平均値の定理のまわり

⑴ 全ての$x\in [a,b]$で$f(x)=f(a)$（定数）のとき

定数関数は各点で導関数が$0$より題意が成立する。

⑵ $f(t)>f(a)=f(b)$なる$t\in (a,b)$が存在するとき

$f(x)$は$[a,b]$で連続より、最大値・最小値の定理から$f(c)$が$f(x)$の値域のなかで最大値となるような$c\in [a,b]$が存在して、また⑵の仮定より$x=a$や$x=b$で$f(x)$は最大値を取らないから、$c\neq a$かつ$c\neq b$なので$c\in (a,b)$である。この$c$について、$f(x)$が$(a,b)$で微分可能なため$f'(c)$が存在して、その値は

$$\begin{aligned}&\begin{cases} &f'(c)=\lim_{h\to +0}\dfrac{f(c+h)-f(c)}{h}\cdots\text{①}\\ &f'(c)=\lim_{h\to -0}\dfrac{f(c+h)-f(c)}{h}\cdots\text{②} \end{cases}\end{aligned}$$

となる。ここで、$f(c)$は最大値なので$f(c+h)-f(c)\leqq 0$であり、これを$h>0$で割ると$0$以下、$h<0$で割ると$0$以上になることを用いると、

$$\begin{aligned}&\begin{cases} &\text{①}\leqq 0\\ &\text{②}\geqq 0 \end{cases}\end{aligned}$$

となる。ここで微分可能という仮定から①と②の右側・左側極限は一致する。よって$\text{①}=\text{②}$であるので、$f'(c)=0$となるから、最大値をとる$c\in (a,b)$で$f'(c)=0$となるので題意が成立する。

⑶ $f(t)<f(a)=f(b)$なる$t\in (a,b)$が存在するとき

⑵と同様に$f(x)$が最小値をとる$c\in (a,b)$で$f'(c)=0$となるので題意が成立する。□

$$\begin{aligned}&g(x):=f(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\end{aligned}$$

とする。この時

$$\begin{aligned}&\begin{cases} &g(a)=f(a)\\ &g(b)=f(b)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(a) \end{cases}\end{aligned}$$

となるので$g(a)=g(b)$である。また、$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$はただの一次関数なのでもちろん連続で微分可能だから、$g(x)$は$f(x)$と同様$[a,b]$で連続、$(a,b)$で微分可能なので、$g(x)$に対してロルの定理が使えて、$g'(c)=0$を満たす$c\in (a,b)$が存在する。この$c$について、$g(x)$の定義から

$$\begin{aligned}&g'(c)=f'(c)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\end{aligned}$$

が成立し、これが$0$となるので、この$c$において

$$\begin{aligned}&f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\end{aligned}$$

が成立するから、題意が成立する。□

全ての$z,y\in [a,b)$に対し$z>y\Rightarrow f(z)>f(y)$を示せば「$[a,b)$で$f(x)$が狭義単調増加」と言えるため、これを示す。

まず、$z>y$を満たす$z,y\in [a,b)$に対し、$(y,z)\subset (a,b)$であり、$[y,z]\subset[a,b)$なので、⁸8$y,z\in [a,b)$であるので、$a\leqq y <z<b$であるから、$(y,z)\subset (a,b)$かつ$[y,z]\subset[a,b)$下の脚注へ閉じる$f(x)$が$(a,b)$で微分可能、$[a,b)$で連続であることから$f(x)$は$(y,z)$で微分可能かつ$[y,z]$で連続である。よって平均値の定理が使えて、

$$\begin{aligned}&f(z)-f(y)=f'(c)(z-y)\end{aligned}$$

なる$c\in (y,z)$が存在する。ここで、全ての$x\in (a,b)$で$f'(x)>0$であり、$c\in (y,z)\subset (a,b)$なので、$c\in (a,b)$だから$f'(c)>0$である。ここで、仮定より$z>y\Rightarrow z-y>0$なので、$f'(c)(z-y)>0$である。よって、

$$\begin{aligned}&f(z)-f(y)>0\Rightarrow f(z)>f(y)\end{aligned}$$

となる。よって示された。□

（$g'(x)$の計算までは同じ）よって、$0<x<1$において$g'(x)>0$が常に成立する。$\cdots\heartsuit$

ここで、$g(0):=0$として$g(x)$の定義域を拡張する。$\lim_{x\to +0}g(x)=0$よりこのとき$g(x)$は$[0,1)$で連続、$(0,1)$で微分可能である。よって、$y\in (0,1)$と$0$に対して、$g(x)$は$(0,y)$で微分可能、$[0,y]$で連続であるから、平均値の定理を用いて、

$$\begin{aligned}g(y)-g(0)&=g'(c)(y-0)\\\Leftrightarrow\ g(y)&=g'(c)\cdot y\end{aligned}$$

