ヤングの不等式とその応用

2025年度高2発展2026年10月6日9分で読めます塾講師木下微分

1. ヤングの不等式
面積で見る
2. 授業で扱った問題との関係
3. 応用①：重み付きの相加平均・相乗平均の関係
4. 応用②：ヘルダーの不等式とミンコフスキーの不等式

授業で扱った問題は、正の数 $a,\,b$ について

$1+b+2ab-e^b\leqq2\int_0^a\log(1+2x)\,dx$

を示す問題でした1塾の授業で扱った問題は塾の教材なので、数値を変えた類題に差し替えています。下の脚注へ。授業では $b$ を固定して $a$ の関数とみなし、微分して増減を調べました。この方法で確かに示せますが、なぜ左辺に $e^b$ が、右辺に $\log$ が現れるのか、という組み合わせの理由は見えにくいままです。実はこの不等式は、ある関数とその逆関数の積分を並べた一般的な不等式の、特別な場合になっています。この頁ではその不等式を図で納得し、そこから相加平均・相乗平均の関係の拡張や、ベクトルの長さに関する不等式にまでつなげます。

1. ヤングの不等式

ヤング（Young）の不等式

関数 $f(x)$ は $x\geqq0$ で連続かつ狭義単調増加で、 $f(0)=0$ 、 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ をみたすとする。このとき、正の数 $a,\,b$ に対して

$ab\leqq\int_0^af(x)\,dx+\int_0^bf^{-1}(y)\,dy$

が成り立つ。等号が成り立つのは $b=f(a)$ のときだけである。

仮定のうち「 $f(0)=0$ 」「 $x\geqq0$ で連続」「 $x\to\infty$ でいくらでも大きくなる」の3つは、 $f$ が $0$ 以上の数全体を $0$ 以上の数全体へ漏れなく1対1に移すことを保証しています。こうしておくと逆関数 $f^{-1}(y)$ が $y\geqq0$ のどこでも定義され、右辺の2つ目の積分が意味をもちます。たとえば $f(x)=\dfrac{x}{1+x}$ は連続で増加し $f(0)=0$ ですが、値が $1$ に届かないので、 $b\geqq1$ では $f^{-1}(b)$ がありません。

面積で見る

$y=f(x)$ のグラフを描き、2つの積分を面積として読みます。 $\displaystyle\int_0^af(x)\,dx$ は、曲線の下側で $0\leqq x\leqq a$ の部分（灰色）の面積です。 $\displaystyle\int_0^bf^{-1}(y)\,dy$ は $y$ で積分しているので、 $y$ 軸の側から見た面積、つまり曲線の左側で $0\leqq y\leqq b$ の部分（青）の面積です。左辺の $ab$ は、太線で囲んだ横 $a$ ・縦 $b$ の長方形の面積です。

y=f(x) のグラフ（下に凸な増加関数）と、横 a・縦 b の長方形（太線）。b は f(a) より小さい。曲線の左で y≦b の部分が青、曲線の下で x≦a の部分が灰色。灰色の一部が長方形の上にはみ出している

上の図は $b<f(a)$ の場合です。長方形の中の点は、曲線より左上にあれば青に、右下にあれば灰色に入るので、長方形は青と灰色でちょうど埋めつくされます。そのうえ灰色は、長方形の上辺 $y=b$ から $y=f(a)$ までの細い部分だけ長方形からはみ出しています。したがって「灰色＋青」は長方形よりはみ出し分だけ大きく、不等式は等号なしで成り立ちます。

同じ曲線で b を f(a) より大きくとった場合。長方形は縦長になり、今度は青の部分が長方形の右にはみ出している

$b>f(a)$ のときは役割が入れかわり、青が長方形の右側 $x>a$ へはみ出します。どちらの場合も、はみ出しの部分がなくなるのは、点 $(a,\,b)$ がグラフ $y=f(x)$ 上にあるとき、つまり $b=f(a)$ のときです。これが等号の条件です。

