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√の差の有理化と、長さか角度か

2025年度 高2解説2026年10月6日17分で読めます塾講師木下微分
目次
  1. 1. 上陸地点を B と C の間に限ってよい理由
  2. 2. 角度を変数にとる解き方
  3. 3. 「分子の有理化」が使えるのはいつか
  4. 4. 場合分けに自分で気付く
  5. 5. 長さを変数にとるか、角度を変数にとるか

この頁は、授業で扱った問題（沖の島から小船で岸へ渡り、岸沿いを歩いて目的地へ向かうときの最短時間を求める問題1塾の授業で扱った問題は塾の教材なので、数値を変えた類題に差し替えています。下の脚注へ）の補足です。まず設定と結論を確認しておきます。

島 A から海岸へ下ろした垂線の足を B とし、AB=a\mathrm{AB}=a とします。目的地 C は海岸上にあり BC=b\mathrm{BC}=b です。船の速さは時速 33 km、歩く速さは時速 55 km で、上陸地点 P を BP=x\mathrm{BP}=x の位置に選ぶと、かかる時間は

T(x)=x2+a23+b−x5(0≦x≦b)\begin{aligned}T(x)&=\dfrac{\sqrt{x^2+a^2}}{3}+\dfrac{b-x}{5}\qquad (0\leqq x\leqq b)\end{aligned}

です。微分すると

T′(x)=x3x2+a2−15=5x−3x2+a215x2+a2\begin{aligned}T'(x)&=\dfrac{x}{3\sqrt{x^2+a^2}}-\dfrac{1}{5}\\&=\dfrac{5x-3\sqrt{x^2+a^2}}{15\sqrt{x^2+a^2}}\end{aligned}

となり、分子が 00 になるのは x=34ax=\dfrac{3}{4}a のときだけです。この点が区間 0≦x≦b0\leqq x\leqq b の中にあるかどうかで答えが分かれ、b>34ab>\dfrac{3}{4}a なら B から 34a\dfrac34a の点に、b≦34ab\leqq\dfrac{3}{4}a なら C に直接上陸するのが最も速い、というのが結論でした。以下では、この解答の途中で軽く流した点を一つずつ掘り下げます。

1. 上陸地点を B と C の間に限ってよい理由

解答では最初から 0≦x≦b0\leqq x\leqq b としました。B より左（C と反対側）や C より右に上陸する可能性を捨ててよいのは、そうした地点には必ず「それより速い区間内の地点」が見つかるからです。

図1図1　B の左の上陸点 P′' と、B について対称な点 P

B の左に距離 xx だけ離れた点 P′' に上陸したとします。B について P′' と対称な点 P を考えると、AB が海岸に垂直なので AP′=AP\mathrm{AP'}=\mathrm{AP} で、船に乗っている時間は等しくなります。ところが上陸後に歩く距離は、P′' からなら b+xb+x、P からなら ∣b−x∣|b-x| で、後者のほうが短い。したがって P′' は P に負けます。

図2図2　C を越えた点 P に上陸して歩いて戻る場合と、C に直接上陸する場合

C を越えた点 P に上陸する場合は、C に直接上陸する場合と比べます。B から遠い点ほど A からも遠いので AC<AP\mathrm{AC}<\mathrm{AP} で、船の時間は C のほうが短い。しかも C に上陸すれば歩く必要がありません。こちらも区間内の点 C に負けます。

どちらの比較も、「船の距離」と「歩く距離」の両方で同時に勝つ相手を見つけているので、速さ 3, 53,\ 5 の値には関係なく成り立ちます。

2. 角度を変数にとる解き方

同じ問題を、長さ xx でなく角度で解くこともできます。この方針をとった人は、以下の流れと自分の答案を比べてください。

図3図3　A での角 θ=∠BAP\theta=\angle\mathrm{BAP} と θ0=∠BAC\theta_0=\angle\mathrm{BAC}

θ=∠BAP\theta=\angle\mathrm{BAP} とおきます。P が B から C まで動くと θ\theta は 00 から θ0=∠BAC\theta_0=\angle\mathrm{BAC} まで動くので、変域は 0≦θ≦θ00\leqq\theta\leqq\theta_0（ただし tan⁡θ0=ba\tan\theta_0=\dfrac{b}{a}）です。直角三角形 ABP から AP=acos⁡θ\mathrm{AP}=\dfrac{a}{\cos\theta}、BP=atan⁡θ\mathrm{BP}=a\tan\theta なので、かかる時間は

