漸化式と微分方程式：同じ理論の離散版と連続版

前の記事で、定数係数の $3$ 項間漸化式は特性方程式の $2$ 解 $\alpha,\beta$ から $a_n=A\alpha^{\,n}+B\beta^{\,n}$ と解けた。一方、大学で学ぶ定数係数線形微分方程式 $y''=p\,y'+q\,y$ も、特性方程式 $\lambda^2=p\lambda+q$ の $2$ 解から$y=Ae^{\lambda_1 x}+Be^{\lambda_2 x}$ と解ける。手順が似ているのは偶然ではなく、両者は同じ線形代数を、数列（離散）と関数（連続）で演じている。本稿はこの対応を、特性方程式・解と係数の関係・重解・虚数解の各点で突き合わせ、最後に $\alpha=e^{\lambda}$ という橋で両者を直結する。

1. 辞書：何と何が対応するか

先に対応表を掲げる。以降の節はこの表の各行の検証である。

とくに目を引くのは特性方程式と解と係数の関係が文字どおり同一なことである。$\alpha$ を $\lambda$ と書き換える以外に何の違いもない。理由は次節で明らかになる：どちらも同じ多項式（特性多項式）の根の話をしているからだ。

2. 作用素の言葉：$E$ と $D$、そして同じ特性多項式

漸化式を、数列全体に働くずらし作用素 $E$（$E a_n=a_{n+1}$）で書くと

$$\begin{aligned}a_{n+2}-p\,a_{n+1}-q\,a_n&=0\\\Longleftrightarrow\ (E^2-p\,E-q)\,a&=0.\end{aligned}$$

微分方程式を微分作用素 $D$（$D y=y'$）で書くと

$$\begin{aligned}y''-p\,y'-q\,y&=0\\\Longleftrightarrow\ (D^2-p\,D-q)\,y&=0.\end{aligned}$$

現れた多項式はどちらも同じ $t^2-p\,t-q$ で、代入する文字が $E$ か $D$ かだけが違う。これを特性多項式と呼ぶ。$2$ 解を $\alpha,\beta$（連続の文脈では $\lambda_1,\lambda_2$）とすれば、多項式の因数分解がそのまま作用素の因数分解になる：

（$E,D$ と定数の掛け算は順序を入れかえてよいので、ふつうの多項式と同じに因数分解できる。展開して確かめれば$(E-\alpha)(E-\beta)=E^2-(\alpha+\beta)E+\alpha\beta$ で、解と係数の関係 $\alpha+\beta=p,\ \alpha\beta=-q$ は「この因数分解が成り立つための係数の釣り合い」そのものである）。前の記事で $a_{n+1}-\alpha a_n$ を等比にする条件として$\alpha+\beta=p,\ \alpha\beta=-q$ が出てきたのは、この作用素の因数分解を成分で書いたものにほかならない：

$$\begin{aligned}&(E-\alpha)\,a=b\ \text{とおくと}\ (E-\beta)\,b=0,\\&\text{つまり}\ b_{n+1}=\beta\,b_n\ (\text{等比}).\end{aligned}$$

微分方程式でも同型に、$(D-\lambda_1)y=u$ とおけば $(D-\lambda_2)u=0$、つまり $u'=\lambda_2 u$（指数関数）。「$3$ 項間を $2$ 項間に落とす」と「$2$ 階を $1$ 階に落とす」は、同じ因数分解の一段目である。

前の記事の§7の $4$ 項間の計算（$\alpha$ で落とした先の $3$ 項間の特性方程式が $x^2-Px-Q=(x-\beta)(x-\gamma)$、すなわち残りの根がそのまま引き継がれる）も、この言葉では一行である。$3$ 次の因数分解$E^3-pE^2-qE-r=(E-\alpha)(E-\beta)(E-\gamma)$ の一段目 $(E-\alpha)$ を外した商 $(E-\beta)(E-\gamma)$ が、$b$ の従う作用素にほかならない。前の記事で $P,Q$ の連立を解いて $\alpha^3=p\alpha^2+q\alpha+r$ を出した計算は、多項式の割り算 $(t^3-pt^2-qt-r)\div(t-\alpha)$（割り切れる条件＝剰余の定理で $\alpha$ が根）を成分で実行したことに相当する。

