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逆関数の微分

2025年度 高2解説2026年10月6日7分で読めます塾講師木下微分

ここでは、f(x)f(x)の逆関数f−1(x)f^{-1}(x)の導関数を計算することを考えます。……が、その前に逆関数の復習をしておきましょう。

一般に逆関数とは、

y=f(x)の逆関数：x=f(y)を満たすy=f(x)\text{の逆関数}：x=f(y)\text{を満たす}

ものを言います。関数とは一般に「xxをとったらyyの値がわかる（具体的に一つに定まる）」ものでしたが、逆関数をとれるような関数においてはそれだけでなく、「yyの値がわかれば、xxの値も特定できる」のでした。

以前に逆関数をとれるような関数は、「上への１対１の関数」に限られるということをやっていましたね。深くは取り扱いませんが要確認です1たとえば y=x2y=x^2 は x=1x=1 と x=−1x=-1 で同じ値をとるので、定義域を x≧0x\geqq0 などに制限しないと逆関数をもちません。下の脚注へ。

一般には、x=f(y)x=f(y)をy=(xの式)y=(x\text{の式})に書きなおした形で表します。これが可能であれば逆関数の微分は簡単です。例えば、直線の逆関数の導関数を考えてみましょう。y=3x+1y=3x+1の逆関数はx=3y+1⇔y=13x−13x=3y+1\Leftrightarrow y=\dfrac13x-\dfrac13ですね。逆関数の導関数はつまるところ傾きなので13\dfrac13です。

この例のように、xxとyyを入れかえた後にy=(xの式)y=(x\text{の式})に直せるような場合であれば微分することも容易ですが、それが出来ない関数も数多くあります。例えば「y=sin⁡xy=\sin xの逆関数を微分せよ」という問題が出たらどうでしょうか2y=arcsin⁡xy=\arcsin xですね知ってますよ、というような人には釈迦に説法ではありますが……。下の脚注へ。直線の逆関数の導関数のようにして解くことはできません。そこで、今回学習する以下の手法が威力を発揮します。

逆関数の微分

⑴ y=f(x)y=f(x)のxxとyyを入れ替える

x=f(y)x=f(y)

⑵ 両辺xxで微分する

1=ddxf(y)⇔1=dydx⋅ddyf(y)⇔dydx=1ddyf(y)\begin{aligned}&1=\dfrac{d}{dx}f(y)\\ \Leftrightarrow{}&1=\dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{d}{dy}f(y)\\ \Leftrightarrow{}&\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\dfrac{d}{dy}f(y)}\end{aligned}

⑶ この時点ではdydx\dfrac{dy}{dx}はyyの式で表されているので、⑴の式を使ってxxに表し直す

これだけだと何がなんだか、となりそうなので、ここでやっていることを解説しておきます。

この操作の目的意識は、逆関数f−1f^{-1}の式から元の関数ffの式に直し、dydx\dfrac{dy}{dx}の情報を取り出すことにあります。

まず、f−1f^{-1}の式から元の関数ffの式に直しましょう。y=f−1(x)y=f^{-1}(x)とおき、この両辺を関数ffに代入すると、

f(y)=f(f−1(x))⇔f(y)=x\begin{aligned}&{}f(y)=f(f^{-1}(x))\\ \Leftrightarrow{}&f(y)=x\end{aligned}

より、x=f(y)x=f(y)という関数を得ることができます。

x=f(y)x=f(y)という式からdydx\dfrac{dy}{dx}の情報を引き出せばいいのですが、ここは当然陰関数微分です。両辺をxxで微分します。

左辺の微分は簡単で11になります。右辺の微分は合成関数の微分法を使って、

ddxf(y)=dydx⋅ddyf(y)\dfrac{d}{dx}f(y)=\dfrac{dy}{dx}\cdot \dfrac{d}{dy}f(y)

となります。

よって、

1=dydx⋅ddyf(y) ⇔ dydx=1ddyf(y)1=\dfrac{dy}{dx}\cdot \dfrac{d}{dy}f(y)\ \Leftrightarrow \ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac1{\dfrac{d}{dy}f(y)}

となり、dydx\dfrac{dy}{dx}が計算できます。ただし、分母のddyf(y)\dfrac{d}{dy}f(y)が00になる所ではこの式は使えません。たとえばy=x3y=x^3の逆関数y=x3y=\sqrt[3]{x}は、x=0x=0（y=0y=0でddyy3=0\dfrac{d}{dy}y^3=0）でグラフの接線が縦になり、微分できません。きちんと言うと、「ffが区間で微分可能で狭義単調、かつf′(y)≠0f'(y)\neq0」のとき、逆関数は微分可能で上の式が成り立ちます（だからこそ両辺をxxで微分してよい）。

例：sin⁡x\sin x の逆関数

y=sin⁡x (−π2<x<π2)y=\sin x\ \left(-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}\right)の逆関数は

x=sin⁡y(−π2<y<π2)x=\sin y\quad \left(-\dfrac{\pi}{2}<y<\dfrac{\pi}{2}\right)