なる$c\in (0,y)$が存在する。$(0,y)\subset (0,1)$より、$c\in (0,1)$なので$g'(c)>0$である（$\because\heartsuit$）。これと$y\in (0,1)$より$y>0$から、$g'(c)\cdot y>0$となるので、$g(y)>0$である。よって、全ての$y\in (0,1)$で$g(y)>0$となるので、全ての$x\in (0,1)$で$g(x)>0$となる。

したがって

$$\begin{aligned}&x-\dfrac{x^3}{3}<f(x) \ \quad\square\end{aligned}$$

$f(x)$が$x=a$で右側連続とは、以下が真であることである：

$$\begin{aligned}&\forall \varepsilon >0,\exists \delta>0,\\ &\quad s.t.,y\in (a,b)\land|y-a|<\delta\Rightarrow |f(y)-f(a)|<\varepsilon\end{aligned}$$

$\cdots\text{①}$

また、$f(x)$が$(a,b)$で狭義単調増加とは、以下が真であることである：

$$\begin{aligned}&\forall z,w\in (a,b),z>w\Rightarrow f(z)>f(w)\end{aligned}$$

ここから、$f(x)$が$[a,b)$で狭義単調増加なことを示す。つまり以下が成り立つことを示す：

$$\begin{aligned}&\forall z,w\in [a,b),z>w\Rightarrow f(z)>f(w)\end{aligned}$$

ここで、$z,w\in (a,b)$については仮定より言えるので、結局以下を言えば良い：

$$\begin{aligned}&\forall z\in (a,b),f(z)>f(a)\end{aligned}$$

これを示す。まず、任意の$z\in (a,b)$に対し、開区間の性質より

$$\begin{aligned}\exists u \ ,s.t.,\ a<u<z\end{aligned}$$

であり、このとき$u,z\in (a,b)$なので、$f(x)$が$(a,b)$で狭義単調増加であることにより、

$$\begin{aligned}&f(u)<f(z)\end{aligned}$$

となる。よって$f(z)-f(u)=:\varepsilon _{u,z}$とすると$\varepsilon _{u,z}>0$である。よって①より、

$$\begin{aligned}&\exists \delta _{u,z}>0 ,\\ &\quad \quad s.t.\ ,y\in (a,b)\land|y-a|<\delta_{u,z}\\ &\quad \quad \quad \Rightarrow |f(y)-f(a)|<\varepsilon_{u,z}\end{aligned}$$

$\cdots\text{②}$

よって、$0<y_{u,z}-a<\min (u-a,\delta_{u,z})$を満たす$y_{u,z}$をひとつ選べば、これは

$$\begin{aligned}&a<y_{u,z}<u<b\ \ \land\ \ |y_{u,z}-a|<\delta_{u,z}\end{aligned}$$

を満たすので、

$$\begin{aligned}&\begin{cases} (a,b)\text{での狭義単調性より、}\ f(y_{u,z})<f(u)\cdots\text{③}\\ \text{②より、}\ |f(y_{u,z})-f(a)|<\varepsilon_{u,z}\cdots\text{④} \end{cases}\end{aligned}$$

となる。まず、④より、

$$\begin{aligned}&-\varepsilon_{u,z} <f(y_{u,z})-f(a)<\varepsilon_{u,z}\\ &\quad \quad \Rightarrow f(a)<f(y_{u,z})+\varepsilon_{u,z}\cdots\text{⑤}\end{aligned}$$

である。ただし、下側の不等式のみを用いた変形を行っている。次に、③と⑤より、

$$\begin{aligned}&f(a)<f(y_{u,z})+\varepsilon_{u,z}<f(u)+\varepsilon_{u,z}\end{aligned}$$

となる。ここで、$f(z)-f(u)=:\varepsilon _{u,z}$であるから、

$f(u)+\varepsilon_{u,z}=f(z)$である。よって、

$$\begin{aligned}&f(a)<f(z)\end{aligned}$$

である。ここに、$z$は$z\in (a,b)$を満たす任意の数なので、

$$\begin{aligned}&\forall z\in (a,b),f(z)>f(a)\end{aligned}$$

が示され、題意が成立する。□

$$\begin{aligned}&f(x)=\left(\sum_{k=0}^{0} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\right)\\ &\quad +\dfrac{f'(c)}{1!}(x-a)\\ &\Leftrightarrow f(x)=f(a)+f'(c)(x-a)\\ &\Leftrightarrow f'(c)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\quad \text{\small{（ただし$x\neq a$と仮定）}}\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}&f(x)=\left(\sum_{k=0}^{1} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\right)\\ &\quad +\dfrac{f''(c)}{2!}(x-a)^2\\ &\Leftrightarrow f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(c)}{2!}(x-a)^2\end{aligned}$$

