対数微分法と、対数を取る場面

授業で扱った問題は、自然数 $n$ のうち $\left(\dfrac{n}{20}\right)^{\frac{n}{20}}$ がいちばん小さくなるものを求める問題でした¹1塾の授業で扱った問題は塾の教材なので、数値を変えた類題に差し替えています。下の脚注へ閉じる。$x=\dfrac n{20}$ とおけば、関数 $f(x)=x^x\ (x>0)$ の増減の問題になります。その $f(x)$ を微分するときに使ったのが、この頁で扱う対数微分法です。

1. $x^x$ はなぜ公式で微分できないのか

これまでに学んだ微分の公式のうち、累乗の形をしたものは2つあります。

• $(x^n)'=nx^{n-1}$：底が変数で、指数 $n$ は定数
• $(a^x)'=a^x\log a$：底 $a$ は定数で、指数が変数²2この頁の $\log$ は自然対数、つまり底が $e$ の対数です。下の脚注へ閉じる

$x^x$ は底も指数も変数なので、どちらの公式にも当てはまりません。たとえば $(x^x)'=x\cdot x^{x-1}=x^x$ とする計算は、指数を定数とみなした誤りです。

そこで対数を取ります。$y=x^x$ の両辺の自然対数を取ると、対数の性質 $\log a^p=p\log a$ により指数が前に出て

$$\log y=x\log x$$

となります。右辺は $x$ と $\log x$ の積なので、積の微分で扱えます。左辺の $\log y$ は、$y$ が $x$ の関数であることに注意して合成関数の微分をすると $\dfrac{d}{dx}\log y=\dfrac1y\cdot\dfrac{dy}{dx}$ です。したがって

$$\begin{aligned}\frac1y\cdot\frac{dy}{dx}&=\log x+1\quad \text{より}\\\frac{dy}{dx}&=y(\log x+1)=x^x(\log x+1)\end{aligned}$$

が得られます。

⑶の右辺は、計算の結果としては $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$ に等しくなります。ただし、$f'(x)$ が直接求めにくいので対数を取っているのですから、⑶では⑵で整理した式のほうを微分します。

授業で扱った問題に戻ると、$f'(x)=x^x(\log x+1)$ で $x^x>0$ なので、$f'(x)$ の符号は $\log x+1$ の符号と一致します。$\log x+1=0$ となるのは $x=\dfrac1e$ のときだけで、$0<x<\dfrac1e$ では $f'(x)<0$、$x>\dfrac1e$ では $f'(x)>0$ です。したがって $f(x)$ は $x=\dfrac1e$ で最小になります。

図1　$y=x^x$ のグラフ。$x=\frac1e$ で最小になり、その両側に $x=0.35$ と $x=0.4$ の点がある

$2.7<e<2.8$ より $\dfrac1{2.8}<\dfrac1e<\dfrac1{2.7}$ で、$0.35<\dfrac1{2.8}$、$\dfrac1{2.7}<0.4$ なので $0.35<\dfrac1e<0.4$ です。$x=\dfrac n{20}$ は $0.05$ 刻みなので、自然数 $n$ の候補は $\dfrac1e$ をはさむ $n=7$ と $n=8$ の2つに絞られます。

両者を比べるには、それぞれを $20$ 乗すると $\left(\dfrac7{20}\right)^7=\dfrac{7^7}{20^7}$、$\left(\dfrac8{20}\right)^8=\left(\dfrac25\right)^8=\dfrac{2^8}{5^8}$ となり、前者を後者で割ると

$$\begin{aligned}\frac{7^7}{20^7}\cdot\frac{5^8}{2^8}&=\frac{7^7\cdot5^8}{2^{14}\cdot5^7\cdot2^8}\\&=\frac{5\cdot7^7}{2^{22}}\\&=\frac{4117715}{4194304}<1\end{aligned}$$

です。前者のほうが小さいので、答えは $n=7$ です。

積と商でできた式にも使える

対数微分法は、$x^x$ のような式だけでなく、因数がいくつもかけ合わされた式の微分にも使えます。たとえば $x>-1$ で

$$y=\frac{(x+1)^2\sqrt{x+2}}{(x+3)^3}$$

を微分するとき、商の微分と積の微分を重ねると式が長くなります。$y>0$ を確かめて対数を取ると

$$\log y=2\log(x+1)+\frac12\log(x+2)-3\log(x+3)$$

と和と差に分かれ、各項は1つずつ微分できます。

$$\begin{aligned}\frac{y'}{y}&=\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2(x+2)}-\frac{3}{x+3}\quad \text{より}\\y'&=\frac{(x+1)^2\sqrt{x+2}}{(x+3)^3}\left(\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2(x+2)}-\frac{3}{x+3}\right)\end{aligned}$$

