等高線とラグランジュの未定乗数法

前の記事では、領域 $R$ と図形 $f(x,y)=k$ が共有点をもつような $k$ の全体が、$R$ の上で $f(x,y)$ が取る値の全体になることを確かめた。そして、等位線 $f(x,y)=k$ が領域の頂点を通るときか境界に接するときに最大値・最小値が現れるので、両方を候補に挙げて値を比べる、と結んだ。この記事では、前の記事で答えなかった問いを二つ扱う。

1. 境界のなめらかな部分で最大・最小になるとき、等位線がそこで境界に接するのはなぜか。
2. 接する点を、図を描かずに計算だけで見つけるにはどうすればよいか。

二つ目の答えが、大学1年で習うラグランジュの未定乗数法である。使う道具は多項式の微分（$x^n$ を微分すると$nx^{n-1}$、微分係数はグラフの接線の傾き）と、図形と式で習った直線の傾き・垂直の条件だけである。ただし途中で大学の数学を前提として借りる箇所が三つあり、借りた箇所ではそう明記する（最後の節に一覧がある）。計算と図の座標はすべて計算機で照合した¹1Python の数式処理ライブラリ sympy で書いた検算に、偏微分・一次近似・例題と練習の答え・未定乗数 $\lambda$ の値・図に描いた接点や半径を入れ、121 項目がすべて一致することを確かめた。下の脚注へ閉じる。

1. 等位線は地図の等高線

前の記事では、平面のどの点にも $f(x,y)$ の値が1つずつ書き込まれていると考えた。この値を高さだと思うと、話が立体になる。平面を水平な床に置き、床の点 $(x,y)$ の真上に高さ $f(x,y)$ の点を立てる。$(x,y)$ を床全体で動かすと、立てた点は空間の中に1枚の曲面を作る。これを$z=f(x,y)$ のグラフという（高さの向きに$z$ 軸をとる）。1変数の関数 $y=f(x)$ のグラフが曲線になるのに対し、2変数の関数のグラフは曲面になる。

この曲面を地形と見ると、前の記事の等位線 $f(x,y)=k$ は「高さがちょうど $k$ の点を床に写したもの」になる。これは地図の等高線と同じものである。地図は山を真上から見た図で、標高 $100\,\mathrm{m}$、$200\,\mathrm{m}$、$\dots$ の点をそれぞれ線でつないで描く。前の記事で述べた「値の違う等位線ははじめから全部そこにある」は、地図に等高線が全部描き込まれていることにあたる。

この見方で前の記事の原理を言い直すと次のようになる。

最大値は「$R$ と交わる等高線のうち、いちばん高いもの」の高さである。

$f(x,y)=x^2+y^2$ のグラフは、原点の真上が高さ $0$ で、原点から離れるほど高くなるお椀の形をしている。高さ $k$ で水平に切った切り口は半径 $\sqrt{k}$ の円で、これが等高線になる（図1）。

等高線の地図では、外側ほど等高線の間隔が狭い（半径 $1,\ \sqrt2,\ \sqrt3,\ 2$ の差は $0.41,\ 0.32,\ 0.27$ と縮む）。地図と同じく、等高線が密なところは斜面が急である。お椀は外側ほど急に立ち上がっている。前の記事の問題1²2塾の授業で扱った問題は塾の教材なので、数値を変えた類題に差し替えています。下の脚注へ閉じるの $f(x,y)=x+3y$ のグラフは傾いた平らな板（斜面）で、等高線は平行な直線、$k$ を等間隔に選べば等高線の間隔も等しい。傾きが場所によらず一定の坂である。

2. 最大・最小はどこで起こるか

$R$ の点を三種類に分けて、それぞれ最大値を与えうるかを考える。$R$ は円や多角形のように、なめらかな曲線や線分で囲まれた範囲とする。

• 内部の点：境界上にない点。まわりのどの向きにも少しなら動ける。
• 境界のなめらかな部分の点：境界が折れ曲がっていない所。境界に沿って両側へ動ける。
• 角の点：多角形の頂点のように、境界が折れ曲がっている所。

