$(x-a)^2$ で割った余りは、なぜ微分すると求まるのか

2026年度中3解説2026年10月6日8分で読めます塾講師木下微分

1. 余りを決めるのに条件はいくつ要るか
2. 代入だけでは条件が1本しか出ない
3. 微分すると商の項がもう一度消える
4. 2つの $x$ がくっついたと考える
5. 余りの直線は、 $x = a$ における接線

授業の例題では、整式 $f(x)$ を $(x-a)^2$ で割った余りを、 $f(a)$ と $f'(a)$ で表した。 $x=a$ を代入するだけでは答えが出ず、両辺を微分してからもう一度 $x=a$ を代入した。この頁では、なぜ代入だけでは足りないのか、なぜ微分すると足りない分が補えるのかを順に説明する。

1. 余りを決めるのに条件はいくつ要るか

$2$ 次式で割ると、余りは $1$ 次以下の式になるので $px+q$ とおける。決めなければならない数は $p$ と $q$ の $2$ 個である。このように、まだ決まっておらず自由に動ける数の個数を自由度という。自由度が $2$ なら、連立方程式と同じで、 $p$ と $q$ を含む式が $2$ 本そろってはじめて $p$ , $q$ が $1$ 通りに決まる。

$\begin{gathered}n\text{ 次式で割った余りの自由度は }n\\ \Longrightarrow\ \text{条件が }n\text{ 本要る}\end{gathered}$

$(x-1)(x-2)$ で割るなら、 $f(x)=(x-1)(x-2)g(x)+px+q$ に $x=1$ と $x=2$ を代入すれば、商 $g(x)$ を含む項がどちらでも $0$ になり、

$f(1)=p+q,\qquad f(2)=2p+q$

の $2$ 本が手に入る。割る式が $0$ になる $x$ が $2$ つあるので、代入で条件が $2$ 本出る。

2. 代入だけでは条件が1本しか出ない

$(x-a)^2$ で割ると、余りはやはり $px+q$ で、自由度は $2$ のままである。

$f(x)=(x-a)^2g(x)+px+q$

ところが $(x-a)^2$ が $0$ になる $x$ は $a$ の $1$ つしかない。 $x=a$ を代入して得られるのは

$f(a)=pa+q$

の $1$ 本だけである。 $a$ 以外の値を代入すると商 $g(x)$ の値が残り、 $g(x)$ はわからないので条件として使えない。自由度 $2$ に対して条件が $1$ 本足りない。

具体例で見ておく。 $f(x)=x^3-3x+1$ を $(x-2)^2$ で割ると、実際に割り算をして

$x^3-3x+1=(x-2)^2(x+4)+9x-15$

となり、余りは $9x-15$ である。 $x=2$ を代入して分かるのは $2p+q=f(2)=3$ だけで、これを満たす $(p,q)$ は $(9,-15)$ 以外にも $(0,3)$ 、 $(1,1)$ など無数にある。

3. 微分すると商の項がもう一度消える

足りない $1$ 本は、両辺を $x$ で微分すると得られる。積の微分の公式で $(x-a)^2g(x)$ を微分すると

$\{(x-a)^2g(x)\}'=2(x-a)g(x)+(x-a)^2g'(x)$

となり、右辺の $2$ つの項には、どちらにもまだ $(x-a)$ が $1$ つ以上残っている。したがって、微分した式

$f'(x)=2(x-a)g(x)+(x-a)^2g'(x)+p$

に $x=a$ を代入すると、 $g(x)$ を含む項がまた消えて

$\begin{gathered}f'(a)=p\end{gathered}$

が出る。これが $2$ 本目の条件である。 $f(a)=pa+q$ と合わせると $q=f(a)-af'(a)$ も決まり、例題の答えになる。上の具体例なら $f'(x)=3x^2-3$ から $p=f'(2)=9$ 、 $q=3-2\cdot 9=-15$ で、割り算の結果と一致する。 $2$ 乗の因数は微分しても $1$ 乗の因数が残るので、 $g(x)$ を消せる機会がもう $1$ 回生まれる。

$(x-a)$ が1乗だとどうなるか

$f(x)=(x-a)g(x)+q$ を微分すると $f'(x)=g(x)+(x-a)g'(x)$ で、 $x=a$ を代入すると $f'(a)=g(a)$ になる。わからない $g(a)$ が残るので、余りについては何も分からない。微分して $(x-a)$ が残るのは、割る式が $2$ 乗以上のときに限られる。 $1$ 次式で割った余りは定数で自由度が $1$ なので、そもそも $f(a)=q$ の $1$ 本で足りている。