増減を調べるだけなら、$y>0$ なので $y'$ の符号はかっこの中の符号と一致し、かっこの中を通分して符号を調べれば済みます。

もう1つ例を挙げると、$y=x^{\sin x}\ (x>0)$ は $\log y=\sin x\cdot\log x$ より

$$\begin{aligned}\frac{y'}{y}&=\cos x\log x+\frac{\sin x}{x},\\y'&=x^{\sin x}\left(\cos x\log x+\frac{\sin x}{x}\right)\end{aligned}$$

です。底と指数の両方に変数がある式（$\{f(x)\}^{g(x)}$ の形）は、累乗と指数関数の公式では微分できないので、対数微分法か、上の $e$ の累乗への書き直しで微分します。

2. 微分以外で対数を取る場面

対数を取ると、累乗は積に、積は和に変わります。この性質は微分以外の場面でも使えますが、微分のとき以外は思いつきにくいようです。次の形を見たら対数を取ることを考えましょう。

$\log(a+b)$ は $\log a$ と $\log b$ で表せないので、2つめでは和や差を含まないことを条件にしています。

方程式の連立

指数・対数関数の授業では、底と指数の両方に文字が入った式を3本連立する問題を2題扱いました。1題目は、正の数 $x,y,z$ が

$$x^{xyz}=y^3,\qquad y^{xyz}=z^3,\qquad z^{xyz}=x^3$$

を満たすとき、$x,y,z$ を求める問題です。どちらの問題でも、各式の両辺の対数を取ると、指数が $\log$ の係数として前に出て、$\log x,\ \log y,\ \log z$ についての式になります。1題目は $t=xyz$ とおくと

$$\begin{aligned}&t\log x=3\log y,\quad t\log y=3\log z,\quad t\log z=3\log x\end{aligned}$$

となります。$\log x,\log y,\log z$ のどれか1つが $0$ なら、3式を順にたどると3つとも $0$ になり、$x=y=z=1$ です（$t=1$ となり、元の3式も満たします）。どれも $0$ でないときは、3式を辺々かけて $\log x\log y\log z$ で割ると $t^3=27$、つまり $t=3$ です。このとき $\log y=\log x$、$\log z=\log y$ なので $x=y=z$ で、$xyz=x^3=3$ から $x=y=z=\sqrt[3]3$ となります。

2題目は、$\log_a x,\ \log_b y,\ \log_c z$ を未知数とする連立1次方程式として解きました。

$a^b$ と $b^a$ の大小

$3^\pi$ と $\pi^3$ のどちらが大きいかを考えます。どちらも正なので、自然対数を取って比べることができます（$\log$ は増加関数なので、対数の大小と元の数の大小は一致します）。

$$\log3^\pi=\pi\log3,\qquad \log\pi^3=3\log\pi$$

両者を正の数 $3\pi$ で割ると、比べるものは $\dfrac{\log3}{3}$ と $\dfrac{\log\pi}{\pi}$ になり、同じ関数 $g(x)=\dfrac{\log x}{x}$ の $x=3$ と $x=\pi$ での値の比較になります。

$$g'(x)=\frac{1-\log x}{x^2}$$

なので、$g(x)$ は $0<x\leqq e$ で増加し、$x\geqq e$ で減少します。$e<3<\pi$ なので $g(3)>g(\pi)$、すなわち $\pi\log3>3\log\pi$ となり、$3^\pi>\pi^3$ がわかります。

図2　$y=\frac{\log x}{x}$ のグラフ。$x=e$ で最大となり、$x>e$ では減少する。$x=3$ と $x=\pi$ での値を比べる

一般に、正の数 $a,b$ について

$$\begin{aligned}&a^b>b^a\quad \iff\ b\log a>a\log b\quad \iff\ \frac{\log a}{a}>\frac{\log b}{b}\end{aligned}$$

が成り立ちます（2つめの同値は両辺を正の数 $ab$ で割っただけです）。底と指数を入れ替えた2数の比較は、関数 $\dfrac{\log x}{x}$ の値の比較に言い換えられます。

限りなく続く積

3つめの形は、積分の単元で学ぶ区分求積法と組み合わせて使います³3区分求積法とは、$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^{n}h\!\left(\frac kn\right)=\int_0^1h(x)\,dx$ という関係を使って、和の極限を積分で求める方法のことです。下の脚注へ閉じる。たとえば $\sqrt[n]{\dfrac{n!}{n^n}}$ の極限は、対数を取ると

$$\log\sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}=\frac1n\sum_{k=1}^{n}\log\frac kn$$

という和になり、$n\to\infty$ でこの和は $\displaystyle\int_0^1\log x\,dx=-1$ に近づきます。したがって元の式は $e^{-1}=\dfrac1e$ に近づきます。

塾の授業で配った補足資料をもとに、問題を類題に差し替えて書き直しました。

この記事が含まれている連載

連載塾講師木下木下が作成して塾で配布した補足プリントを公開用にちょっと書き直して置いていきます。結構面白いっしょ。46本の記事・木下 智貴