3. 一次に落ちたあと：$\alpha^{\,n}$ で割る $=$ 積分因子

因数分解で一段落とすと、残るのはどちらも非同次の一次である：

$$\begin{aligned}a_{n+1}-\alpha\,a_n&=C\,\beta^{\,n}\quad \text{と}\\y'-\lambda_1 y&=C\,e^{\lambda_2 x}.\end{aligned}$$

ここからの解き方も対応する。漸化式は両辺を $\alpha^{\,n+1}$ で割る（$\alpha\beta=-q$ なので、$q\ne0$ なら $\alpha\ne0$ で割れる。以下この前提をおく）：$d_n:=a_n/\alpha^{\,n}$ とおくと

$$d_{n+1}-d_n=\frac{C}{\alpha}\Bigl(\frac{\beta}{\alpha}\Bigr)^{\!n}$$

と差分が既知の形になり、$n$ まで足し上げれば（望遠鏡和）$d_n$ が求まる。微分方程式は積分因子$e^{-\lambda_1x}$ を掛ける：

$$\bigl(e^{-\lambda_1x}\,y\bigr)'=C\,e^{(\lambda_2-\lambda_1)x}$$

と導関数が既知の形になり、積分すれば $y$ が求まる。「$\alpha^{\,n}$ で割る」と「$e^{-\lambda_1x}$ を掛ける」は同じ変形の離散版・連続版で、「望遠鏡和」と「積分」がそれに続く同じ操作である。

作用素の言葉でも同じことが一行で言える。恒等式

$$\begin{aligned}(E-\alpha)\bigl(\alpha^{\,n}b_n\bigr)&=\alpha^{\,n+1}(b_{n+1}-b_n),\\(D-\lambda)\bigl(e^{\lambda x}u(x)\bigr)&=e^{\lambda x}\,u'(x)\end{aligned}$$

により、$\alpha^{\,n}$（$e^{\lambda x}$）をくくり出すと $E-\alpha$ は差分 $\Delta:b_n\mapsto b_{n+1}-b_n$ に、$D-\lambda$ はただの微分に化ける。よって $k$ 重解の解空間は

$$\begin{aligned}&(E-\alpha)^k a=0\\\Longleftrightarrow\ &\Delta^k b=0\\\Longleftrightarrow\ &b_n\ \text{は}\ n\ \text{の}\ k{-}1\ \text{次以下の多項式}\end{aligned}$$

（連続版は $u^{(k)}=0\Leftrightarrow u$ は $x$ の $k{-}1$ 次以下）となり、$k$ 重解には$\alpha^{\,n},\,n\alpha^{\,n},\dots,n^{\,k-1}\alpha^{\,n}$（$e^{\lambda x},\,xe^{\lambda x},\dots,x^{\,k-1}e^{\lambda x}$）の$k$ 本が対応する。重解 $1$ つにつき解が $1$ 本しか出ない「不足」を、多項式係数がちょうど埋める。

4. なぜ重ね合わせでよいか：線形性と次元

一般解を「基本解の重ね合わせ」と書いてよい理由も、両者共通である。

1. 線形性：方程式が $(E^2-pE-q)a=0$ の形（未知の定数倍と和だけ）なので、解 $a,a'$ の線形結合$Aa+Ba'$ も解になる。解の全体はベクトル空間をなす。
2. 次元：漸化式は初期値 $(a_1,a_2)$ を決めれば解が一意に決まるから解空間は $2$ 次元。微分方程式も初期条件$(y(0),y'(0))$ で解が一意（解の存在と一意性定理）だから $2$ 次元。
3. 基底：$\alpha^{\,n}$ と $\beta^{\,n}$（重解なら $\alpha^{\,n}$ と $n\alpha^{\,n}$）は $1$ 次独立な $2$ 本の解。$2$ 次元空間の $1$ 次独立な $2$ 本は基底なので、すべての解がその重ね合わせで一意に書ける。

