である。

ベータ分布

ベータ関数 $B(a,b)=\int_0^1x^{a-1}(1-x)^{b-1}dx$（$a,b>0$）を使い、密度が

$$f(x)=\frac{x^{a-1}(1-x)^{b-1}}{B(a,b)}\qquad(0<x<1)\tag{3.21}$$

の分布をベータ分布と呼び、$\mathrm{Beta}(a,b)$ と書く。$\mathrm{Beta}(1,1)=\mathrm{U}(0,1)$ である。

$X\sim\mathrm{Beta}(a,b)$ なら$1-X\sim\mathrm{Beta}(b,a)$ である。$x\mapsto1-x$ と置換すれば、密度の形が入れ替わるからである。$[0,1]$ に値をとる量、たとえば比率や確率そのもののモデルに使う。ベータ分布とガンマ分布は次の定理で結び付く。

証明

次の2変数の変換を考える。

$$(x,y)\mapsto(u,v)=\Bigl(x+y,\ \frac{x}{x+y}\Bigr)$$

これは $(0,\infty)^2$ から $(0,\infty)\times(0,1)$ への1対1の写像である。逆写像は $x=uv$、$y=u(1-v)$。第4章 §4.3 の変数変換の公式（同時密度に逆変換のヤコビアンの絶対値を掛ける）を使う。ヤコビアンは

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\det\begin{pmatrix}v&u\\1-v&-u\end{pmatrix}=-uv-u(1-v)=-u,$$

絶対値は $u$。独立性から $(X,Y)$ の同時密度は2つのガンマ密度の積なので、$(U,V)$ の同時密度は

$$g(u,v)=\frac{(uv)^{a-1}e^{-uv/\beta}}{\Gamma(a)\beta^a}\cdot\frac{\{u(1-v)\}^{b-1}e^{-u(1-v)/\beta}}{\Gamma(b)\beta^b}\cdot u =\frac{u^{a+b-1}e^{-u/\beta}}{\Gamma(a)\Gamma(b)\beta^{a+b}}\cdot v^{a-1}(1-v)^{b-1}.$$

これを

$$g(u,v)=\underbrace{\frac{u^{a+b-1}e^{-u/\beta}}{\Gamma(a+b)\beta^{a+b}}}_{\mathrm{Ga}(a+b,\beta)\text{ の密度}}\cdot\underbrace{\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}v^{a-1}(1-v)^{b-1}}_{h(v)}$$

と書き直す。同時密度が $u$ だけの関数と $v$ だけの関数の積になったので、2つの変数は独立である。$U$ の周辺密度は第1因子に比例する。

$g$ を全域で積分すると 1 になる。第1因子の $u$ についての積分も 1 なので、$\int_0^1h(v)dv=1$。すなわち

$$\frac{\Gamma(a+b)B(a,b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}=1$$

で、(3.22) が従う。$h$ は $\mathrm{Beta}(a,b)$ の密度に一致する。

(3.22) から、$V\sim\mathrm{Beta}(a,b)$ の積率は

$$E[V^k]=\frac{B(a+k,b)}{B(a,b)}=\frac{\Gamma(a+k)\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(a+b+k)},$$

$k=1,2$ として

$$E[V]=\frac{a}{a+b},\qquad E[V^2]=\frac{a(a+1)}{(a+b)(a+b+1)},\qquad V[V]=\frac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}\tag{3.23}$$

を得る。分散は $\dfrac{a(a+1)}{(a+b)(a+b+1)}-\dfrac{a^2}{(a+b)^2}=\dfrac{a\{(a+1)(a+b)-a(a+b+1)\}}{(a+b)^2(a+b+1)}=\dfrac{ab}{(a+b)^2(a+b+1)}$ と計算する。

定理 3.18 は第5章で2つの場面に使う。

1. $F$ 分布の導出。独立な2つのカイ二乗変数の比は、この定理の比 $V/(1-V)$ の定数倍になる。
2. 一様分布の順序統計量。$\mathrm{U}(0,1)$ から大きさ $n$ の標本をとる。その小さい方から $k$ 番目は $\mathrm{Beta}(k,n-k+1)$ に従う。

そのほかの連続分布

1級の問題文に現れることのある分布を4つ挙げ、要点だけを導く。

対数正規分布　 $Y\sim\mathrm{N}(\mu,\sigma^2)$ のとき、$X=e^Y$ の分布を対数正規分布と呼ぶ。これを $\mathrm{LN}(\mu,\sigma^2)$ と書く。$x=e^y$ は単調なので変数変換の公式から密度は

