解けない漸化式と平均値の定理の注意点

授業で扱った問題は、方程式$x=e^{-\frac x3}$の実数解$\alpha$に向かって、漸化式$a_{n+1}=e^{-\frac{a_n}{3}}$の数列が近づいていくことを示す問題でした¹1塾の授業で扱った問題は塾の教材なので、数値を変えた類題に差し替えています。下の脚注へ閉じる。$a_n$の一般項は式で書けないので、「$a_n$と$\alpha$の差がどれだけ縮むか」を平均値の定理で見積もるのが解き方の柱です。この型の答案は筋道が決まっているぶん、細部の書き方で減点されやすいので、ここでは別の数列を材料にして、どこで何に気をつければよいかを順に確かめます。

1. 材料にする数列と、答案の骨格

この頁では

$$\begin{aligned}a_1&=0,\\a_{n+1}&=\sqrt{a_n+6}\qquad (n=1,2,3,\cdots)\end{aligned}$$

を材料にします。$f(x)=\sqrt{x+6}$とおくと$a_{n+1}=f(a_n)$で、$f(\alpha)=\alpha$を解くと$\alpha=3$です（$\alpha^2=\alpha+6$、$\alpha\geqq0$）。グラフの上では、$y=f(x)$と$y=x$の間を階段のように行き来しながら交点$(3,\,3)$へ近づいていきます。

図1　$y=\sqrt{x+6}$ と $y=x$ の間を行き来しながら、$a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots$ が交点 $(3,\,3)$ に近づいていく

先に、減点されない答案の流れを置いておきます。以下の節は、この中のどの一行を崩すとどう困るかの説明です。

2. 絶対値は「等式のうちに」とる

(iii)では、$a_{n+1}-3=f'(c_n)(a_n-3)$という等式の段階で両辺の絶対値をとり、それから不等式に移っています。順序を逆にして、係数についての不等式$-r\leqq f'(c_n)\leqq r$に$a_n-3$を掛けようとすると困ります。$a_n-3$が負なら不等号の向きが反転しますし、正負が項によって入れかわる数列も珍しくありません（授業で扱った問題の$e^{-\frac x3}$は減少関数なので、$a_n-\alpha$の符号は1項ごとに反転します）。

絶対値どうしの積なら$|\text{係数}|\leqq r$の両辺に$0$以上の数$|a_n-\alpha|$を掛けることになり、向きの心配がありません。

3. 係数は「$1$より小さい定数」で押さえる

ここが一番大事な点です。(ii)で求めたのは「$f'(x)$は$\dfrac14$以下」という$n$によらない数での押さえでした。これを「$|f'(c_n)|<1$」で済ませた答案は、はさみうちに進めません。

なぜ足りないのかは、$1$より小さい数をどんどん掛けても$0$に近づかない例を見ると分かります。

$$P_n=\left(1-\frac1{2^2}\right)\left(1-\frac1{3^2}\right)\cdots\left(1-\frac1{(n+1)^2}\right)$$

の各因数は$1$より小さい正の数です。ところが$1-\dfrac1{k^2}=\dfrac{(k-1)(k+1)}{k\cdot k}$と分けると隣どうしで約分が進み、

$$P_n=\frac{n+2}{2(n+1)}\ \xrightarrow[n\to\infty]{}\ \frac12$$

となって、$0$ではなく$\dfrac12$に落ち着きます。因数が$1$に近づいていくので、掛けても縮み方がだんだん弱まるのです。一方、同じ$\dfrac34$から始めても、毎回きっちり$\dfrac34$を掛けた$\left(\dfrac34\right)^n$は$0$に向かいます。

図2　$P_n$（黒丸）と $\left(\frac34\right)^n$（青い白丸）。$P_n$ は $\frac12$ の破線より上にとどまり、$\left(\frac34\right)^n$ は $0$ に近づく

答案に戻ると、くり返し用いた結果は$|a_n-\alpha|=|f'(c_1)|\,|f'(c_2)|\cdots|f'(c_{n-1})|\,|a_1-\alpha|$で、係数の積は上の$P_n$と同じ形をしています。$c_k$が$\alpha$に近づくにつれて$|f'(c_k)|$が$1$に近づくような関数なら、この積は$0$に向かうとは限りません。「どの因数も$r$以下」と言える定数$r<1$があってはじめて、積を$r^{n-1}$で上から押さえられます。

最後の「積は$0$に近づく」が根拠のない一行で、上の$P_n$がその反例です。この答案は結論の核心を示していないので得点になりません。

4. $c$ではなく$c_n$と書く

平均値の定理で現れる点は、$a_n$と$\alpha$の間のどこかにあります。$a_n$が変われば区間が変わり、その点も変わります。下の図は、曲がり具合が見やすいように初項だけを$a_1=-5$に取り替えたものです（このとき$a_2=1$、$a_3=\sqrt7$）。$a_1$と$3$を結ぶ弦、$a_2$と$3$を結ぶ弦のそれぞれに平行な接線を破線で引くと、接点は$c_1=-2$、$c_2=\dfrac{3\sqrt7-4}{2}\ (\fallingdotseq1.97)$で、まったく別の場所にあります。