T(θ)=a3cos⁡θ+b−atan⁡θ5T(\theta)=\dfrac{a}{3\cos\theta}+\dfrac{b-a\tan\theta}{5}

です。これを微分して整理すると

T′(θ)=a(5sin⁡θ−3)15cos⁡2θT'(\theta)=\dfrac{a\left(5\sin\theta-3\right)}{15\cos^2\theta}

となり、符号は sin⁡θ−35\sin\theta-\dfrac35 だけで決まります。sin⁡θ1=35\sin\theta_1=\dfrac35 となる角 θ1\theta_1（0<θ1<π20<\theta_1<\dfrac\pi2）を境に TT は減少から増加に変わります。cos⁡θ1=45\cos\theta_1=\dfrac45、tan⁡θ1=34\tan\theta_1=\dfrac34 なので、これは x=atan⁡θ1=34ax=a\tan\theta_1=\dfrac{3}{4}a に当たります。

微分を使わない見方もあります。tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} を使って通分すると

T(θ)=b5+a5⋅53−sin⁡θcos⁡θT(\theta)=\dfrac{b}{5}+\dfrac{a}{5}\cdot\dfrac{\frac53-\sin\theta}{\cos\theta}

と書けます。sin⁡θ−53cos⁡θ−0\dfrac{\sin\theta-\frac53}{\cos\theta-0} は、点 (0, 53)\left(0,\,\frac53\right) と単位円上の点 (cos⁡θ, sin⁡θ)(\cos\theta,\,\sin\theta) を結ぶ直線の傾きです。傾きは負なので、53−sin⁡θcos⁡θ\dfrac{\frac53-\sin\theta}{\cos\theta} はその直線の傾きの大きさ（急さ）を表します。

図4図4　点 (0, 53)\left(0,\,\frac53\right) から単位円の四分円へ引いた直線。最もゆるやかになるのは接点 (45, 35)\left(\frac45,\,\frac35\right) を通るとき

点 (0, 53)\left(0,\,\frac53\right) から四分円上の点へ引いた直線が最もゆるやかになるのは、直線が円に接するときです。接点では半径と直線が直交するので、原点 O・接点 T・点 D(0, 53)\mathrm D\left(0,\,\frac53\right) は斜辺 OD=53\mathrm{OD}=\frac53、OT=1\mathrm{OT}=1（半径）の直角三角形を作ります。cos⁡∠DOT=15/3=35\cos\angle\mathrm{DOT}=\dfrac{1}{5/3}=\dfrac35 で、この角は YY 軸から測った角なので、T の YY 座標は 35\dfrac35 です。つまり接点は (45, 35)\left(\frac45,\,\frac35\right) で、sin⁡θ=35\sin\theta=\dfrac35 の点です。θ0≧θ1\theta_0\geqq\theta_1 ならこの接点が変域に入り、θ0<θ1\theta_0<\theta_1 なら変域の右端 θ0\theta_0（C に上陸）が最も速くなります。どの方法で解いても、極値の点が変域に入るかどうかの場合分けは避けられません。

3. 「分子の有理化」が使えるのはいつか

 − \sqrt{\ }-\sqrt{\ } の符号の調べ方

A≧0, B≧0A\geqq0,\ B\geqq0（ただし A, BA,\,B が同時に 00 ではない）のとき

A−B=A−BA+B\sqrt A-\sqrt B=\dfrac{A-B}{\sqrt A+\sqrt B}

で、右辺の分母は正なので、A−B\sqrt A-\sqrt B の符号は A−BA-B の符号と一致する。

授業で扱った問題の T′(x)T'(x) の分子 5x−3x2+a25x-3\sqrt{x^2+a^2} もこの形に直せます。ただしそれは、x≧0x\geqq0 なので 5x=25x25x=\sqrt{25x^2} と書けるからです。3x2+a2=9x2+9a23\sqrt{x^2+a^2}=\sqrt{9x^2+9a^2} と合わせると