内部の点で最大になるには、そこが周囲のどこより高い「山頂」か、平らな場所でなければならない。少しでも上り坂の向きがあれば、その向きに動けば高くなるからである。$f(x,y)=x+3y$ の斜面にはどこにも山頂がないので、最大値は必ず境界でとる。前の記事の問題1で最大値が三角形の頂点に現れたのはこのためである。

境界のなめらかな部分の点では、等高線が境界と交わるか接するかで話が分かれる。図2は、円板 $x^2+y^2\leqq1$ を $R$、$f(x,y)=y$（北へ行くほど高い斜面）としたものである。等高線は水平な直線 $y=k$ になる。

図2：等高線 $y=\tfrac12$ は円と点 Q で交わり、$y=1$ は点 P で接する。

点 Q では等高線 $y=\tfrac12$ が円を横切っている。円に沿って Q から反時計回りに動くと等高線の上側に入って値が増え、時計回りに動くと下側に入って値が減る。円周上の点は $R$ の点なので、Q より値の大きい $R$ の点がQ のすぐ隣にあり、Q は最大値を与えない。同じ理由で最小値も与えない。一方、点 P では等高線 $y=1$ が円に接していて、円に沿ってどちらへ動いても等高線の下側に入る。円の上での $y$ の最大値 $1$ は P でとる。

角の点ではこの議論が使えない。境界が折れ曲がっているので、等高線が境界を横切っていても、境界に沿って動ける向きが両方とも下りになることがある。前の記事の問題1の頂点 $(1,2)$ がその例である。だから角の点は、接するかどうかに関係なく候補に入れる。

以上で「頂点か接点を候補にする」という前の記事の結論の理由が分かった。ただし「交わるなら片側で値が増える」と書いたとき、等高線のすぐ上側で値が $k$ より大きいことを当然としていた。山頂や峠のように斜面が平らになる所ではこれが成り立たない。この点を正確に扱い、さらに接点を計算で求めるために、斜面の傾きを数で表す道具を用意する。

3. 偏微分と勾配：斜面の傾きを数で表す

偏微分

$f(x,y)$ の文字 $y$ を定数とみなし、$x$ だけの関数として微分したものを、$f$ の$x$ についての偏微分といい$f_x$ と書く。同じように $x$ を定数とみなして $y$ で微分したものを $f_y$ と書く。大学の本では$\dfrac{\partial f}{\partial x}$、$\dfrac{\partial f}{\partial y}$ とも書き、$\partial$ は「ラウンド」や「デル」と読む。「偏」は、変数が二つあるうちの片方に偏って微分する、という意味である。

$f_x$ の意味は、1変数のときの微分係数と同じく傾きである。点 $(a,b)$ から $y$ を変えずに $x$ の正の向き（東）へ進むとき、地形の断面は$x$ だけの関数 $f(x,b)$ のグラフになり、その接線の傾きが $f_x(a,b)$ である。$f_y(a,b)$ は北へ進むときの傾きである。

一次近似

東でも北でもない向きに進むときの高さの変化は、$f_x$ と $f_y$ から組み立てられる。$f$ が多項式なら、次が成り立つ。

理由.　 多項式は $x^my^n$ の形の項の和なので、1つの項 $x^my^n$ で確かめればよい。二項定理で展開すると

$$\begin{aligned}(a+h)^m(b+k)^n&=\bigl(a^m+ma^{m-1}h+\cdots\bigr)\bigl(b^n+nb^{n-1}k+\cdots\bigr)\\&=a^mb^n+ma^{m-1}b^n\,h+na^mb^{n-1}\,k+\cdots\end{aligned}$$

で、「$\cdots$」は $h^2,\ hk,\ k^2$ 以上の項である。$h,\,k$ の1次の係数 $ma^{m-1}b^n$ と $na^mb^{n-1}$ は、$x^my^n$ の偏微分 $mx^{m-1}y^n$、$nx^my^{n-1}$ に $(a,b)$ を代入したものにちょうど一致する。$\blacksquare$