微分方程式で $1$ 次独立性を測る道具がロンスキアン $W(x)=\det\begin{pmatrix}y_1&y_2\\ y_1'&y_2'\end{pmatrix}$、漸化式での対応物がカソラティアン $K(n)=\det\begin{pmatrix}a_n&a'_n\\ a_{n+1}&a'_{n+1}\end{pmatrix}$ である。基本解 $\alpha^{\,n},\beta^{\,n}$ なら $K(n)=(\alpha\beta)^n(\beta-\alpha)$ で、$\alpha\ne\beta$ かつ $\alpha\beta=-q\ne0$ のとき $0$ でない（$m{-}1$ 本ならヴァンデルモンド行列式になる。前の記事の§7で「大学の線形代数で示せる」と預けた最後の一歩の正体がこれである）。

前の記事の§7が採った初等ルートは、この次元勘定を線形代数の語彙なしで言い換えたものである。「初期値 $m{-}1$ 個で解全体がドミノ式に決まる（帰納法）」が次元 $\le m{-}1$（初期値への制限写像が単射）を、「初期値を合わせる連立（ヴァンデルモンド系）が必ず解ける」が基本解が張ること（同じ写像が全射）を、それぞれ担っている。連続側でこの「帰納法」の役を果たすのが、解の存在と一意性定理である。

5. 虚数解：ド・モアブル $=$ オイラーの公式

特性方程式の解が虚数 $\lambda=a\pm b\,i$ のときの実数解の作り方も対応する。連続側はオイラーの公式$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ により

$$e^{(a+bi)x}=e^{ax}\,e^{ibx}=e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)$$

と書き、実部と虚部をとって実基本解 $e^{ax}\cos bx,\ e^{ax}\sin bx$ を得る。離散側は前の記事のとおり、解を極形式$\alpha=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ に直し、ド・モアブルの定理で

$$\alpha^{\,n}=r^{\,n}(\cos n\theta+i\sin n\theta)$$

として実基本解 $r^{\,n}\cos n\theta,\ r^{\,n}\sin n\theta$ を得る。ド・モアブルの定理は「オイラーの公式の整数乗版」$\bigl(e^{i\theta}\bigr)^n=e^{in\theta}$ にほかならないから、同じ一つの事実を使っている。前の記事の例3（$a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$、$r=1,\ \theta=60^{\circ}$）の連続版の相方が、単振動 $y''+y=0$（$\lambda=\pm i$、$y=C\cos x+D\sin x$）である。実数の範囲では「振動」に見える現象が、複素数まで広げるとただの等比・指数になる、という構図も共通である。

6. 橋：$\alpha=e^{\lambda}$、離散は連続のサンプリング

対応表の最後に、両者を直結する等式を置く。指数関数 $y=e^{\lambda x}$ を整数の目盛り $x=n$ で拾う（サンプリングする）と

$$y(n)=e^{\lambda n}=\bigl(e^{\lambda}\bigr)^{\,n}=\alpha^{\,n}, \qquad \alpha:=e^{\lambda}$$

となり、等比数列は指数関数の等間隔サンプルそのものである。この対応 $\alpha=e^{\lambda}$ は次を取り換える：

前の記事の例3で $|\alpha|=r=1$ の解が減衰も発散もせず周期列になったのは、連続側の「純虚数 $\lambda$＝単振動」の離散版である。逆に、微分を差分で置き換える近似（オイラー法 $y_{n+1}=y_n+h\,\lambda y_n=(1+h\lambda)y_n$）は、連続の $e^{\lambda h}$ を $1+h\lambda$ で近似して漸化式に引き戻す操作で、数値計算の安定性の議論（$|1+h\lambda|\le1$ か）はまさに上の表を使う。微分方程式を計算機で解くとは、連続の問題を漸化式に翻訳することにほかならない。

塾の授業で配った補足資料をもとに、問題を類題に差し替えて書き直しました。

この記事が含まれている連載

連載塾講師木下木下が作成して塾で配布した補足プリントを公開用にちょっと書き直して置いていきます。結構面白いっしょ。46本の記事・木下 智貴