$z$ と $\bar z$ が同居する方程式

2025年度高2解説2026年10月6日17分で読めます塾講師木下複素数平面

1. 未知数は2つあると数える
2. 共役をとって引き算したあとの注意
3. 絶対値を見たときの3つの読み方
4. 複素数平面の直線の方程式
4-1. 通る1点と方向ベクトル
4-2. 通る2点
4-3. 通る1点と法線ベクトル
4-4. 垂直二等分線
まとめ
5. 絶対値が $1$ の複素数

複素数平面の方程式には、 $z$ だけでなく共役複素数 $\bar z$ や絶対値 $|z|$ を含むものが多く現れます。以下では、こうした方程式を解く手順、その途中で起こりやすい論理の抜け、そして式を平面上の図形として読み取る方法を、例を1つずつ解きながら説明します。

1. 未知数は2つあると数える

$z=x+yi$ と書けば $\bar z=x-yi$ 、 $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ なので、 $\bar z$ も $|z|$ も $z$ から決まる量です。それでも式変形をするときは、 $z$ と $\bar z$ を別々の未知数と見なすと方針が立てやすくなります。未知数を2つと数えた以上、方程式も2本そろえる必要があります。手持ちの式から2本目を作る手段は、次の3つです。

$z$ と $\bar z$ の両方を含む式から、もう1本の式を作る

方程式の両辺の共役複素数をとる（ $z$ と $\bar z$ の役割が入れ替わった式が得られる）
$z\bar z=|z|^2$ を使い、 $\bar z$ を $z$ と $|z|$ で書き表す
方程式の両辺の絶対値をとる

例1　 $(2-i)z+(2+i)\bar z=10$ と $|z|=5$ を同時に満たす $z$ を求めます。

2本目の式から $z\bar z=25$ で、 $z\neq0$ なので $\bar z=\dfrac{25}{z}$ です。これを1本目に入れて両辺に $z$ を掛けると、 $\bar z$ が消えて

$(2-i)z^2-10z+25(2+i)=0$

という $z$ の2次方程式になります。解の公式から

$\begin{aligned}z&=\frac{5\pm\sqrt{25-25(2-i)(2+i)}}{2-i}\\&=\frac{5\pm10i}{2-i},\\\text{つまり}\ z&=5i,\ 4-3i\end{aligned}$

です（ $\sqrt{-100}$ は $10i$ とし、分母は $2+i$ を掛けて実数にしました）。

同じ連立方程式を $z=x+yi$ で書き直すと、1本目の左辺は $(2-i)z$ とその共役の和なので $2\,\mathrm{Re}\{(2-i)z\}=2(2x+y)$ となり、1本目は直線 $2x+y=5$ 、2本目は円 $x^2+y^2=25$ を表します。2つの解は、この直線と円の2つの交点 $(0,5)$ 、 $(4,-3)$ に対応しています。

図1　原点中心・半径

5

の円と、直線

2x+y=5

。交点は

5i

と

4-3i

例2　 $z^2=\bar z$ を満たす $z$ を求めます。

ここでは3つ目の手段を使います。両辺の絶対値をとると $|z|^2=|z|$ 、つまり $|z|(|z|-1)=0$ なので、 $|z|=0$ か $|z|=1$ です。 $|z|=0$ なら $z=0$ で、これは元の式を満たします。 $|z|=1$ のときは $\bar z=\dfrac1z$ と書けるので、元の式は $z^2=\dfrac1z$ 、すなわち $z^3=1$ になります。逆に $z^3=1$ なら $|z|^3=1$ から $|z|=1$ で、 $z^2=\dfrac1z=\bar z$ が成り立ちます。したがって解は

$z=0,\quad 1,\quad \frac{-1+\sqrt3\,i}{2},\quad \frac{-1-\sqrt3\,i}{2}$

の4つです。

2. 共役をとって引き算したあとの注意

1本の式 ① から共役をとって ② を作り、① と ② を足したり引いたりして $z$ を求める、という操作は頻繁に行います。このとき押さえておくべき事実は次のとおりです。