たとえば $f(x,y)=x^2+3xy+y^3$ を $(1,1)$ のまわりで展開すると

$$f(1+h,\ 1+k)=5+5h+6k+\bigl(h^2+3hk+3k^2+k^3\bigr)$$

で、$f(1,1)=5$、$f_x(1,1)=5$、$f_y(1,1)=6$ が確かに並ぶ。$h=0.01$、$k=0.02$ とすると、1次の部分は$5h+6k=0.17$、かっこの中は $0.001908$ で、実際の変化 $0.171908$ のほとんどを1次の部分が占める。$h,\,k$ が小さいほど2次以上の項は1次の部分に比べて小さくなるので、短い移動では

$$(\text{高さの変化})\fallingdotseq f_x\,h+f_y\,k$$

と考えてよい。「小さくなる」をきちんと述べるには極限の言葉が必要で、それは大学で扱う（借りる箇所その1）。多項式でない関数でも、なめらかなら同じ式が成り立つことも大学で示す。

勾配

二つの偏微分を組にした矢印 $(f_x,\ f_y)$ を、$f$ の勾配といい $\nabla f$ と書く（$\nabla$ は「ナブラ」と読む。$\mathrm{grad}\,f$ とも書く）。点ごとに矢印が1本決まり、点 $(a,b)$ での勾配は、始点を $(a,b)$ に置いて$x$ 方向に $f_x(a,b)$、$y$ 方向に $f_y(a,b)$ だけ進んだ点を終点とする矢印である。勾配には次の三つの性質がある。

1の理由.　 等高線に沿って $(h,k)$ だけ動いても高さは変わらないので、一次近似から $f_x\,h+f_y\,k\fallingdotseq0$ である。等高線の向きは、短い移動 $(h,k)$ を限りなく短くしたときの向きなので、$f_x\,h+f_y\,k=0$ を満たす。一方、向き $(h,k)$ と向き $(p,q)$ について、傾き $\dfrac{k}{h}$ と $\dfrac{q}{p}$ の積が $-1$ になる条件を分母を払って書き直すと $ph+qk=0$ になる（$h=0$ や $p=0$ のときも、垂直の条件はこの形のまま成り立つ）。$(p,q)=(f_x,f_y)$ とおけば、等高線の向きと勾配が垂直であることが分かる。

2の理由.　 勾配の向きに $(h,k)=(t f_x,\ t f_y)$（$t$ は小さい正の数）だけ進むと、変化は$f_x\cdot tf_x+f_y\cdot tf_y=t\bigl(f_x^{\,2}+f_y^{\,2}\bigr)>0$ である。

3の理由.　 長さ $r$ の移動（$h^2+k^2=r^2$）での変化 $f_x\,h+f_y\,k$ を、コーシー＝シュワルツの不等式で上から抑える。恒等式

$$\bigl(f_x^{\,2}+f_y^{\,2}\bigr)\bigl(h^2+k^2\bigr)-\bigl(f_x\,h+f_y\,k\bigr)^2=\bigl(f_x\,k-f_y\,h\bigr)^2\geqq0$$

から $f_x\,h+f_y\,k\leqq\sqrt{f_x^{\,2}+f_y^{\,2}}\;r$ で、等号は $f_x\,k=f_y\,h$、つまり $(h,k)$ が勾配と同じ向きのときに限る。だから同じ距離なら勾配の向きがいちばん上り、その上り幅は勾配の長さに比例する。$\blacksquare$

図3：$f(x,y)=x^2+y^2$ の等高線（高さ $1,2,3,4$）と勾配 $\nabla f=(2x,\,2y)$。矢印は長さを $\tfrac14$ に縮めて描いた。

図3で、勾配はどれも原点から外へ向かい（上り坂の向き）、円の等高線に垂直である。外側の円の上の矢印は内側の2倍の長さで、等高線が外ほど密になっていることと対応している。

内部の点で最大・最小になる条件

勾配の性質2から、$R$ の内部の点で $\nabla f\neq(0,0)$ なら、勾配の向きへ進めば値が増え、逆へ進めば減る。内部の点はどの向きにも少し動けるので、そこは最大にも最小にもならない。

これは1変数の「極値をとる点では $f'(x)=0$」の2変数版である。逆は成り立たない。$f(x,y)=xy$ では $f_x=y$、$f_y=x$ なので原点で $\nabla f=(0,0)$ になるが、直線 $y=x$ に沿えば $f=x^2\geqq0$、直線 $y=-x$ に沿えば $f=-x^2\leqq0$ で、原点はある向きには谷底、別の向きには尾根になっている。山道の峠と同じ形で、数学では鞍点（馬の鞍の形）という。

