トップ 塾講師木下 図形と式 ← 前の記事 一覧へ 次の記事 → f ( x , y ) = k f(x,y)=k f ( x , y ) = k 目次
1. 方程式を満たす点を集めたものが図形 2. f ( x , y ) = k k 3. 共有点があるとはどういうことか 4. 問題で確かめる 5. 接するときとは限らない 目次 1. 方程式を満たす点を集めたものが図形 2. f ( x , y ) = k k 3. 共有点があるとはどういうことか 4. 問題で確かめる 5. 接するときとは限らない 授業の問題11 1 塾の授業で扱った問題は塾の教材なので、数値を変えた類題に差し替えています。以下では、問題1を「連立不等式 3 x + y ≦ 5 , x + 4 y ≧ − 2 , 2 x − 3 y ≧ − 4 3x+y\leqq5,\ x+4y\geqq-2,\ 2x-3y\geqq-4 3 x + y ≦ 5 , x + 4 y ≧ − 2 , 2 x − 3 y ≧ − 4 R R R x + 3 y x+3y x + 3 y x ≧ 0 , y ≧ 0 , x + 2 y ≦ 6 x\geqq0,\ y\geqq0,\ x+2y\leqq6 x ≧ 0 , y ≧ 0 , x + 2 y ≦ 6 R R R x 2 + y 2 x^2+y^2 x 2 + y 2 R R R x + 3 y x+3y x + 3 y x + 3 y = k x+3y=k x + 3 y = k R R R k k k
1. 方程式を満たす点を集めたものが図形
直線 y = 2 x + 1 y=2x+1 y = 2 x + 1 A ( 1 , 3 ) \mathrm{A}(1,3) A ( 1 , 3 ) 3 = 2 ⋅ 1 + 1 3=2\cdot 1+1 3 = 2 ⋅ 1 + 1 B ( 1 , 5 ) \mathrm{B}(1,5) B ( 1 , 5 ) 5 ≠ 2 ⋅ 1 + 1 5\neq 2\cdot 1+1 5 = 2 ⋅ 1 + 1
図1 直線 y = 2 x + 1 y=2x+1 y = 2 x + 1 この2つの結果は、方程式 y = 2 x + 1 y=2x+1 y = 2 x + 1 x x x y y y
点 P が図形 C 上にある ⟺ P の座標が C の方程式を満たす \begin{gathered}\text{点 P が図形 }C\text{ 上にある}\\
\iff\ \text{P の座標が }C\text{ の方程式を満たす}\end{gathered} 点 P が図形 C 上にある ⟺ P の座標が C の方程式を満たす
矢印は両向きである。左から右は「図形の上の点なら代入して成り立つ」、右から左は「代入して成り立つ点はその図形の上にある」で、後者を忘れやすい。円 x 2 + y 2 = 25 x^2+y^2=25 x 2 + y 2 = 25 5 5 5
やってみよう① オリジナル
円 x 2 + y 2 = 25 x^2+y^2=25 x 2 + y 2 = 25 ( 3 , 4 ) (3,4) ( 3 , 4 ) ( 5 , 1 ) (5,1) ( 5 , 1 )
2. f ( x , y ) = k f(x,y)=k f ( x , y ) = k k k k
f ( x , y ) = x + 3 y f(x,y)=x+3y f ( x , y ) = x + 3 y ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) 0 0 0 ( 1 , 1 ) (1,1) ( 1 , 1 ) 4 4 4 ( 6 , 0 ) (6,0) ( 6 , 0 ) 6 6 6 f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y )
値が 6 6 6 x + 3 y = 6 x+3y=6 x + 3 y = 6 x + 3 y = 6 x+3y=6 x + 3 y = 6
f ( x , y ) = k の表す図形 = f ( x , y ) の値が k の点を全部集めたもの \begin{gathered}f(x,y)=k\ \text{の表す図形}\\
=\ f(x,y)\ \text{の値が}\ k\ \text{の点を全部集めたもの}\end{gathered} f ( x , y ) = k の表す図形 = f ( x , y ) の値が k の点を全部集めたもの
k k k 6 6 6 12 12 12 12 12 12 k k k
図2 x + 3 y = k x+3y=k x + 3 y = k k = − 6 , − 3 , 0 , 3 , 6 , 9 k=-6,\,-3,\,0,\,3,\,6,\,9 k = − 6 , − 3 , 0 , 3 , 6 , 9 k k k
3. 共有点があるとはどういうことか
領域 R R R f ( x , y ) = k f(x,y)=k f ( x , y ) = k P \mathrm{P} P P \mathrm{P} P R R R f ( x , y ) = k f(x,y)=k f ( x , y ) = k P \mathrm{P} P f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) k k k
R と f ( x , y ) = k が共有点をもつ ⟺ R の中に f ( x , y ) の値が k の点がある \begin{gathered}R\ \text{と}\ f(x,y)=k\ \text{が共有点をもつ}\\
\iff\ R\ \text{の中に}\ f(x,y)\ \text{の値が}\ k\ \text{の点がある}\end{gathered} R と f ( x , y ) = k が共有点をもつ ⟺ R の中に f ( x , y ) の値が k の点がある