4. 2つの $x$ がくっついたと考える

微分が出てくる理由は、微分係数の定義からも説明できる。 $(x-a)^2$ を、 $(x-a)(x-b)$ の $b$ を $a$ に限りなく近づけたものと考える。 $(x-a)(x-b)$ で割った余り $px+q$ には、§1 と同じく

$f(a)=pa+q,\qquad f(b)=pb+q$

の $2$ 本の条件がある。 $b$ を $a$ に近づけると $2$ 本は同じ式に近づいてしまうが、辺々引いて $b-a$ で割った式

$p=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

は同じ式に潰れずに残る。右辺は $x=a$ から $x=b$ までの平均変化率で、 $b\to a$ の極限は微分係数 $f'(a)$ である。 $(x-a)^2$ で割ったときの $2$ 本目の条件 $f'(a)=p$ は、くっついた $2$ 点目の条件の名残といえる。

図1　

x=a

と

x=b

を通る割線の傾きが

p

。

b

を

a

に近づけると、割線は

x=a

における接線に近づく

5. 余りの直線は、 $x=a$ における接線

求めた余りを書き直すと

$\begin{aligned}px+q&=f'(a)x+f(a)-af'(a)\\&=f'(a)(x-a)+f(a)\end{aligned}$

となる。これは、曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(a,f(a))$ を通り傾きが $f'(a)$ の直線、つまり $x=a$ における接線の式である（接線は後の授業で詳しく扱う）。

$\begin{gathered}f(x)\text{ を }(x-a)^2\text{ で割った余り}\\ =\ y=f(x)\text{ の }x=a\text{ における接線}\end{gathered}$

式で見ると、 $f(x)$ と余りの差 $f(x)-(px+q)=(x-a)^2g(x)$ は、 $x=a$ で $0$ になり、しかも $x$ が $a$ から少しずれても、 $(x-a)^2$ に $g(x)$ を掛けた分しか離れない（ずれの $2$ 乗に比例する程度の小ささ）。グラフでは、曲線と余りの直線が $x=a$ でただ交わるのでなく、接している（接する点で直線が曲線を横切ることもあるが、それは差 $f(x)-(px+q)$ が $(x-a)^3$ で割り切れる、つまり $g(a)=0$ のときに限られる）。上の具体例 $x^3-3x+1$ では、 $x=2$ における接線が $y=9x-15$ である。

図2　

y=x^3-3x+1

と、

(x-2)^2

で割った余りの直線

y=9x-15

。直線は

x=2

で曲線に接する

$f(a)=f'(a)=0$ のときは余りが $0$ 、つまり $f(x)$ は $(x-a)^2$ で割り切れる。これが「割り切れる必要十分条件は $f(a)=f'(a)=0$ 」という事実で、グラフでは $y=f(x)$ が $x=a$ で $x$ 軸に接することにあたる。

まとめ

$(x-a)^2$ で割った余り $px+q$ の自由度は $2$ 。条件が $2$ 本要る。
$x=a$ の代入で $f(a)=pa+q$ 。
微分してから代入で $f'(a)=p$ 。 $(x-a)^2$ を微分しても $(x-a)$ が残るから。
余りは $y=f(x)$ の $x=a$ における接線 $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ 。

やってみよう① オリジナル

$x^3$ を $(x-1)^2$ で割った余りを、(ア) 実際に割り算をする、(イ) $f(1)$ と $f'(1)$ を使う、の $2$ 通りで求め、一致することを確かめよ。

やってみよう② オリジナル

$n$ を $2$ 以上の整数とする。 $x^n$ を $(x-1)^2$ で割った余りを求めよ。

やってみよう③ オリジナル

$x^4+kx^2+m$ が $(x-1)^2$ で割り切れるように、定数 $k$ , $m$ を定めよ。

コラム：3乗で割るとき

$(x-a)^3$ で割ると余りは $2$ 次以下で $rx^2+sx+t$ 、自由度は $3$ になる。 $f(x)=(x-a)^3g(x) +rx^2+sx+t$ を $1$ 回微分しても $(x-a)^2$ が、もう $1$ 回微分しても $(x-a)$ が残るので、「代入」「 $1$ 回微分して代入」「 $2$ 回微分して代入」の $3$ 回とも $g(x)$ の項が消え、条件が $3$ 本そろう。 $(x-a)^n$ で割るなら、 $n-1$ 回まで微分して代入すれば $n$ 本の条件が得られる。