4. 接する＝勾配が平行：ラグランジュの未定乗数法

境界の話に戻る。境界のなめらかな部分が、ある多項式 $g$ を使って方程式 $g(x,y)=0$ で表されているとし、この曲線を $C$ とよぶ。円 $x^2+y^2=1$ なら $g(x,y)=x^2+y^2-1$、直線 $3x+4y=12$ なら $g(x,y)=3x+4y-12$ である。

$C$ は「$g$ の高さが $0$ の等高線」でもある。だから勾配の性質1を $g$ に使うと、$\nabla g$ は $C$ に垂直である。一方、$C$ 上の点 P で $f$ が最大になるなら、第2節により P を通る $f$ の等高線は $C$ に接する。接するとは、P で二つの曲線が同じ接線をもつことである。$\nabla f$ は $f$ の等高線に垂直、$\nabla g$ は $C$ に垂直で、二つの曲線の接線が共通なので、$\nabla f$ と $\nabla g$ はどちらも同じ直線に垂直になり、互いに平行になる。これを式で書いたものが次の定理である。

理由.　 P での $C$ の接線の向きを $(h,k)$ とする。勾配の性質1を $g$ に使って $g_x\,h+g_y\,k=0$ である。もし $f_x\,h+f_y\,k\neq0$なら、$C$ に沿って P から接線の向きへ少し進むと、一次近似により $f$ の値は $f_x\,h+f_y\,k$ に比例して変わり、逆向きに進むと反対に変わる。どちらか一方は値が増えるので P は最大値を与えない。よって最大値（最小値）を与える P では$f_x\,h+f_y\,k=0$ で、$\nabla f$ も $\nabla g$ も向き $(h,k)$ に垂直である。$\nabla g\neq(0,0)$ なので、$(h,k)$ に垂直な矢印は $\nabla g$ の何倍かとして表せる。その倍率が $\lambda$ である。$\blacksquare$

この理由のなかで、「$\nabla g\neq(0,0)$ の点の近くでは、$C$ は途切れずに続くなめらかな曲線で、接線の向きに沿ってたどれる」ことと、「接線そのものでなく曲線に沿って進んでも、値の変化は一次近似で読める」ことを当然としている。前者は陰関数定理という大学の定理で保証される（借りる箇所その2）。

使うときは、未知数 $x,\ y,\ \lambda$ についての3本の方程式

$$f_x=\lambda\,g_x,\qquad f_y=\lambda\,g_y,\qquad g(x,y)=0$$

を連立して解く。$\lambda$ は最後の答えには現れない補助の未知数で、「乗数」は $\nabla g$ に掛ける数の意味、「未定」は前もって分からない数の意味である。$L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda\,g(x,y)$ とおくと、上の3本は$L$ を $x,\ y,\ \lambda$ のそれぞれで偏微分して $0$ とおいた式になるので、大学の本ではこの形で書くことも多い。

絵との対応を確かめておく。前の記事で「等位線を動かして、境界に接するところを探す」と言っていた操作を、$\nabla f$ と $\nabla g$ が平行になる点を探す計算に置き換えたものが未定乗数法である。

5. 例題で使う

図4：例1。直線は等高線 $3x+4y=k$（$k=-5,\,-2.5,\,0,\,2.5,\,5$）。黒い矢印が $\nabla f$、灰の太い矢印が $\nabla g$。
接点 P では二つが平行、等高線が円を横切る点 Q では平行でない。

例1は、ほかに二通りの解き方がある。どちらも中学・高校の範囲で解け、未定乗数法と同じ構造が見える。

• 前の記事の方法：直線 $3x+4y=k$ が円と共有点をもつ条件は、原点との距離 $\dfrac{|k|}{5}$ が $1$ 以下になることで、$-5\leqq k\leqq5$。両端は直線が円に接するときである。
• コーシー＝シュワルツの不等式：$(3x+4y)^2\leqq(3^2+4^2)(x^2+y^2)=25$ より $-5\leqq3x+4y\leqq5$。等号は $4x-3y=0$、つまり点 $(x,y)$ の向きが $(3,4)$ と平行なときに成り立つ。$\nabla f=(3,4)$、$\nabla g=(2x,2y)$ なので、この等号の条件は「$\nabla f$ と $\nabla g$ が平行」と同じ内容である。