右側は「k k k R R R R R R f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) k k k k k k R R R k k k
この解法の原理
{ R と共有点をもつ k の全体 } = { R の点で f ( x , y ) が取る値の全体 } \begin{gathered}\{R\text{ と共有点をもつ }k\text{ の全体}\}\\
=\{R\text{ の点で }f(x,y)\text{ が取る値の全体}\}\end{gathered} { R と共有点をもつ k の全体 } = { R の点で f ( x , y ) が取る値の全体 }
右側が求めたい値域である。その最大が最大値、最小が最小値になる。
領域の中には点が無限にあるので、1点ずつ f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y )
やってみよう② オリジナル
問題2の三角形の領域で、f ( x , y ) = x 2 + y 2 f(x,y)=x^2+y^2 f ( x , y ) = x 2 + y 2 49 49 49 7 7 7
4. 問題で確かめる
問題1では f ( x , y ) = x + 3 y f(x,y)=x+3y f ( x , y ) = x + 3 y R R R ( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 ) ( 2 , − 1 ) (2,-1) ( 2 , − 1 ) ( − 2 , 0 ) (-2,0) ( − 2 , 0 ) f ( x , y ) = k f(x,y)=k f ( x , y ) = k − 1 3 -\frac{1}{3} − 3 1 y y y k 3 \frac{k}{3} 3 k k k k k k k − 2 ≦ k ≦ 7 -2\leqq k\leqq 7 − 2 ≦ k ≦ 7
図3 問題1。k = 7 k=7 k = 7 ( 1 , 2 ) (1,2) ( 1 , 2 ) k = − 2 k=-2 k = − 2 ( − 2 , 0 ) (-2,0) ( − 2 , 0 ) 問題2では f ( x , y ) = x 2 + y 2 f(x,y)=x^2+y^2 f ( x , y ) = x 2 + y 2 f ( x , y ) = k f(x,y)=k f ( x , y ) = k k \sqrt{k} k k = 0 k=0 k = 0 k k k ( 6 , 0 ) (6,0) ( 6 , 0 ) k k k 0 ≦ k ≦ 36 0\leqq k\leqq 36 0 ≦ k ≦ 36
図4 問題2。半径 2 , 4 , 6 2,\,4,\,6 2 , 4 , 6 6 6 6 ( 6 , 0 ) (6,0) ( 6 , 0 ) 等位線が直線から円に変わっても、§3 の理屈は変わらない。f ( x , y ) = y + x 2 f(x,y)=y+x^2 f ( x , y ) = y + x 2 y = − x 2 + k y=-x^2+k y = − x 2 + k k k k
5. 接するときとは限らない
共有点をもつ k k k f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y )
求めた最大値・最小値は、それを与える点の座標を f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) k k k f ( x , y ) = k f(x,y)=k f ( x , y ) = k R R R
やってみようの答え
① ( 3 , 4 ) (3,4) ( 3 , 4 ) 3 2 + 4 2 = 25 3^2+4^2=25 3 2 + 4 2 = 25 ( 5 , 1 ) (5,1) ( 5 , 1 ) 5 2 + 1 2 = 26 5^2+1^2=26 5 2 + 1 2 = 26
② 頂点は ( 0 , 0 ) (0,0) ( 0 , 0 ) ( 6 , 0 ) (6,0) ( 6 , 0 ) ( 0 , 3 ) (0,3) ( 0 , 3 ) ( 6 , 0 ) (6,0) ( 6 , 0 ) 6 6 6 7 7 7 49 49 49 f ( x , y ) f(x,y) f ( x , y ) 0 ≦ k ≦ 36 0\leqq k\leqq 36 0 ≦ k ≦ 36
続き：f ( x , y ) = k f(x,y)=k f ( x , y ) = k 等高線とラグランジュの未定乗数法 」（配っていない読み物）にまとめました。
1 塾の授業で扱った問題は塾の教材なので、数値を変えた類題に差し替えています。以下では、問題1を「連立不等式 3 x + y ≦ 5 , x + 4 y ≧ − 2 , 2 x − 3 y ≧ − 4 3x+y\leqq5,\ x+4y\geqq-2,\ 2x-3y\geqq-4 3 x + y ≦ 5 , x + 4 y ≧ − 2 , 2 x − 3 y ≧ − 4 R R R x + 3 y x+3y x + 3 y x ≧ 0 , y ≧ 0 , x + 2 y ≦ 6 x\geqq0,\ y\geqq0,\ x+2y\leqq6 x ≧ 0 , y ≧ 0 , x + 2 y ≦ 6 R R R x 2 + y 2 x^2+y^2 x 2 + y 2
塾の授業で配った補足資料をもとに、問題を類題に差し替えて書き直しました。
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図1 直線 の上の点 A と、上にない点 B
図2 の直線（）
図3 問題1。 の直線は頂点 を、 の直線は頂点 を通る
図4 問題2。半径 の円。半径 の円が頂点 を通る