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陰関数の微分

2025年度 高2解説2026年10月6日12分で読めます塾講師木下微分
目次
  1. 1. 縦棒と添字のついた記号
  2. 2. 円の上で が値をもたない2点
  3. 3. 陽関数に直すか、式のまま微分するか
  4. 4. 二次曲線の第2次導関数

授業の例題は、放物線 y=12x2y=\frac12x^2 上の点 P(α,β)\mathrm{P}(\alpha,\beta) を通る円 (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 のうち、P における dydx\frac{dy}{dx} と d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2} の値が放物線のものと等しくなる円を求める問題でした1塾の授業で扱った問題は塾の教材なので、数値を変えた類題に差し替えています。下の脚注へ。円の式を yy について解くと平方根と ±\pm が出てきて計算が重くなるので、解答では円の式を解かずに、そのまま両辺を xx で微分しています2この問題の解答の流れ。放物線 y=12x2y=\frac12x^2 では dydx=x\frac{dy}{dx}=x、d2ydx2=1\frac{d^2y}{dx^2}=1 なので、P での値は α\alpha と 11。円については §2 と §4 の結果から −α−aβ−b=α-\frac{\alpha-a}{\beta-b}=\alpha、−r2(β−b)3=1-\frac{r^2}{(\beta-b)^3}=1（§2 のとおり β≠b\beta\ne b）。前者から α−a=−α(β−b)\alpha-a=-\alpha(\beta-b) で、円が P を通ることから r2=(1+α2)(β−b)2r^2=(1+\alpha^2)(\beta-b)^2。これを後者に入れると β−b=−(1+α2)\beta-b=-(1+\alpha^2)。β=12α2\beta=\frac12\alpha^2 と合わせて a=−α3, b=32α2+1, r=(1+α2)32a=-\alpha^3,\ b=\frac32\alpha^2+1,\ r=(1+\alpha^2)^{\frac32} が求める円の中心と半径である。下の脚注へ。

この頁では、まず解答の中で説明を省いた2つの点（微分係数の記号と、y−b≠0y-b\ne0 としてよい理由）を補います。そのあとで、陰関数の微分を例題から切り離して整理します。

1. 縦棒と添字のついた記号

解答では、点 P での傾きを dydx∣x=α, y=β\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=\alpha,\ y=\beta} と書きました。縦棒の左にある dydx\frac{dy}{dx} が導関数で、縦棒の右下にあるのが代入する値です。全体で「導関数を x, yx,\ y の式として求めておき、そこへ x=α, y=βx=\alpha,\ y=\beta を入れた値」、つまり点 (α,β)(\alpha,\beta) における微分係数を表します。

陰関数のまま微分すると、導関数の中に xx と yy の両方が残ります。そのため代入する値も xx と yy の2つを書いています。同じことを日本語で「y′y' に x=α, y=βx=\alpha,\ y=\beta を代入した値」と書いても構いませんが、記号なら式の途中に置けるので答案を短くできます。この先の授業でも使う書き方です。

2. 円の上で dydx\frac{dy}{dx} が値をもたない2点

円の式の両辺を xx で微分すると

2(x−a)+2(y−b)dydx=02(x-a)+2(y-b)\frac{dy}{dx}=0

です。ここから dydx\frac{dy}{dx} を取り出すには y−by-b で割る必要があります。割れないのは y=by=b のとき、すなわち円の上で中心と同じ高さにある点で、円の式に y=by=b を入れると x=a±rx=a\pm r なので、そのような点は (a−r, b)(a-r,\ b) と (a+r, b)(a+r,\ b) の2つです（図1）。y≠by\ne b の点では dydx=−x−ay−b\frac{dy}{dx}=-\frac{x-a}{y-b} と求まります。

図1図1　中心 (a,b)(a,b)・半径 rr の円。中心と同じ高さの2点 (a−r,b)(a-r,b) と (a+r,b)(a+r,b) では接線が縦（yy 軸と平行）になる

図1の2点で、円の接線は縦の直線（yy 軸と平行な直線）です。dydx\frac{dy}{dx} を「xx を少し動かしたとき、yy がその何倍動くか」という比として読むと、事情がつかめます。この2点に近づくほど、xx がわずかしか動かないのに yy は大きく動くので、比はいくらでも大きくなります。縦の直線に傾きの数値を割り当てられないのと同じで、この2点では dydx\frac{dy}{dx} は値をもちません。