次の2題は前の記事の問題1・2の解き直しである。領域の端（境界と頂点）を候補として全部調べ、前の記事と同じ答えになることを確かめる。

もし三角形の辺の1本が等高線と平行（$\nabla g$ が $(1,3)$ と平行）なら、その辺の上では $f$ が一定で、辺の点がすべて未定乗数法の解になる。その場合も辺の両端（頂点）で同じ値をとるので、頂点を比べれば答えは出る。

図5：例3。等高線は半径 $\frac{6}{\sqrt5},\ 3,\ 6$ の円（高さ $\frac{36}{5},\ 9,\ 36$）。半径 $\frac{6}{\sqrt5}$ の円は辺 AB に P で接する。

例3の点 P は、辺 AB の上だけで見れば $f$ の最小値を与える点である（P は原点から辺 AB に下ろした垂線の足で、原点からの距離は $\frac{6}{\sqrt5}$）。しかし三角形全体で見ると、P の値 $7.2$ は最大値でも最小値でもない。未定乗数法が出すのは候補であって答えではなく、内部・辺・頂点の候補を全部並べて比べる手順が必要になる。

図6：例4。等高線 $xy=k$ は双曲線。$k=\pm1$ の双曲線は円に4点 $(\pm1,\pm1)$ で接し、$k=\pm0.4$ の双曲線（灰）は円を横切る。

例4の原点は $\nabla f=(0,0)$ を満たすが、第3節で見た峠（鞍点）なので最大でも最小でもない。ここでも候補の中に答えでないものが混ざっている。なお例4は $x^2+y^2\geqq2|xy|$（$(x\pm y)^2\geqq0$ から出る）を使えば $|xy|\leqq1$ がすぐ出る。相加平均と相乗平均の関係を使う問題も、同じように未定乗数法で解き直せる。

例5では、未定乗数法の候補が1つだけ出て、それが最小値だった。しかしこの1点が最大か最小かは未定乗数法からは分からない。実際、曲線 $xy=4$（$x>0$）は $x$ をいくらでも大きくできる有界でない曲線で、$x+y$ はいくらでも大きくなるので最大値は存在しない。例1のような「閉じていて有界な図形なら最大値・最小値が必ずある」という保証が無いとき、候補が最小値であることは相加相乗のような別の議論で確かめる必要がある。

6. 注意点と手順のまとめ

この手順の1と2は必要条件にすぎない。最大・最小になる点は候補の中に必ずあるが、候補がすべて最大・最小になるわけではない（例3の P、例4の原点）。だから手順4で値を比べる。

手順3の「$\nabla g=(0,0)$ になる点」を候補に入れ忘れると、答えの点が候補に入らないことがある。曲線 $y^2=x^3$ の上で $f=x$ の最小値を考える。曲線の点は$(t^2,\ t^3)$ と書けるので $x=t^2\geqq0$ で、最小値は原点での $0$ である。ところが $g=y^2-x^3$ として未定乗数法の式を立てると

$$\begin{aligned}&1=\lambda\cdot(-3x^2),\quad 0=\lambda\cdot2y,\quad y^2=x^3\end{aligned}$$

で、2本目から $\lambda=0$ か $y=0$。$\lambda=0$ なら1本目が $1=0$、$y=0$ なら3本目から $x=0$ で1本目が $1=0$ になり、解は1つもない。原点では $\nabla g=(-3x^2,\ 2y)=(0,0)$ で、曲線はそこで折り返すようにとがっていて、なめらかでない。この点は多角形の頂点と同じく、未定乗数法の前提（$\nabla g\neq(0,0)$）から外れるので、別に候補に入れる必要がある。

塾の授業で配った補足資料をもとに、問題を類題に差し替えて書き直しました。

この記事が含まれている連載

連載塾講師木下木下が作成して塾で配布した補足プリントを公開用にちょっと書き直して置いていきます。結構面白いっしょ。46本の記事・木下 智貴