$f(x):=\sin x$とする。$f'(x)=\cos x$、$f''(x)=-\sin x$、$f'''(x)=-\cos x$、$f''''(x)=\sin x$、$f^{(5)}(x)=\cos x$、$\cdots$より、

$$\begin{aligned}&\begin{cases} &f(0)=0\\ &f'(0)=1\\ &f''(0)=0\\ &f'''(0)=-1\\ &f''''(0)=0\\ &f^{(5)}(0)=1\\ &\cdots \end{cases}\end{aligned}$$

となる。よって、

$$\begin{aligned}&\sin x=0+\dfrac{1}{1!}x+\dfrac{0}{2!}x^2+\dfrac{-1}{3!}x^3+\dfrac{0}{4!}x^4+\dfrac{1}{5!}x^5+\cdots\\ &\quad =x-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{1}{5!}x^5+\cdots\end{aligned}$$

ラグランジュの平均値の定理よりある$c\in (a,b)$が存在して、

$$\begin{aligned}&\begin{cases} &f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\\ &g'(c)=\dfrac{g(b)-g(a)}{b-a} \end{cases}\end{aligned}$$

となるから、この$c$をもちいて

$$\begin{aligned}&\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot\dfrac{b-a}{g(b)-g(a)}\\ &\quad =\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}\end{aligned}$$

まず、$g(b)-g(a)\neq 0$を示す。²⁴24これを言わないと結果の式で$g(b)-g(a)$が分母にくるのでまずいです。下の脚注へ閉じる仮定から$g(x)$はラグランジュの平均値の定理の適用範囲内のため、

$$\begin{aligned}&g'(d)=\dfrac{g(b)-g(a)}{b-a}\\ &\Leftrightarrow g(b)-g(a)=g'(d)(b-a)\end{aligned}$$

を満たす$d\in (a,b)$が存在する。ここで、仮定よりすべての$x\in (a,b)$で$g'(x)\neq 0$のため$g'(d)\neq 0$であり、また$a<b$より、$g'(d)(b-a)\neq 0$なので、$g(b)-g(a)\neq 0$となる。

ここで、$g(b)-g(a)\neq 0$より

$$\begin{aligned}&h(x):=f(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}(g(x)-g(a))\end{aligned}$$

と定義すると、²⁵25なんか既視感がありますね。お分かりかと思いますがラグランジュの平均値の定理の証明で用いたキメラみたいな関数とほぼ同じ作り方で作ります。下の脚注へ閉じる$h(a)=h(b)=f(a)$となる。またこの$h(x)$は$f(x)$や$g(x)$の条件から$[a,b]$で連続、$(a,b)$で微分可能である。よってロルの定理から、$h'(c)=0$となる$c\in (a,b)$が存在する。ここで、

$$\begin{aligned}&h'(c)=f'(c)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c)\end{aligned}$$

となるため、この$c$について、

$$\begin{aligned}&f'(c)-\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g'(c)=0\\ &\Leftrightarrow \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(c)}{g'(c)}\end{aligned}$$

となる。ただし同値変形には$g(x)$の条件から$g'(c)\neq 0$であることを用いた。よって題意が成立する。□

$F(x):=\int_a^x f(t)\ dt$としておく。$F(x)$は$f(x)$の原始関数の一つである。このとき、$f(x)$が$[a,b]$で連続なので、

$$\begin{aligned}&\begin{cases} &\text{・}F'(x)=f(x)\text{より}(a,b)\text{で}F(x)\text{は微分可能}\\ &\text{・}f(x)\text{は}[a,b]\text{で連続より面積は連続に}\\ &\text{\quad 変化するから}F(x)\text{も}[a,b]\text{で連続} \end{cases}\end{aligned}$$

となるので、平均値の定理が使えて、

$$\begin{aligned}&\dfrac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(c)\end{aligned}$$

となる$c\in (a,b)$が存在する。ここでこの$c$について、

$$\begin{aligned}&\begin{cases} &F(b)-F(a)=\int_a^b f(x)\,dx\\ &F'(c)=f(c) \end{cases}\end{aligned}$$

より

$$\begin{aligned}&\dfrac{\int_a^b f(x)\,dx}{b-a}=f(c)\\ &\Leftrightarrow \int_a^b f(x) \ dx=(b-a)f(c)\end{aligned}$$

となるから、この$c\in (a,b)$で題意が成立する。□