5x−3x2+a2=16x2−9a25x+3x2+a25x-3\sqrt{x^2+a^2}=\dfrac{16x^2-9a^2}{5x+3\sqrt{x^2+a^2}}

となって、符号は 16x2−9a216x^2-9a^2 で決まります。xx が負になりうる場面でこの手順を機械的にまねると、次のような誤りに陥ります。関数

f(x)=2x+5−x2(−5≦x≦5)\begin{aligned}f(x)&=2x+\sqrt{5-x^2}\qquad (-\sqrt5\leqq x\leqq\sqrt5)\end{aligned}

の増減を調べる場合で見てみましょう。

×よくある誤り×

−5<x<5-\sqrt5<x<\sqrt5 で微分すると

f′(x)=2−x5−x2=25−x2−x5−x2⋯(i)\begin{aligned}f'(x)&=2-\dfrac{x}{\sqrt{5-x^2}}\\&=\dfrac{2\sqrt{5-x^2}-x}{\sqrt{5-x^2}}\qquad\cdots(\mathrm{i})\end{aligned}

分子を有理化して

25−x2−x=4(5−x2)−x225−x2+x=5(4−x2)25−x2+x⋯(ii)\begin{aligned}2\sqrt{5-x^2}-x&=\dfrac{4(5-x^2)-x^2}{2\sqrt{5-x^2}+x}\\&=\dfrac{5(4-x^2)}{2\sqrt{5-x^2}+x}\qquad\cdots(\mathrm{ii})\end{aligned}

「分母は正」とみなすと、f′(x)f'(x) の符号は 4−x24-x^2 の符号となり、x=−2x=-2 で極小、x=2x=2 で極大……

崩れているのは(ii) の「分母は正」の部分です。25−x2+x2\sqrt{5-x^2}+x が正だと言えるのは x≧0x\geqq0 のときだけで、x<0x<0 では正とは限りません。実際、x=−2x=-2 を代入すると 2⋅1+(−2)=02\cdot1+(-2)=0 で分母が 00 になり、(ii) の式は意味を失います（(i) で直接計算すると f′(−2)=2−−21=4f'(-2)=2-\dfrac{-2}{1}=4 で、00 ではありません）。さらに −5<x<−2-\sqrt5<x<-2 では分母が負です。公式 A−B=A−BA+B\sqrt A-\sqrt B=\dfrac{A-B}{\sqrt A+\sqrt B} で分母が正になるのは足し合わせる2つがどちらも  \sqrt{\ } だからで、xx を x2\sqrt{x^2} と書き換えてよいのは x≧0x\geqq0 のときに限られます。正しくは x=0x=0 を境に場合を分けます。

正しい議論

⑴ −5<x<0-\sqrt5<x<0 のとき　(i) の分子は 25−x2>02\sqrt{5-x^2}>0 と −x>0-x>0 の和なので正。よって f′(x)>0f'(x)>0。

⑵ 0≦x<50\leqq x<\sqrt5 のとき　(ii) の分母は正なので、f′(x)f'(x) の符号は 4−x24-x^2 の符号に一致し、x=2x=2 を境に正から負へ変わる。

xx−5-\sqrt5⋯\cdots22⋯\cdots5\sqrt5
f′(x)f'(x)++00−-
f(x)f(x)−25-2\sqrt5↗\nearrow55↘\searrow252\sqrt5

最大値は f(2)=5f(2)=5、最小値は f(−5)=−25f(-\sqrt5)=-2\sqrt5。

4. 場合分けに自分で気付く

文字定数を含む最大・最小

関数や区間が文字定数を含むときは、極値をとる点が区間の中にあるかどうかで場合分けが起きやすい。

授業で扱った問題で x=34ax=\dfrac34a と bb の大小が問題になったのは、この典型です。以前にも同じ型を扱いました。たとえば a>0a>0 として f(x)=x−alog⁡xf(x)=x-a\log x の 1≦x≦21\leqq x\leqq2 での最小値を考えると、f′(x)=x−axf'(x)=\dfrac{x-a}{x} なので極小の点は x=ax=a です。これが区間の左にあるか（a≦1a\leqq1、最小値 f(1)=1f(1)=1）、中にあるか（1<a<21<a<2、最小値 f(a)=a−alog⁡af(a)=a-a\log a）、右にあるか（a≧2a\geqq2、最小値 f(2)=2−alog⁡2f(2)=2-a\log2）の3通りに分かれます。