「①かつ②」と「①かつ（①−②）」は同値である。しかし「①かつ②」と「①−②」だけとは、一般に同値でない。

引き算の結果だけを手元に残し、① を捨ててしまうと、条件がゆるくなります。極端な例として「 $z=2$ かつ $\bar z=2$ 」を考えると、解は $z=2$ だけです。ところが2式の差 $z-\bar z=0$ は「 $z$ が実数」という条件にすぎず、すべての実数がこれを満たします。

例3　 $c$ を複素数の定数とし、 $z+i\bar z=c$ （①）を満たす $z$ を調べます。

① の両辺の共役をとると $\bar z-iz=\bar c$ で、これに $i$ を掛けると $z+i\bar z=i\bar c$ となります。左辺が ① と同じなので、① との差をとると $z$ が消えて

$0=c-i\bar c$

という定数だけの式が残ります。この式は「① を満たす $z$ があるなら成り立つ」という必要条件です。

$c=1$ のときは $c-i\bar c=1-i\neq0$ なので、① を満たす $z$ はありません。
$c=2+2i$ のときは $i\bar c=i(2-2i)=2+2i=c$ で、差の式は $0=0$ となり、何の情報も持ちません。この場合は ① に戻る必要があります。 $z=x+yi$ を代入すると $z+i\bar z=(x+y)(1+i)$ なので、① は $x+y=2$ と同じで、解は直線 $x+y=2$ 上の点全体になります。

授業では、次のような問題を扱いました1塾の授業で扱った問題は塾の教材なので、数値を変えた類題に差し替えています。下の脚注へ。

問題

$\alpha$ を $|\alpha|=1$ を満たす複素数、 $\beta$ を複素数とする。 $z-\alpha\bar z=\beta$ を満たす複素数 $z$ が存在するための、 $\alpha,\ \beta$ の条件を求めよ。

この問題も例3と同じ構造をしています。両辺の共役をとると $\bar z-\bar\alpha z=\bar\beta$ で、これに $-\alpha$ を掛けると $\alpha\bar\alpha=1$ により $z-\alpha\bar z=-\alpha\bar\beta$ となります。左辺が元の式と同じなので、元の式との差から $0=\beta+\alpha\bar\beta$ が出ます。これは必要条件にすぎないので、逆に $\beta+\alpha\bar\beta=0$ のときに元の式を満たす $z$ を1つ示して十分性を確かめます。 $z=\dfrac\beta2$ を代入すると、左辺は $\dfrac{\beta-\alpha\bar\beta}{2}=\dfrac{\beta+\beta}{2}=\beta$ となり、元の式を満たします。したがって求める条件は $\beta+\alpha\bar\beta=0$ です。例3は $\alpha=-i$ 、 $\beta=c$ の場合にあたります。

差をとって $z$ が消えたら

残った式は必要条件にすぎない。元の式に戻るか、条件を満たす $z$ を実際に1つ挙げて、十分性を確かめる。2つの式を何倍かして引き、 $z$ の値が出た場合も、その値を元の式に代入して確かめる。

3. 絶対値を見たときの3つの読み方

$|w|$ という形の式に出会ったら、次の3通りの扱い方を候補に挙げます。

$|w|$ を見たときの3通りの扱い

2乗して $|w|^2=w\bar w$ と書き、展開して計算する
$|z-a|$ を「点 $z$ と点 $a$ の距離」と読み、図形で考える
三角不等式 $|u+v|\le|u|+|v|$ を使う

例4　 $|z+1|=3|z-1|$ を満たす点 $z$ が描く図形を求め、その図形上で $|z|$ の最大値と最小値を求めます。

両辺とも $0$ 以上なので、2乗しても同値です。1つ目の方法で展開すると

$\begin{aligned}z\bar z+z+\bar z+1&=9\left(z\bar z-z-\bar z+1\right)\\\iff\ z\bar z-\frac54(z+\bar z)+1&=0\\\iff\ \left|z-\frac54\right|^2&=\frac9{16}\end{aligned}$