図3　初項を $a_1=-5$ にしたときの2本の弦と、それぞれに平行な接線（破線）。接点 $c_1,\ c_2$ の位置が違う

番号を落として$c$と書くと、つい次のように進めてしまいます。

1回ごとに違う係数を同じ数のべき乗にまとめていて、等式として誤りです。$c_n$と書いておけば、この書き違いは起こりません。

5. $a_n=\alpha$の場合はどこで片づけるか

平均値の定理は、端点の異なる区間（$a_n\neq\alpha$）でしか使えません。$a_n=\alpha$なら「$a_n$と$\alpha$の間」に点がそもそも無いからです。そこで答案の骨格では(iii)を$a_n\neq3$に限り、(iv)で$a_n=3$の場合を拾っていました。

$a_n=\alpha$なら$a_{n+1}=f(\alpha)=\alpha$なので、この不等式は$0\leqq0$として成り立ちます。拾う場所が早すぎても遅すぎても、答案に傷が残ります。

遅すぎる場合

一見もっともらしく見えますが、[1]の「くり返し用いて」の段で、$a_1,\,a_2,\,\cdots,\,a_{n-1}$のすべてに平均値の定理を当てています。[1]で仮定したのは番号$n$の項が$3$でないことだけなので、それより前の項についての仮定は書かれていません。

数学的には、ここは埋められる穴です。ある番号で$a_k=\alpha$となれば$a_{k+1}=f(\alpha)=\alpha$で、以後の項はずっと$\alpha$になります。裏返すと、$a_n\neq\alpha$なら$a_1,\,\cdots,\,a_{n-1}$もどれも$\alpha$ではありません。しかし答案はこの事情に一言も触れておらず、読み手には「1つの番号での仮定を、ほかの番号にも流用している」としか見えません。場合分けの$n$と、くり返しで動かす番号が同じ文字なので、なおさら混乱して見えます。同じ形のまま[1]の中で極限まで取ってしまう答案もありますが、欠点は同じです。

骨格の(iv)のように、くり返す前に「$a_n=3$でも不等式は成り立つ」と1行添えておけば、不等式はすべての$n$で成り立つ1本の式になり、途中の項が$\alpha$に当たるかを気にせずに済みます。

早すぎる場合

$a_n=3$のときは$c_n$が取れないので、「この等式が成り立つ」と言おうにも、式の中の$c_n$が何を指すのかが決まっていません（両辺が$0$になるので、$c_n$に何を入れても形式上は成り立ちますが、それは定理が与えた$c_n$ではありません）。$c_n$を定数$r$で置きかえて式から消してから回収すれば、このあいまいさは生じません。

6. 平均値の定理を使うときの3つの確認

平均値の定理を答案で使うときは、毎回次の3点を確かめます。

答案の骨格の(iii)では、$a_n$は$3$より小さいことも大きいこともありうる形で書いているので、3番目に従って「$a_n$と$3$の間」と書いています。

7. 項の範囲を先に絞る

骨格の(i)はなぜ必要だったのでしょうか。$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x+6}}$は、$x$が$-6$に近づくといくらでも大きくなります。たとえば$-6<x\leqq-\dfrac{23}4$では$f'(x)\geqq1$です。つまり定義域全体では$|f'|$を$1$より小さい定数で押さえられません。

この数列では「$a_n\geqq0$」が分かれば、$c_n$は$a_n$と$3$の間、すなわち$0$以上の範囲にあるので、(ii)の評価$|f'(c_n)|<\dfrac14$が使えます。範囲の絞り込みは多くの場合、数学的帰納法で示します。範囲をどこまで狭めれば定数$r<1$が取れるかを、$f'$の式を見て先に決めておくと、帰納法で示す内容もはっきりします。

なお、この数列は平均値の定理を使わずに、有理化で差を作る方法でも処理できます。

$$a_{n+1}-3=\sqrt{a_n+6}-3=\frac{a_n-3}{\sqrt{a_n+6}+3}$$

で、$a_n\geqq0$なら分母は$\sqrt6+3>5$なので$|a_{n+1}-3|<\dfrac15|a_n-3|$です。この方法でも、係数を定数で押さえるために$a_n\geqq0$を先に示している点は同じです。

8. 解がただ一つあることの示し方と中間値の定理

この型の問題は、たいてい「方程式$x=f(x)$がただ一つの実数解をもつことを示せ」という小問から始まります。解があることを中間値の定理で言い、解が2つ以上ないことを関数の単調性で言う、という二段構えが定番です。例として方程式$2x=\cos x$を考えます。$g(x)=2x-\cos x$とおくと$g$は連続で、$g(0)=-1<0$、$g\left(\dfrac\pi2\right)=\pi>0$なので、$0<x<\dfrac\pi2$に$g(x)=0$の解があります。さらに$g'(x)=2+\sin x>0$なので$g$は単調増加で、$0$になる点は1つしかありません。

中間値の定理と平均値の定理は名前が似ていますが、要る仮定が違います。中間値の定理で欠かせないのは連続性で、平均値の定理ではそれに加えて微分可能性が要ります。上の定理は、次の形で覚えておくこともできます。

両端の値の「中間」にある値はすべて取る、というのが名前の意味です。$k=0$とし、$f(a)$と$f(b)$の符号が違う場合に当てはめると、最初の形になります。

塾の授業で配った補足資料をもとに、問題を類題に差し替えて書き直しました。

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連載塾講師木下木下が作成して塾で配布した補足プリントを公開用にちょっと書き直して置いていきます。結構面白いっしょ。46本の記事・木下 智貴