狭義単調増加と平均値の定理

授業で扱った例題の解答で、すこし怪しいなとみなさんが思うかもしれない部分についての補足をします。

問題は、$x>0$ において $e^x>1+x+\dfrac{x^2}{2}$ を示すものでした¹1塾の授業で扱った問題は塾の教材なので、数値を変えた類題に差し替えています。下の脚注へ閉じる。解答では $f(x)=e^x-1-x-\dfrac{x^2}{2}$ とおき、$x>0$ で $f''(x)=e^x-1>0$ だから $f'(x)$ は単調に増加し、$f'(x)>f'(0)=0$、よって $f(x)$ も単調に増加して $f(x)>f(0)=0$、という流れで示しました。

この解答の中盤で、$f'(x)$の狭義単調増加性は$x>0$でしか示されていないのに、$x>0$で$f'(x)>f'(0)$という不等式は、$x\geqq 0$での$f'(x)$の狭義単調増加性を仮定していないか？？と思った人がいるかもしれません。（あるいは、$f(x)$の狭義単調増加性の範囲と$f(x)>f(0)$という不等式についても同様の疑問を持った人がいるかもしれません。）実際、狭義単調増加性の定義は次：

であり、ここでいう$I$は今回は$x>0$の範囲なので、この区間に含まれない$x=0$を使った不等式$f'(x)>f'(0)$は言えないんじゃないかというのはもっともです。（僕も一時期これが本当に言えるのか悩んでいた時期がありました。）これを正当化するには、厳密には以下の定理を示す必要があります：

$f'(x)>0$の範囲と、$f(x)$が狭義単調増加な範囲が異なっている（後者は領域端点を含む）ことに注意しましょう。この証明は、「平均値の定理」を用います。

これを用いて定理Aを証明することができます。具体的には、$a\leqq x_1<x_2 \leqq b$を満たす任意の$x_1$と$x_2$について、（$f(x)$は$x_1\leqq x\leqq x_2$でも連続で、$x_1<x<x_2$でも微分可能なので）区間$x_1\leqq x\leqq x_2$に平均値の定理を用いると、ある$x_1<c<x_2$が存在して、$f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)$となります。ここで、$x_1<c<x_2$より、もし$x_1$や$x_2$が端点である$a$や$b$と等しかったとしても、$c$は$a<c<b$を満たします。よって、$a<x<b$で$f'(x)>0$が常に成り立つならば$f'(c)>0$となります。$x_1<x_2$ですから$(x_2-x_1)>0$で、よって$f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)>0$となるため、$f(x_2)-f(x_1)>0\Leftrightarrow f(x_2)>f(x_1)$となります。これは狭義単調増加の定義そのものですし、何より$a\leqq x_1<x_2 \leqq b$を満たす任意の$x_1$と$x_2$についてこれが言えますから、定理Aが示されるわけです。

最後に問題へ戻ります。$x>0$を満たす$x$を1つ固定し、区間$0\leqq t\leqq x$で関数$f'(t)=e^t-1-t$を考えます。$f'(t)$はこの区間で（$t=0$も含めて）連続で、$0<t<x$で微分可能、しかも$0<t<x$では$f''(t)=e^t-1>0$です。よって定理Aから、$f'(t)$は端点を含めた$0\leqq t\leqq x$で狭義単調増加なので、$f'(x)>f'(0)$が言えます。$x>0$は何でもよかったので、$x>0$で$f'(x)>f'(0)=0$が成り立ちます。$f(x)>f(0)$も、同じ考え方で$f(t)$に定理Aを使えば言えます。

塾の授業で配った補足資料をもとに、問題を類題に差し替えて書き直しました。

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連載塾講師木下木下が作成して塾で配布した補足プリントを公開用にちょっと書き直して置いていきます。結構面白いっしょ。46本の記事・木下 智貴