マクローリン展開

授業で扱った問題は、$\tan x\ \left(0<x<\dfrac{\pi}{2}\right)$の逆関数$f(x)$について、まず$x-\dfrac{x^3}{3}<f(x)$という多項式による評価を示し¹1塾の授業で扱った問題は塾の教材なので、数値を変えた類題に差し替えています。下の脚注へ閉じる（逆関数の微分は逆関数の微分の記事）、それを使って$\pi$を下から評価しました。後半では、$f(x)$の値に$\pi$が出てくるような$x$を具体的に用意します。$f(x)$は$\tan f(x)=x\ \left(0<f(x)<\dfrac{\pi}{2}\right)$を満たすので、有名角から候補を探すと

$$\begin{aligned}&f(1)=\dfrac{\pi}{4},\quad f\left(\sqrt{3}\right)=\dfrac{\pi}{3},\quad f\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)=\dfrac{\pi}{6}\end{aligned}$$

あたりでしょうか。この時点でどれが題意を満たすのかはとうぜん不明なのですが、「満たしやすそうな式」「満たしにくそうな式」は見分けられてほしいところです。

結論から言うと、この手の「関数を多項式で評価する」系の問題で具体値の代入をする場面では、基本的に$0$に近い値を代入するとうまくいく場面が多いです。つまり今回は$x=\dfrac{\sqrt{3}}{3}$を代入してやるとうまくいきそうだということになります。これにはこの手の評価が$x=0$近傍で精度が非常に良いことが関係しています。以下はその理由の話で、少し発展的内容です。余裕のない人は上の事実を覚えてくれればそれで良いです。

1. 先に結果だけ：展開の式と使われ方

関数 $f(x)$ に対して、無限個の項の和

$$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$$

を $f(x)$ のマクローリン展開と呼びます。$f^{(k)}(0)$ は、$f$ を $k$ 回微分した関数（$k$ 次導関数）に $x=0$ を代入した値です。$k=0$ の項は $f(0)$ そのもので、$0!=1$ と約束します。右辺の和が収束して左辺と等しくなる $x$ の範囲は関数ごとに違います（§2 の脚注6）。

この式の係数を $k=0,1,2,\ldots$ と順に計算すると、よく使う4つの関数について次の展開が得られます。

階乗の値は $2!=2,\ 3!=6,\ 4!=24,\ 5!=120$ です。たとえば⑵で $f(x)=\sin x$ とすると、導関数は $\cos x,\ -\sin x,\ -\cos x,\ \sin x$ の4つを繰り返すので、$x=0$ での値は $0,1,0,-1,0,1,\ldots$ と並びます。これを $k!$ で割ったものが⑵の係数です。

入試の問題文に無限和の形のまま現れることはまずありません。現れるのは、授業で扱った問題の $x-\dfrac{x^3}{3}<f(x)$ のように、展開を途中で打ち切った多項式と元の関数との大小を比べる不等式の形です²2$\tan x\ \left(0<x<\dfrac{\pi}{2}\right)$ の逆関数の展開は $x-\dfrac13x^3+\dfrac15x^5-\dfrac17x^7+\cdots$ で、係数の符号が交互に変わります。$x-\dfrac13x^3$ で打ち切ると、捨てる項の最初は $+\dfrac15x^5$ で、$x>0$ では正なので、逆関数のほうが少し大きいと見当がつきます。授業で扱った問題の不等式はこうして作られています。下の脚注へ閉じる。

箱の⑶の考え方を、展開の⑶ $\cos x$ で試してみます。$1-\dfrac{x^2}{2}$ で打ち切ると次の項 $+\dfrac{x^4}{24}$ が正なので $\cos x$ は少し大きく、$1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}$ で打ち切ると次の項 $-\dfrac{x^6}{720}$ が負なので $\cos x$ は少し小さくなるはずです。実際、すべての実数 $x$ で

$$1-\dfrac{x^2}{2}\leqq\cos x\leqq 1-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^4}{24}$$

が成り立ちます（§2 のグラフの $P_2$ と $P_4$ の上下関係です）。$x\ne0$ のとき各辺から $1$ を引いて $-x^2$ で割ると $\dfrac12-\dfrac{x^2}{24}\leqq\dfrac{1-\cos x}{x^2}\leqq\dfrac12$ となり、$x\to0$ とすると $\dfrac{1-\cos x}{x^2}\to\dfrac12$ が読み取れます。

ただしこの極限の求め方は、近似のイメージを持つための例であって、答案の論証の根拠にはなりません。$\cos x$ の展開の係数は $(\cos x)'=-\sin x$ などの微分の公式から計算しますが、$\sin x,\ \cos x$ の微分の公式は $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ を使って導かれています。$\dfrac{1-\cos x}{x^2}$ の極限はその $\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$ から出す極限なので、展開を根拠にすると循環論法になります。

ここからは、なぜ $x=0$ の近くほど精度が良いのかを説明します。

2. 本質的な議論

授業で扱った問題の近似は「テイラー展開」（の特殊な場合であるマクローリン展開）と呼ばれるもので、以下の「マクローリンの定理」が根底にあります：

この定理はつまり、「$f(x)$はだいたい$\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$程度であり、両者の誤差は$h_n(x)x^n$となる」ということを示しています。このため、この誤差である$h_n(x)x^n$が小さくなれば$f(x)$を$\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$で精度よく近似できることがわかります。⁴4この$h_n(x)x^n$をペアノの剰余項と言います。この誤差の部分についてはさまざまな表現があるので好きな人は調べてみてください。下の脚注へ閉じる$h_n(x)$は挙動の掴めない未知の⁵5「未知」とは言っても$f(x)-\sum_{k=0}^{n}\dfrac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$のような表現はできます。あくまで挙動が読めないと言う意味での「未知」です。下の脚注へ閉じる関数で極限しかわかっていませんから、$h_n(x)x^n$を小さくするには$x^n$を小さくする、つまり$x\simeq 0$の値を代入してやると精度の良い近似が得られるわけですね。

今回のように、関数が多項式で評価されていたらだいたいこのマクローリン展開です。そのため、この手の評価を精度良く行うにはできるだけ$0$に近い値を代入するべきで、候補として挙げたこの中で最もそれに適しているのは$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$となります。

誤差の項を$h_n(x)x^n$ではなく導関数の値で書く形（テイラーの定理とラグランジュの剰余項）は、平均値の定理のまわりの§3に書きました。$\sin x\simeq x-\dfrac{x^3}{6}$ の近似が極限の問題の背景になる例は、1の∞乗の極限とマクローリン展開にもあります。

また、マクローリン展開は無限項の途中で打ち切って$n$次の多項式近似を作ることができます。以下に$\cos x$の多項式近似を各次数で行ったときのグラフを描きます。グラフを見れば、$x\simeq 0$で近似精度が上がることや次数を上げるとより広い範囲で近似精度が上がることが視覚的にわかるでしょう：

$y=\cos x$のマクローリン展開での近似のグラフ

図1　$y=\cos x$ と、そのマクローリン展開による0次・2次・4次の近似 $P_0,\ P_2,\ P_4$ のグラフ

$$\begin{aligned}&P_0(x)=1\\ &P_2(x)=1 - \dfrac{x^2}{2!}\\ &P_4(x)=1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!}\end{aligned}$$

塾の授業で配った補足資料をもとに、問題を類題に差し替えて書き直しました。

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連載塾講師木下木下が作成して塾で配布した補足プリントを公開用にちょっと書き直して置いていきます。結構面白いっしょ。46本の記事・木下 智貴