例題の条件は「P における dydx\frac{dy}{dx} が放物線の傾き α\alpha に等しい」なので、P での dydx\frac{dy}{dx} は値をもっています。したがって P は上の2点のどちらでもなく、β−b≠0\beta-b\ne0 として割り算を進めて構いません。答案では、図1のような図を添えて「y=by=b の点では dydx\frac{dy}{dx} が定まらないので β≠b\beta\ne b」と一言書いておけば十分です。

3. 陽関数に直すか、式のまま微分するか

y=x2+1y=x^2+1 のように「y=y=（xx の式）」の形で曲線を表すことを陽関数表示、x2+y2=1x^2+y^2=1 のように xx と yy が混ざった等式で表すことを陰関数表示といいます。陰関数表示の曲線の dydx\frac{dy}{dx} を求める方法は2つあります。

陰関数表示の曲線の dydx\frac{dy}{dx} の求め方

  1. 等式を yy について解き、陽関数表示にしてから微分する。
  2. 等式のまま両辺を xx で微分する。yy は xx の関数とみなすので、yy を含む項は合成関数の微分により ddxg(y)=g′(y)dydx\frac{d}{dx}g(y)=g'(y)\frac{dy}{dx} となる。

2番目の方法（陰関数微分）は、新しい公式を使っているわけではなく、合成関数の微分を各項に当てはめているだけです。

2つの方法は、結果の形が違います。1番目の方法では dydx\frac{dy}{dx} が xx だけの式になるので、xx の範囲全体で符号を調べられます。2番目の方法では計算は軽く済みますが、dydx\frac{dy}{dx} に yy が残ります。座標の分かった1点での値を求めるなら x, yx,\ y を代入すれば終わりですが、符号を範囲全体で調べるのには向きません。この違いから、何を求めるかに応じて次のように選びます。

接線を求めるときは、接点での傾きの値だけが要るので、式のまま微分します。たとえば曲線 x2+xy+y2=3x^2+xy+y^2=3 は点 (1,1)(1,1) を通ります。両辺を xx で微分すると

2x+(y+xdydx)+2ydydx=0∴ dydx=−2x+yx+2y\begin{aligned}2x+\left(y+x\frac{dy}{dx}\right)+2y\frac{dy}{dx}&=0\\\therefore\ \frac{dy}{dx}&=-\frac{2x+y}{x+2y}\end{aligned}

となり、(1,1)(1,1) では dydx=−1\frac{dy}{dx}=-1 です。したがって接線は y=−x+2y=-x+2 です。この曲線を yy について解くには2次方程式の解の公式が要り、そこから微分するのは遠回りです。

グラフを描くときは、増減表のために dydx\frac{dy}{dx} の符号が範囲全体で要るので、陽関数表示に直します。たとえば曲線 y2=x2(1−x2)y^2=x^2(1-x^2) を式のまま微分すると 2ydydx=2x−4x32y\frac{dy}{dx}=2x-4x^3 から dydx=x(1−2x2)y\frac{dy}{dx}=\frac{x(1-2x^2)}{y} となります。同じ xx でも y>0y>0 の点と y<0y<0 の点とで符号が逆になるので、この式だけでは増減表が書けません。

そこで陽関数表示に直します。まず右辺は 00 以上でなければならないので、xx の範囲は −1≦x≦1-1\leqq x\leqq1 です。また式に xx も yy も2乗の形でしか入っていないので、xx を −x-x に、yy を −y-y に替えても式は変わりません。よって曲線は yy 軸に関しても xx 軸に関しても対称で、0≦x≦1, y≧00\leqq x\leqq1,\ y\geqq0 の部分を調べれば全体が分かります。この部分では y=x1−x2y=x\sqrt{1-x^2} と書けて

dydx=1−x2−x21−x2=1−2x21−x2(0≦x<1)\begin{aligned}\frac{dy}{dx}&=\sqrt{1-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{1-2x^2}{\sqrt{1-x^2}}\qquad (0\leqq x<1)\end{aligned}

です。x=12x=\frac{1}{\sqrt2} までは増加して y=12y=\frac12 に達し、そこから x=1x=1 で y=0y=0 まで減少します。x→1x\to1 では dydx→−∞\frac{dy}{dx}\to-\infty なので、点 (1,0)(1,0) での接線は縦です（§2 の円の2点と同じ状況です）。これを2つの軸で折り返すと図2の曲線になります。