を満たします。両辺をxxで微分すると1=dydx⋅cos⁡y1=\dfrac{dy}{dx}\cdot\cos yなので、dydx=1cos⁡y\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\cos y}です。ここで−π2<y<π2-\dfrac{\pi}{2}<y<\dfrac{\pi}{2}よりcos⁡y>0\cos y>0なので、cos⁡y=1−sin⁡2y=1−x2\cos y=\sqrt{1-\sin^2y}=\sqrt{1-x^2}となり、

dydx=11−x2\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}

が得られます。逆関数そのものをy=(xの式)y=(x\text{の式})の形で書けなくても、その導関数は求まるのがポイントです。⑶でxxの式に直すときに、yyの範囲から符号（ここではcos⁡y\cos yの正負）を決める所を忘れないようにしましょう。

逆関数の導関数を使う問題

授業で扱った問題3塾の授業で扱った問題は塾の教材なので、数値を変えた類題に差し替えています。下の脚注へでは、この方法で逆関数の導関数を求め、それを使って逆関数を多項式で下から評価し、さらに具体的な値を代入して π\pi を評価しました。同じ考え方で解ける問題を1つ挙げます。

問題

tan⁡x (−π2<x<π2)\tan x\ \left(-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}\right) の逆関数を f(x)f(x) とする。

⑴ f′(x)f'(x) を xx の式で表せ。

⑵ x>0x>0 のとき、f(x)>x−x33f(x)>x-\dfrac{x^3}{3} を示せ。

⑶ π>3.07\pi>3.07 を示せ。ただし 1.73<3<1.741.73<\sqrt3<1.74 を用いてよい。

⑴ y=f(x)y=f(x) とおくと x=tan⁡y (−π2<y<π2)x=\tan y\ \left(-\dfrac{\pi}{2}<y<\dfrac{\pi}{2}\right) です。両辺を xx で微分すると 1=dydx⋅1cos⁡2y1=\dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{1}{\cos^2y} なので

f′(x)=dydx=cos⁡2y=11+tan⁡2y=11+x2f'(x)=\frac{dy}{dx}=\cos^2y=\frac{1}{1+\tan^2y}=\frac{1}{1+x^2}

です。sin⁡x\sin x のときと違い、cos⁡2y=11+tan⁡2y\cos^2y=\dfrac{1}{1+\tan^2y} には符号の問題が出てきません。

⑵ g(x)=f(x)−(x−x33)g(x)=f(x)-\left(x-\dfrac{x^3}{3}\right) とおくと、⑴より

g′(x)=11+x2−1+x2=1−(1−x2)(1+x2)1+x2=x41+x2\begin{aligned}g'(x)&=\frac{1}{1+x^2}-1+x^2\\&=\frac{1-(1-x^2)(1+x^2)}{1+x^2}\\&=\frac{x^4}{1+x^2}\end{aligned}

です。x>0x>0 で g′(x)>0g'(x)>0 なので g(x)g(x) は x≧0x\geqq0 で増加し、g(0)=f(0)=0g(0)=f(0)=0 から、x>0x>0 で g(x)>0g(x)>0 です。

⑶ tan⁡π6=13\tan\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{\sqrt3} なので f ⁣(13)=π6f\!\left(\dfrac{1}{\sqrt3}\right)=\dfrac{\pi}{6} です。⑵に x=13x=\dfrac{1}{\sqrt3} を代入すると

π6>13−193=893=8327\frac{\pi}{6}>\frac{1}{\sqrt3}-\frac{1}{9\sqrt3}=\frac{8}{9\sqrt3}=\frac{8\sqrt3}{27}

より π>1639>16×1.739=3.075⋯>3.07\pi>\dfrac{16\sqrt3}{9}>\dfrac{16\times1.73}{9}=3.075\cdots>3.07 です。

⑶では、tan⁡π4=1\tan\dfrac{\pi}{4}=1 を使って x=1x=1 を代入することもできますが、そうすると π4>23\dfrac{\pi}{4}>\dfrac23、つまり π>83\pi>\dfrac83 しか出てきません。00 に近い値を代入するほど評価の精度がよくなります。その理由はマクローリン展開の記事に書きました。

1　たとえば y=x2y=x^2 は x=1x=1 と x=−1x=-1 で同じ値をとるので、定義域を x≧0x\geqq0 などに制限しないと逆関数をもちません。

2　y=arcsin⁡xy=\arcsin xですね知ってますよ、というような人には釈迦に説法ではありますが……。

3　塾の授業で扱った問題は塾の教材なので、数値を変えた類題に差し替えています。

塾の授業で配った補足資料をもとに、問題を類題に差し替えて書き直しました。

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連載塾講師木下木下が作成して塾で配布した補足プリントを公開用にちょっと書き直して置いていきます。結構面白いっしょ。46本の記事・木下 智貴
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