$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma x}\exp\Bigl\{-\frac{(\log x-\mu)^2}{2\sigma^2}\Bigr\}\qquad(x>0).$$

積率は正規分布の積率母関数から求まる。

$$\begin{aligned}E[X^k]&=E[e^{kY}]=M_Y(k)=\exp(k\mu+k^2\sigma^2/2),\\ E[X]&=e^{\mu+\sigma^2/2},\\ V[X]&=e^{2\mu+2\sigma^2}-e^{2\mu+\sigma^2}=e^{2\mu+\sigma^2}(e^{\sigma^2}-1).\end{aligned}$$

ただし積率母関数 $E[e^{tX}]$ は、正の $t$ に対して発散する。$e^{te^y}$ が、正規密度の減衰 $e^{-y^2/2\sigma^2}$ より速く増えるからである。

すべての積率が存在しても、積率母関数は存在しない。独立な対数正規変数の積は、対数をとれば正規変数の和なので、再び対数正規分布に従う。中央値は $e^\mu$ で、平均 $e^{\mu+\sigma^2/2}$ より小さい（右に長い裾を持つ）。

コーシー分布　 密度 $f(x)=1/\{\pi(1+x^2)\}$（$x\in\mathbb{R}$）の分布を標準コーシー分布と呼ぶ。$\int_0^R x f(x)dx=\log(1+R^2)/(2\pi)\to\infty$ なので $E\lvert X\rvert =\infty$ で、平均が存在しない。独立な2つの $\mathrm{N}(0,1)$ の比がこの分布に従い（第4章の変数変換の例）、自由度 1 の $t$ 分布と一致する。大数の法則が成り立たない分布の代表例として使われる。

ワイブル分布　 $m,\eta>0$ に対し、次で定まる分布をワイブル分布と呼ぶ。

$$P(X>x)=\exp\{-(x/\eta)^m\}\qquad(x>0)$$

$m=1$ なら $\mathrm{Ex}(1/\eta)$ である。一般には

$$P(X^m>y)=P(X>y^{1/m})=e^{-y/\eta^m}$$

から $X^m\sim\mathrm{Ex}(\eta^{-m})$。故障率（ハザード）は

$$\frac{f(x)}{P(X>x)}=\frac{m x^{m-1}}{\eta^m}$$

である。これは $m>1$ で増加し、$m<1$ で減少する。そこで摩耗や初期故障のある寿命のモデルに使う。

ラプラス分布（両側指数分布）　 密度 $f(x)=e^{-\lvert x-\mu\rvert /b}/(2b)$ の分布。$\mu$ を中心に左右対称である。$X-\mu$ の絶対値は $\mathrm{Ex}(1/b)$ に従うので

$$V[X]=E[(X-\mu)^2]=E\lvert X-\mu\rvert ^2=2b^2 .$$

位置母数 $\mu$ の最尤推定量が標本中央値になる分布として、第6章の例に現れる。

確認テスト

オリジナル

1. 3.2-1 標準コーシー分布について $E\lvert X\rvert =\infty$ を示せ。
2. 3.2-2 $X_1\sim\mathrm{Ex}(\lambda_1)$ と $X_2\sim\mathrm{Ex}(\lambda_2)$ が独立であるとする。次の2つを示せ。

$$\min(X_1,X_2)\sim\mathrm{Ex}(\lambda_1+\lambda_2),\qquad P(X_1<X_2)=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}.$$

また $\lambda_1=1$、$\lambda_2=3$ とする。$E[\min(X_1,X_2)]$ と $P(X_1<X_2)$ を求めよ。3. 3.2-3 $X\sim\mathrm{Ga}(\alpha,\beta)$ とし、$\alpha>1$ とする。$E[1/X]$ を求めよ。また $\alpha=3$、$\beta=2$ とする。$E[1/X]$ と $E[X^2]$ を求めよ。4. 3.2-4 $U_1,\dots,U_n$ が独立に $\mathrm{U}(0,1)$ に従うとする。$-2\sum_{i=1}^n\log U_i\sim\chi^2_{2n}$ を示せ。それを使って $P(U_1U_2\le e^{-3})$ を求めよ。5. 3.2-5 $X\sim\mathrm{LN}(0,1)$ の平均・分散・中央値を求めよ。