ここまでは式から場合分けを見つけました。授業で扱った問題のような図形の問題では、計算を始める前に図から見当をつけることもできます。手がかりになるのは極端な場合です。

⑴ aa が bb よりずっと大きいとき

図5図5　島が沖遠くにあり、目的地 C が B のすぐ近くにある場合

島が沖遠くにあり、C は B のすぐそばです。B と C の間のどこに上陸しても船で進む距離はほぼ aa で変わらないので、歩く距離のない C に直接向かうのがよさそうだと分かります。

⑵ aa が bb よりずっと小さいとき

図6図6　島が岸に近く、目的地 C が遠い場合

島は岸のすぐ近くで、C は遠くにあります。上陸地点を変えると船の距離も歩く距離も大きく変わるので、どこが最適かは計算しないと分かりません。

2つの極端な場合で答えの様子が違う以上、その間のどこかに境目があるはずだ、と予想できます。場合分けを見落とさないためには、

  • 動く点をいろいろな位置に置いて図を何枚か描く
  • 特に、極端な場合（ある長さが他よりずっと大きい・小さい）を描く

ことを習慣にしてください。

5. 長さを変数にとるか、角度を変数にとるか

ここは少し難しめなので、余力のある人向けです。次の問題を考えます（京大の1994年の入試問題の中心部分を、要点だけに絞って言い直したものです）。

問題

弧の長さが 11 の円弧 PQ を考える。円の半径 rr は 2πr>12\pi r>1 の範囲で自由に変えられる。弧 PQ と弦 PQ で囲まれた部分（弓形）の面積 SS が最大になるときの SS を求めよ。

半径 rr を変数にすると、弦の長さや三角形の面積を rr で書くのに苦労します。そこで弧 PQ に対する中心角 θ\theta を変数にとります。弧の長さが rθ=1r\theta=1 なので r=1θr=\dfrac1\theta で、2πr>12\pi r>1 は 0<θ<2π0<\theta<2\pi と同じです。

図7図7　弧の長さ 11 の円弧と弓形。左は中心角 θ\theta が π\pi 以下、右は π\pi を超える場合

弓形は扇形 OPQ と三角形 OPQ の差（θ≦π\theta\leqq\pi）または和（θ>π\theta>\pi）です。θ>π\theta>\pi のとき三角形 OPQ の頂角は 2π−θ2\pi-\theta で、sin⁡(2π−θ)=−sin⁡θ\sin(2\pi-\theta)=-\sin\theta なので、どちらの場合も

S=12r2θ−12r2sin⁡θ=θ−sin⁡θ2θ2S=\dfrac12r^2\theta-\dfrac12r^2\sin\theta=\dfrac{\theta-\sin\theta}{2\theta^2}

という同じ式になります。微分すると

dSdθ=θ2(1−cos⁡θ)−2θ(θ−sin⁡θ)2θ4=2sin⁡θ−θ(1+cos⁡θ)2θ3\begin{aligned}\dfrac{dS}{d\theta}&=\dfrac{\theta^2(1-\cos\theta)-2\theta(\theta-\sin\theta)}{2\theta^4}\\&=\dfrac{2\sin\theta-\theta(1+\cos\theta)}{2\theta^3}\end{aligned}

です。分母は正なので、分子 g(θ)=2sin⁡θ−θ(1+cos⁡θ)g(\theta)=2\sin\theta-\theta(1+\cos\theta) の符号を調べます。ここで角度を変数にした場合の定石、「三角関数は積の形にまとめる」を使います。φ=θ2\varphi=\dfrac\theta2（0<φ<π0<\varphi<\pi）とおき、sin⁡θ=2sin⁡φcos⁡φ\sin\theta=2\sin\varphi\cos\varphi、1+cos⁡θ=2cos⁡2φ1+\cos\theta=2\cos^2\varphi を代入すると

g=4sin⁡φcos⁡φ−4φcos⁡2φ=4cos⁡φ (sin⁡φ−φcos⁡φ)\begin{aligned}g&=4\sin\varphi\cos\varphi-4\varphi\cos^2\varphi\\&=4\cos\varphi\,(\sin\varphi-\varphi\cos\varphi)\end{aligned}