2. 授業で扱った問題との関係

$f(x)=\log(1+2x)$ は $x\geqq0$ で連続かつ増加し、 $f(0)=0$ で、 $x\to\infty$ のときいくらでも大きくなるので、ヤングの不等式の仮定をみたします。 $y=\log(1+2x)$ を $x$ について解くと $x=\dfrac{e^y-1}{2}$ なので、 $f^{-1}(y)=\dfrac{e^y-1}{2}$ です。ヤングの不等式に代入すると

$ab\leqq\int_0^a\log(1+2x)\,dx+\int_0^b\frac{e^y-1}{2}\,dy$

で、右辺の2つ目の積分は $\dfrac12\Big[e^y-y\Big]_0^b=\dfrac{e^b-b-1}{2}$ です。両辺を $2$ 倍して移項すると

$1+b+2ab-e^b\leqq2\int_0^a\log(1+2x)\,dx$

となり、授業で扱った問題の不等式そのものが出てきます。 $e^b$ は $\log$ の逆関数を積分したところから来ていたわけです。等号の条件 $b=f(a)$ も、 $b=\log(1+2a)$ という形でそのまま読み取れます。

3. 応用①：重み付きの相加平均・相乗平均の関係

$f$ を $x$ のべき乗にとると、相加平均と相乗平均の関係を一般化した不等式が得られます。

$p>1$ として $f(x)=x^{p-1}$ とおきます。これはヤングの不等式の仮定をみたし、逆関数は $f^{-1}(y)=y^{\frac1{p-1}}$ です。ここで $q$ を

$\begin{aligned}\frac1p+\frac1q&=1\qquad \left(\text{同じことだが } q-1=\frac1{p-1}\right)\end{aligned}$

で決めると、 $f^{-1}(y)=y^{q-1}$ と書けます。2つの積分は $\dfrac{a^p}{p}$ 、 $\dfrac{b^q}{q}$ なので、

$\begin{aligned}ab&\leqq\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\qquad \left(a,\,b>0,\ \ p,\,q>1,\ \ \frac1p+\frac1q=1\right)\end{aligned}$

となります。これもヤングの不等式と呼ばれることが多く、等号は $b=a^{p-1}$ 、すなわち $a^p=b^q$ のときです。

ここで文字を置きかえます。 $P=\dfrac1p$ 、 $Q=\dfrac1q$ とおくと $P,\,Q>0$ 、 $P+Q=1$ です。さらに $A=a^p$ 、 $B=b^q$ とおくと（ $a,\,b>0$ なので $A,\,B>0$ ）、 $a=A^P$ 、 $b=B^Q$ となるので、上の不等式は

$\boldsymbol{A^PB^Q\leqq PA+QB}\qquad(A,\,B>0,\ \ P,\,Q>0,\ \ P+Q=1)$

と書きかえられます。左辺は $A$ と $B$ に重み $P,\,Q$ をつけた相乗平均、右辺は同じ重みの相加平均で、これを重み付きの相加平均・相乗平均の関係と呼びます。 $P=Q=\dfrac12$ とおくと、おなじみの $\sqrt{AB}\leqq\dfrac{A+B}2$ に戻ります。重みが偏った例として $P=\dfrac13$ 、 $Q=\dfrac23$ 、 $A=8$ 、 $B=1$ を入れると、左辺は $8^{\frac13}\cdot1=2$ 、右辺は $\dfrac83+\dfrac23=\dfrac{10}3$ で、確かに左辺のほうが小さくなっています。等号は $A=B$ のときです。

4. 応用②：ヘルダーの不等式とミンコフスキーの不等式

ヤングの不等式は、数の組（ベクトル）の大きさについての有名な2つの不等式の出発点にもなります。

ヘルダーの不等式

$p,\,q>1$ 、 $\dfrac1p+\dfrac1q=1$ とする。複素数 $x_1,\,\cdots,\,x_n,\ y_1,\,\cdots,\,y_n$ に対して