となるので、 $z$ は中心 $\dfrac54$ 、半径 $\dfrac34$ の円周上を動きます。2点 $-1$ 、 $1$ からの距離の比が $3:1$ で一定の点の集まりなので、これはアポロニウスの円です。

$|z|$ は原点 O と点 $z$ の距離です（2つ目の読み方）。O は円の中心から $\dfrac54$ 離れていて、半径 $\dfrac34$ より遠いので円の外にあります。O と中心を通る直線が円と交わる2点で距離は最大・最小になり、最大値は $\dfrac54+\dfrac34=2$ （ $z=2$ ）、最小値は $\dfrac54-\dfrac34=\dfrac12$ （ $z=\dfrac12$ ）です。最大値は3つ目の読み方でも確かめられ、 $|z|\le\left|z-\dfrac54\right|+\dfrac54=2$ となります。

図2　中心

\frac54

・半径

\frac34

の円。円上の点

z

から点

-1

と点

1

までの距離の比は

3:1

。円と実軸の交点は

\frac12

と

2

4. 複素数平面の直線の方程式

平面上の直線は、次の4通りの情報のどれかで決まります。

直線を決める情報

通る1点と、直線の向き（方向ベクトル）
通る2点
通る1点と、直線に垂直な向き（法線ベクトル）
2点から等距離にあること（垂直二等分線）

それぞれを $z$ と $\bar z$ の式に直します。どの場合も直線上を動く点を $\mathrm P(z)$ とします。

4-1. 通る1点と方向ベクトル

点 $\mathrm A(\alpha)$ を通り、 $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ （ $\mathrm B(\beta)$ 、 $\beta\neq0$ ）と平行な直線を考えます。

図3　点 A を通り、原点から B へのベクトルと平行な直線。A から P へのベクトルも同じ向き

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ が $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ と平行（または $\mathrm P=\mathrm A$ ）であることは、 $z-\alpha$ が $\beta$ の実数倍であること、つまり比 $\dfrac{z-\alpha}{\beta}$ が実数であることと同じです。実数とは共役をとっても変わらない数なので、

$\begin{aligned} \frac{z-\alpha}{\beta}\in\mathbb R &\iff\frac{z-\alpha}{\beta}=\frac{\bar z-\bar\alpha}{\bar\beta}\\ &\iff\bar\beta z-\beta\bar z-\alpha\bar\beta+\bar\alpha\beta=0 \end{aligned}$

となります（2行目は両辺に $\beta\bar\beta$ を掛けて移項しました）。 $\bar\beta z$ と $\beta\bar z$ は互いに共役な2数で、それを引いています。定数項 $-\alpha\bar\beta+\bar\alpha\beta$ も、 $\bar\alpha\beta$ からその共役を引いた形なので、純虚数か $0$ です。

4-2. 通る2点

異なる2点 $z_1$ 、 $z_2$ を通る直線は、「点 $z_1$ を通り、方向ベクトルが $z_2-z_1$ 」の直線なので、4-1 で $\alpha=z_1$ 、 $\beta=z_2-z_1$ とすれば得られます。

4-3. 通る1点と法線ベクトル

点 $\mathrm A(\alpha)$ を通り、 $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ （ $\beta\neq0$ ）に垂直な直線を考えます。

図4　点 A を通り、原点から B へのベクトルに垂直な直線

今度は $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ が $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ を $\pm\dfrac\pi2$ 回した向きなので、比 $\dfrac{z-\alpha}{\beta}$ は純虚数（ $\mathrm P=\mathrm A$ なら $0$ ）です。純虚数または $0$ とは、共役をとると符号が反転する数、つまり共役との和が $0$ になる数なので、

$\begin{aligned}\frac{z-\alpha}{\beta}+\frac{\bar z-\bar\alpha}{\bar\beta}&=0\\\iff\ \bar\beta z+\beta\bar z-\alpha\bar\beta-\bar\alpha\beta&=0\end{aligned}$

です。こちらは $\bar\beta z$ と $\beta\bar z$ を足しており、定数項 $-(\alpha\bar\beta+\bar\alpha\beta)$ は共役な2数の和なので実数です。