と因数分解できます。後ろの因子 h(φ)=sin⁡φ−φcos⁡φh(\varphi)=\sin\varphi-\varphi\cos\varphi は h(0)=0h(0)=0、h′(φ)=φsin⁡φ>0h'(\varphi)=\varphi\sin\varphi>0（0<φ<π0<\varphi<\pi）なので、0<φ<π0<\varphi<\pi でつねに正です。したがって gg の符号は cos⁡φ\cos\varphi の符号と一致し、θ<π\theta<\pi で正、θ>π\theta>\pi で負になります。

θ\theta(0)(0)⋯\cdotsπ\pi⋯\cdots(2π)(2\pi)
dSdθ\dfrac{dS}{d\theta}++00−-
SS↗\nearrow12π\dfrac{1}{2\pi}↘\searrow

よって θ=π\theta=\pi（半円、r=1πr=\dfrac1\pi）のとき最大で、最大値は 12π\boxed{\dfrac{1}{2\pi}} です。

この問題から読み取れるのは、

円の一部が出てくる図形では、中心角を変数にとると式が素直になることが多い

ということです。理由は扇形の面積 12r2θ\dfrac12r^2\theta や弧の長さ rθr\theta に角度そのものが現れることにあります。これを長さだけで書こうとすると、長さから角度を取り出す関数（逆三角関数。高校では扱いません）が必要になり、式にできません。

図形量の最大・最小の進め方

Step 1. 動くもの（長さか角度）を変数にとる
Step 2. 変数の変域を求める
Step 3. 求めたい量を変数で表す
Step 4. Step 2 の範囲で Step 3 の式の最大・最小を調べる（微分・グラフ・不等式など）

ただし、上の問題のように、何を変数にするかは「求めたい量を図形の言葉でどう書くか」を考えて初めて決まることがよくあります。Step 1 だけを先に片付けようとせず、Step 3 と行き来しながら決めてください。

変数を決めたあとの微分の手間にも、長さと角度で違いがあります。

長さを選んで  \sqrt{\ } が出たときは、微分する前に次を試す価値があります。

 \sqrt{\ } を含む積の最大・最小

正の因子との積なら、その因子を  \sqrt{\ } の中へ入れ、中身の最大・最小を考える。

例として f(x)=x6−x2 (0<x<6)f(x)=x\sqrt{6-x^2}\ (0<x<\sqrt6) の最大値を求めます。x>0x>0 なので

f(x)=x2(6−x2)=6t−t2f(x)=\sqrt{x^2(6-x^2)}=\sqrt{6t-t^2}

と書けます（t=x2t=x^2、0<t<60<t<6）。 \sqrt{\ } の中身 6t−t2=9−(t−3)26t-t^2=9-(t-3)^2 は t=3t=3 で最大値 99 をとるので、ff は x=3x=\sqrt3 で最大値 33 をとります。微分は一度も使っていません。

微分する前に

  1. 符号の分からない部分だけを取り出して微分する
  2. log⁡\log に掛かっている xx の式は、先に割って外せないか考える
  3.  \sqrt{\ } を含む積は、全部を  \sqrt{\ } の中に入れて中身を調べる
  4. 入り組んだ式は、まとまりを1文字に置き換える
  5. 三角関数の2乗や3乗は、倍角の公式で1次に直してから扱う

一方、積の形にならず  \sqrt{\ } どうし（あるいは  \sqrt{\ } と正の量）の差が残るときは、§3 の分子の有理化が役に立ちます。

微分したあとに

  1. 因数分解して、因子ごとに符号を見られる形にする
  2. 因数分解できないときも、符号が明らかな因子から先に片付ける
  3. A−B\sqrt{A}-\sqrt{B} は有理化して A−BA-B の符号を調べる（両方が  \sqrt{\ } であることを確かめてから）

1　塾の授業で扱った問題は塾の教材なので、数値を変えた類題に差し替えています。

塾の授業で配った補足資料をもとに、問題を類題に差し替えて書き直しました。

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連載塾講師木下木下が作成して塾で配布した補足プリントを公開用にちょっと書き直して置いていきます。結構面白いっしょ。46本の記事・木下 智貴
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