図2図2　曲線 y2=x2(1−x2)y^2=x^2(1-x^2)。原点で交差する横長の8の字で、xx は −1-1 から 11、最大の高さは x=±12x=\pm\frac{1}{\sqrt2} で 12\frac12

面積を求めるときは、∫{(上の曲線)−(下の曲線)} dx\int\{(\text{上の曲線})-(\text{下の曲線})\}\,dx の形に組むために、どちらが上にあるかを知る必要があります。そのため陽関数表示に直して考えるのが基本です。図2の曲線が囲む部分の面積なら、対称性から第1象限の部分の4倍として

4∫01x1−x2 dx=4[−13(1−x2)32]01=434\int_0^1x\sqrt{1-x^2}\,dx=4\left[-\frac13(1-x^2)^{\frac32}\right]_0^1=\frac43

と求まります。

陰関数表示の曲線のグラフを描く手順

  1. yy について解き、陽関数表示で増減を調べる。
  2. 根号の中が 00 以上・分母が 00 でないなどの条件から、xx の範囲を先に決める。
  3. 対称性を探して、調べる範囲を狭める。xx が x2x^2 や ∣x∣|x| の形でしか現れなければ、xx を −x-x に替えても式は変わらないので yy 軸対称。yy についても同様で、こちらは xx 軸対称。

xα+yα=1x^{\alpha}+y^{\alpha}=1 の形の曲線

陰関数微分の練習でよく扱われる曲線に、xα+yα=1 (x≧0, y≧0)x^{\alpha}+y^{\alpha}=1\ (x\geqq0,\ y\geqq0) があります（α>0\alpha>0）。α=1\alpha=1 なら線分、α=2\alpha=2 なら四分円です。α\alpha を大きくすると曲線は外へふくらみ、正方形の角 (1,1)(1,1) に近づいていきます。逆に α\alpha を 11 より小さくすると、曲線は原点の側へへこみ、2つの座標軸に近づいていきます（図3）。

図3図3　xα+yα=1x^\alpha+y^\alpha=1 の第1象限の部分を α=12, 23, 1, 2, 4\alpha=\frac12,\ \frac23,\ 1,\ 2,\ 4 について重ねた図。α\alpha が大きいほど外へふくらむ

このうち2つには名前がついています。α=12\alpha=\frac12 のときは放物線の一部です（両辺を2回2乗して整理すると (x−y)2−2(x+y)+1=0(x-y)^2-2(x+y)+1=0 になり、軸が直線 y=xy=x の放物線を表します）。α=23\alpha=\frac23 のときはアステロイド（星芒形）と呼ばれる曲線です。どちらも接線について、次の性質をもちます。

放物線 x+y=a\sqrt x+\sqrt y=\sqrt a の上の点を (s2, t2)(s^2,\ t^2)（s, t>0, s+t=as,\ t>0,\ s+t=\sqrt a）とします。陰関数微分で dydx=−yx=−ts\frac{dy}{dx}=-\frac{\sqrt y}{\sqrt x}=-\frac ts なので、この点での接線は tx+sy=st(s+t)tx+sy=st(s+t)、すなわち

xs+yt=a\frac xs+\frac yt=\sqrt a

です。xx 軸との交点を P、yy 軸との交点を Q とすると OP=sa, OQ=ta\mathrm{OP}=s\sqrt a,\ \mathrm{OQ}=t\sqrt a で、OP+OQ=(s+t)a=a\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}=(s+t)\sqrt a=a となり、接点によらず一定です（図4）。

図4図4　放物線 x+y=1\sqrt x+\sqrt y=1 の接線が xx 軸と P、yy 軸と Q で交わる図。OP+OQ=1\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}=1

アステロイド x23+y23=a23x^{\frac23}+y^{\frac23}=a^{\frac23} の上の点は (acos⁡3θ, asin⁡3θ)(a\cos^3\theta,\ a\sin^3\theta)（0<θ<π20<\theta<\frac{\pi}{2}）と書けます。陰関数微分で dydx=−(yx)13=−tan⁡θ\frac{dy}{dx}=-\left(\frac yx\right)^{\frac13}=-\tan\theta なので、接線は xsin⁡θ+ycos⁡θ=asin⁡θcos⁡θx\sin\theta+y\cos\theta=a\sin\theta\cos\theta、すなわち

xcos⁡θ+ysin⁡θ=a\frac{x}{\cos\theta}+\frac{y}{\sin\theta}=a

です。P、Q を同じように決めると OP=acos⁡θ, OQ=asin⁡θ\mathrm{OP}=a\cos\theta,\ \mathrm{OQ}=a\sin\theta で、PQ=a\mathrm{PQ}=a が接点によらず一定です（図5）。