4-4. 垂直二等分線

異なる2点 $\mathrm A(\alpha)$ 、 $\mathrm B(\beta)$ から等距離にある点の集まりが、線分 AB の垂直二等分線です。

図5　線分 AB の垂直二等分線上の点 P は、A と B から等距離

距離は $0$ 以上なので2乗しても同値で、

$\begin{aligned} |z-\alpha|=|z-\beta| &\iff(z-\alpha)(\bar z-\bar\alpha)=(z-\beta)(\bar z-\bar\beta)\\ &\iff(\bar\beta-\bar\alpha)z+(\beta-\alpha)\bar z+|\alpha|^2-|\beta|^2=0 \end{aligned}$

となります（展開すると両辺の $z\bar z$ が打ち消し合います）。 $z$ と $\bar z$ の係数は互いに共役で、定数項は実数です。4-3 と同じ形で、 $A=\beta-\alpha$ と見れば一致します。

まとめ

4つの導出で出てきた式は、すべて次の2つの型のどちらかです。

直線を表す $z,\ \bar z$ の1次式（2つの型）

$A\neq0$ として、

$\bar Az-A\bar z+B=0$ 　（ $B$ は純虚数または $0$ ）
$\bar Az+A\bar z+B=0$ 　（ $B$ は実数）

$A\neq0$ の条件は、4-1・4-3 の $\beta\neq0$ 、4-4 の $\alpha\neq\beta$ にあたります。 $A=0$ だと $z$ が式から消え、直線を表しません。この形の式を見て直線だと分かること、必要なら上の導出を自分で再現できることの2つが目標です。

2の型は、 $|z|^2$ を補うと平方の形にまとめられることがあります。 $\bar Az+A\bar z$ に $z\bar z+A\bar A$ を足すと $(z+A)(\bar z+\bar A)=|z+A|^2$ になるからです。

$\bar Az+A\bar z$ の形を見たら

$|z|^2$ を補って、 $|z+A|^2$ の形を作れないか試す

たとえば $(1-2i)z+(1+2i)\bar z+5=0$ は $A=1+2i$ の2の型で、定数項 $5$ が $|A|^2$ に等しくなっています。両辺に $z\bar z$ を足すと $|z+(1+2i)|^2=|z|^2$ 、つまり $|z-(-1-2i)|=|z-0|$ となり、原点と点 $-1-2i$ を結ぶ線分の垂直二等分線だと分かります。この直線は中点 $-\dfrac{1+2i}{2}$ を通ります。§2 の問題でも同じ形が現れます。 $\beta\neq0$ のとき、条件 $\beta+\alpha\bar\beta=0$ は $\alpha=-\dfrac\beta{\bar\beta}$ と書けます。これを $z-\alpha\bar z=\beta$ に代入して $\bar\beta$ を掛けると $\bar\beta z+\beta\bar z-|\beta|^2=0$ となり、両辺に $-1$ を掛ければ $A=-\beta$ 、定数項 $|A|^2$ の2の型です。両辺に $z\bar z$ を足すと $|z-\beta|^2=|z|^2$ となるので、この式は原点と点 $\beta$ の垂直二等分線を表します。この直線が中点 $\dfrac\beta2$ を通ることから、解 $z=\dfrac\beta2$ が見つかります。

5. 絶対値が $1$ の複素数

単位円周上の点 $z$ については、次の言い換えが基本になります。

$|z|=1$ の言い換え

$|z|=1\iff z\bar z=1\iff\bar z=\frac1z$

$\bar z$ を $\dfrac1z$ に置き換えると、式に残るのは $z$ だけになります。

例5　 $|z|=1$ 、 $z\neq\pm i$ のとき、 $w=\dfrac{z}{1+z^2}$ が実数であることを示します。

$\bar z=\dfrac1z$ を使うと

$\bar w=\frac{\bar z}{1+\bar z^2}=\frac{\dfrac1z}{1+\dfrac1{z^2}}=\frac{z}{z^2+1}=w$