$\sum_{k=1}^n|x_ky_k|\leqq\left(\sum_{k=1}^n|x_k|^p\right)^{\frac1p}\left(\sum_{k=1}^n|y_k|^q\right)^{\frac1q}$

$p=q=2$ の場合が、コーシー・シュワルツの不等式 $\displaystyle\sum|x_ky_k|\leqq\sqrt{\sum|x_k|^2}\sqrt{\sum|y_k|^2}$ です。

証明（応用①の形を1項ずつ使う）

右辺の2つの因数をそれぞれ $X$ 、 $Y$ と書きます（どちらかが $0$ なら、その組の数がすべて $0$ で両辺とも $0$ なので、 $X,\,Y>0$ としてよい）。各 $k$ について、 $a=\dfrac{|x_k|}{X}$ 、 $b=\dfrac{|y_k|}{Y}$ に応用①の不等式 $ab\leqq\dfrac{a^p}p+\dfrac{b^q}q$ を使うと（ $a$ か $b$ が $0$ のときも両辺の大小は保たれる）

$\frac{|x_ky_k|}{XY}\leqq\frac1p\cdot\frac{|x_k|^p}{X^p}+\frac1q\cdot\frac{|y_k|^q}{Y^q}$

ミンコフスキーの不等式

$p\geqq1$ とする。複素数 $x_1,\,\cdots,\,x_n,\ y_1,\,\cdots,\,y_n$ に対して

$\left(\sum_{k=1}^n|x_k+y_k|^p\right)^{\frac1p}\leqq\left(\sum_{k=1}^n|x_k|^p\right)^{\frac1p}+\left(\sum_{k=1}^n|y_k|^p\right)^{\frac1p}$

$\left(\sum|x_k|^p\right)^{\frac1p}$ を「 $p$ 乗で測ったベクトル $(x_1,\,\cdots,\,x_n)$ の長さ」とみると、これは「和の長さは長さの和以下」という三角不等式の形です。実際、 $p=2$ で成分が実数なら、平面や空間でのおなじみの三角不等式 $|\vec u+\vec v|\leqq|\vec u|+|\vec v|$ そのものです。なお $p<1$ では成り立たず、たとえば $p=\dfrac12$ 、 $(x_1,\,x_2)=(1,\,0)$ 、 $(y_1,\,y_2)=(0,\,1)$ で左辺は $4$ 、右辺は $2$ になります。

証明（ヘルダーの不等式から）

$p=1$ は各項の三角不等式 $|x_k+y_k|\leqq|x_k|+|y_k|$ を足すだけなので、 $p>1$ とし、 $q$ を $\dfrac1p+\dfrac1q=1$ で決めます。 $S=\displaystyle\sum|x_k+y_k|^p$ とおき、 $S>0$ の場合を考えます。 $|x_k+y_k|^p=|x_k+y_k|\cdot|x_k+y_k|^{p-1}\leqq|x_k|\,|x_k+y_k|^{p-1}+|y_k|\,|x_k+y_k|^{p-1}$ を足し、右辺の2つの和にそれぞれヘルダーの不等式を使います。 $(p-1)q=p$ なので $\displaystyle\sum\left(|x_k+y_k|^{p-1}\right)^q=S$ となり、

$S\leqq\left\{\left(\sum|x_k|^p\right)^{\frac1p}+\left(\sum|y_k|^p\right)^{\frac1p}\right\}S^{\frac1q}$

両辺を $S^{\frac1q}$ で割ると、 $1-\dfrac1q=\dfrac1p$ より左辺は $S^{\frac1p}$ になり、示すべき式が出ます。

ヤングの不等式からヘルダー、ヘルダーからミンコフスキーへと、1本の面積の図から順に積み上がっていく関係になっています。大学で関数の大きさを積分で測る場面（関数解析）では、この2つが基本的な道具として使われます。

1　塾の授業で扱った問題は塾の教材なので、数値を変えた類題に差し替えています。

塾の授業で配った補足資料をもとに、問題を類題に差し替えて書き直しました。

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