図5図5　アステロイド x23+y23=1x^{\frac23}+y^{\frac23}=1 の接線が xx 軸と P、yy 軸と Q で交わる図。PQ=1\mathrm{PQ}=1

この2つの性質は逆向きにも読めます。xx 軸上の点 P と yy 軸上の点 Q を、OP+OQ\mathrm{OP}+\mathrm{OQ} が一定になるように動かすと、直線 PQ が通過する範囲の境界（直線 PQ の包絡線）は放物線になります。PQ\mathrm{PQ} が一定になるように動かすと、包絡線はアステロイドになります。

4. 二次曲線の第2次導関数

例題では、円の dydx=−x−ay−b\frac{dy}{dx}=-\frac{x-a}{y-b} をもう一度 xx で微分しました。商の微分をして、途中で出てくる dydx\frac{dy}{dx} に上の式を戻すと

d2ydx2=−(y−b)−(x−a)dydx(y−b)2=−(x−a)2+(y−b)2(y−b)3=−r2(y−b)3\begin{aligned}\frac{d^2y}{dx^2}&=-\frac{(y-b)-(x-a)\frac{dy}{dx}}{(y-b)^2}\\&=-\frac{(x-a)^2+(y-b)^2}{(y-b)^3}\\&=-\frac{r^2}{(y-b)^3}\end{aligned}

となります。最後の等号では円の式 (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 を使いました。分子が定数になるので、d2ydx2\frac{d^2y}{dx^2} の符号は y−by-b の符号だけで決まり、円の上半分（y>by>b）では負、下半分では正です。

楕円や双曲線でも、分子に元の曲線の式がそのまま現れて定数に置き換わります。双曲線 x2−4y2=4x^2-4y^2=4 で確かめます。両辺を xx で微分すると

2x−8ydydx=0∴ dydx=x4y2x-8y\frac{dy}{dx}=0\quad\therefore\ \frac{dy}{dx}=\frac{x}{4y}

です。これをもう一度 xx で微分して

d2ydx2=y−xdydx4y2=4y2−x216y3=−416y3=−14y3\begin{aligned}\frac{d^2y}{dx^2}&=\frac{y-x\frac{dy}{dx}}{4y^2}\\&=\frac{4y^2-x^2}{16y^3}\\&=-\frac{4}{16y^3}=-\frac{1}{4y^3}\end{aligned}

となります（3つ目の等号で x2−4y2=4x^2-4y^2=4 を使いました）。一般の楕円 x2p2+y2q2=1\frac{x^2}{p^2}+\frac{y^2}{q^2}=1 でも同じ計算で dydx=−q2xp2y\frac{dy}{dx}=-\frac{q^2x}{p^2y}、d2ydx2=−q4p2y3\frac{d^2y}{dx^2}=-\frac{q^4}{p^2y^3} です。

1　塾の授業で扱った問題は塾の教材なので、数値を変えた類題に差し替えています。

2　この問題の解答の流れ。放物線 y=12x2y=\frac12x^2 では dydx=x\frac{dy}{dx}=x、d2ydx2=1\frac{d^2y}{dx^2}=1 なので、P での値は α\alpha と 11。円については §2 と §4 の結果から −α−aβ−b=α-\frac{\alpha-a}{\beta-b}=\alpha、−r2(β−b)3=1-\frac{r^2}{(\beta-b)^3}=1（§2 のとおり β≠b\beta\ne b）。前者から α−a=−α(β−b)\alpha-a=-\alpha(\beta-b) で、円が P を通ることから r2=(1+α2)(β−b)2r^2=(1+\alpha^2)(\beta-b)^2。これを後者に入れると β−b=−(1+α2)\beta-b=-(1+\alpha^2)。β=12α2\beta=\frac12\alpha^2 と合わせて a=−α3, b=32α2+1, r=(1+α2)32a=-\alpha^3,\ b=\frac32\alpha^2+1,\ r=(1+\alpha^2)^{\frac32} が求める円の中心と半径である。

塾の授業で配った補足資料をもとに、問題を類題に差し替えて書き直しました。

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