なので、 $w$ は共役をとっても変わらず、実数です。極形式 $z=\cos\theta+i\sin\theta$ を使っても示せます。分母分子を $z$ で割ると $w=\dfrac1{\frac1z+z}=\dfrac1{\bar z+z}=\dfrac1{2\cos\theta}$ で、 $z\neq\pm i$ より $\cos\theta\neq0$ です。

例5のように、絶対値が $1$ と分かっている複素数には3通りの表し方があり、問題に合わせて選びます。極形式が使いやすいのは、絶対値がすでに $1$ と分かっていて、残る未知の情報が偏角 $\theta$ だけになるからです。

絶対値 $1$ の複素数の表し方

$z$ のまま： $\bar z=\dfrac1z$ を使う
極形式： $z=\cos\theta+i\sin\theta$ とおく
直交形式： $z=x+yi$ 、 $x^2+y^2=1$ とおく

極形式は積と商の計算には向いていますが、和の計算には向きません。絶対値の等しい2数の和なら、和積の公式で

$(\cos a+i\sin a)+(\cos b+i\sin b)=2\cos\frac{a-b}2\left(\cos\frac{a+b}2+i\sin\frac{a+b}2\right)$

と「実数×（絶対値 $1$ の複素数）」の形にまとまります。一方 $(\cos a+i\sin a)+r(\cos b+i\sin b)$ （ $r\neq1$ ）のように絶対値が違うと、この公式は使えず、偏角の見える形にはまとまりません。

上の和積の式で $a=\theta$ 、 $b=0$ とした場合は、とくによく使われます。

$1\pm$ （絶対値 $1$ の複素数）

$\begin{aligned}1+(\cos\theta+i\sin\theta)&=2\cos^2\frac\theta2+2i\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2\\&=2\cos\frac\theta2\left(\cos\frac\theta2+i\sin\frac\theta2\right)\\[4pt] 1-(\cos\theta+i\sin\theta)&=2\sin^2\frac\theta2-2i\sin\frac\theta2\cos\frac\theta2\\&=-2i\sin\frac\theta2\left(\cos\frac\theta2+i\sin\frac\theta2\right)\end{aligned}$

計算としては、実部に $1+\cos\theta=2\cos^2\dfrac\theta2$ 、 $1-\cos\theta=2\sin^2\dfrac\theta2$ を、虚部に $\sin\theta=2\sin\dfrac\theta2\cos\dfrac\theta2$ を使っただけです。この結果は図でも説明できます。

図6　

0,\ 1,\ 1+z,\ z

を頂点とするひし形。対角線

1+z

は偏角

\frac\theta2

の向き、もう1本の対角線

1-z

はそれに垂直

$z=\cos\theta+i\sin\theta$ （ $0<\theta<2\pi$ ）とし、単位円周上で偏角 $\dfrac\theta2$ の点を $\mathrm M$ とします。 $\mathrm M$ が表す複素数は $\cos\dfrac\theta2+i\sin\dfrac\theta2$ です。4点 $0$ 、 $1$ 、 $1+z$ 、 $z$ は、辺の長さがすべて $1$ のひし形の頂点で、 $1+z$ と $1-z$ はその2本の対角線にあたります（ $1-z$ は点 $z$ から点 $1$ へ向かう対角線）。

ひし形の対角線は頂角を2等分するので、 $1+z$ は角 $\theta$ を2等分する方向、つまり $\mathrm M$ の方向（ $\pi<\theta<2\pi$ なら逆向き）を向きます。長さは $2\cos\dfrac\theta2$ の絶対値です。
ひし形の2本の対角線は直交するので、 $1-z$ は $\mathrm M$ の方向を $-\dfrac\pi2$ 回した向きを向きます。長さは、中心角 $\theta$ の弦の長さ $2\sin\dfrac\theta2$ です。 $-\dfrac\pi2$ の回転は $-i$ を掛けることなので、 $1-z=-i\cdot2\sin\dfrac\theta2\left(\cos\dfrac\theta2+i\sin\dfrac\theta2\right)$ となり、上の式と一致します。