屈折の法則と最短時間

授業では、沖の地点から船で岸へ向かい、上陸してからは岸沿いに歩いて目的地へ行くときに、かかる時間をもっとも短くする上陸地点を求めました¹1塾の授業で扱った問題は塾の教材なので、数値を変えた類題に差し替えています。ここでは、海岸線から沖へ $a$ だけ離れた地点 A から海岸上の地点 C へ行く問題で、A から海岸に下ろした垂線の足を H として $\mathrm{HC}=b$、海上の速さを $v$、岸沿いの速さを $\sqrt2\,v$ とします。下の脚注へ閉じる。答えは「岸に立てた垂線と船の進路のなす角が $\dfrac\pi4$ になる地点」でした。この角の条件は、光の屈折について知られている屈折の法則（スネルの法則）の特別な場合にあたります。以下では、進む速さが場所によって2通りに変わるときの最短時間の経路を微分で求め、その答えが光の屈折の法則と同じ式になることを確かめます。

1. 設定と結論

座標平面の $x$ 軸を境界とし、$y>0$ の側では速さ $v_1$、$y<0$ の側では速さ $v_2$ で進めるとします。点 $\mathrm A(0,\,a)$ から点 $\mathrm B(c,\,-b)$（$a,\,b,\,c>0$）へ行くのに、境界上の点 $\mathrm X(x,\,0)$ まで直進し、そこから B まで直進します。どちらの側でも直進が最短なので、選べるのは境界を横切る点 X の位置 $x$ だけです。

X で境界に垂直に立てた直線（法線）と、線分 XA のなす角を $\alpha$、線分 XB のなす角を $\beta$ とします。

図1　$x$ 軸の上側は速さ $v_1$、下側は速さ $v_2$。A から X を経て B へ進む。X の法線と XA のなす角が $\alpha$、XB のなす角が $\beta$

光の場合、屈折率 $n$ の物質の中を進む光の速さは $\dfrac{c_0}{n}$（$c_0$ は真空中の光の速さ）なので、上の式は $n_1\sin\alpha=n_2\sin\beta$、あるいは $\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\dfrac{v_1}{v_2}=\dfrac{n_2}{n_1}$ と書けます。たとえば屈折率をほぼ $1$ とみなせる空気から、屈折率が約 $1.33$ の水へ $\alpha=60^\circ$ で光が入ると、$\sin\beta=\dfrac{\sin60^\circ}{1.33}\fallingdotseq0.651$ より $\beta\fallingdotseq40.6^\circ$ で、光は法線に近づく向きに曲がります。図1は $v_1:v_2=3:2$、$\alpha=60^\circ$ の場合を描いたものです。

2. 微分による証明

所要時間は X の座標 $x$ の関数で、

$$T(x)=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{v_1}+\frac{\sqrt{(c-x)^2+b^2}}{v_2}$$

です。$x$ で微分すると

$$T'(x)=\frac{x}{v_1\sqrt{x^2+a^2}}-\frac{c-x}{v_2\sqrt{(c-x)^2+b^2}}$$

となります。$0<x<c$ のとき、図1の直角三角形から $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}=\sin\alpha$、$\dfrac{c-x}{\sqrt{(c-x)^2+b^2}}=\sin\beta$ なので、

$$T'(x)=\frac{\sin\alpha}{v_1}-\frac{\sin\beta}{v_2}$$

です。つまり $T'(x)=0$ はちょうど屈折の法則の式です。残っているのは、この $x$ が本当に最小を与えることと、そのような $x$ が1つしかないことの確認です。

もう一度微分すると

$$T''(x)=\frac{a^2}{v_1\left(x^2+a^2\right)^{3/2}}+\frac{b^2}{v_2\left\{(c-x)^2+b^2\right\}^{3/2}}>0$$

なので、$T'(x)$ はすべての実数 $x$ で単調に増加します。さらに

$$\begin{aligned}T'(0)&=-\frac{c}{v_2\sqrt{c^2+b^2}}<0,\\T'(c)&=\frac{c}{v_1\sqrt{c^2+a^2}}>0\end{aligned}$$

なので、$T'(x)=0$ となる $x$ は $0<x<c$ にただ1つあります。それを $x_0$ とすると、増減は次のとおりです。

よって $T$ は $x=x_0$ で最小になり、そのとき $\dfrac{\sin\alpha}{v_1}=\dfrac{\sin\beta}{v_2}$ が成り立ちます。∎

変数を $x$ でなく角 $\alpha$ にとることもできます。その場合は $a\tan\alpha+b\tan\beta=c$ という関係の両辺を $\alpha$ で微分して $\dfrac{d\beta}{d\alpha}$ を消去すると、同じ結論が得られます。

3. 光がこの法則に従う理由（ホイヘンスの原理）

§2 は「最短時間の経路はどこを通るか」という数学の問題でした。光が実際にこの経路を通ることは、波の性質から説明できます。ホイヘンスの原理とは、波面の各点から小さな球面状の波（素元波）が広がり、それらすべてに接する面が少し後の波面になる、という考え方です。

図2　平行な2本の光線が境界上の K と L に斜めに入る。K に届いた瞬間の波面（破線）から L までの残りは $d\sin\alpha$。その間に K から広がる素元波の半径は $d\sin\beta$ で、L からこの円に引いた接線が新しい波面

平行な光線の束が、境界に斜めに入ってくる場面を考えます。光線と波面は垂直で、境界と法線も垂直なので、波面と境界のなす角は入射角 $\alpha$ に等しくなります。図の点 K に一方の端が届いた瞬間、波面は K を通る破線の位置にあり、もう一方の端は境界上の点 L（$\mathrm{KL}=d$）までまだ $d\sin\alpha$ 残っています。この残りを進むのにかかる時間は $t=\dfrac{d\sin\alpha}{v_1}$ です。

その間に、K から下の側へ素元波が速さ $v_2$ で広がり、半径 $v_2t$ の円になります。端が L に届いた瞬間の新しい波面は、L からこの円に引いた接線です。屈折した光線はこの接線に垂直なので、K から接点へ向かう向きに進み、法線とのなす角が屈折角 $\beta$ になります。接線と境界のなす角も $\beta$ なので、円の半径は $d\sin\beta$ と書けます。したがって

$$\begin{aligned}v_2\cdot\frac{d\sin\alpha}{v_1}&=d\sin\beta\\\text{つまり}\ \frac{\sin\alpha}{v_1}&=\frac{\sin\beta}{v_2}\end{aligned}$$

となり、§2 で求めた最短時間の条件と同じ式が出てきます。∎

4. フェルマーの原理と授業で扱った問題

§2 と §3 の結果が一致するのは偶然ではありません。光は2点を結ぶ経路のうち所要時間が最小になるものを通る、というフェルマーの原理が知られています（正確には「所要時間が停留する経路」ですが、ここで扱う場面では最小です）。

授業で扱った問題をこの見方で読み直します。島 A から岸に下ろした垂線の足を H、$\mathrm{AH}=a$、H から目的地 C までを $\mathrm{HC}=b$ とし、海上の速さを $v$、岸沿いを歩く速さを $\sqrt2\,v$ とします。上陸点を X、$\mathrm{HX}=x$（$0\leqq x\leqq b$）とすると、所要時間は

$$\begin{aligned}T(x)&=\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{v}+\frac{b-x}{\sqrt2\,v},\\T'(x)&=\frac1v\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}-\frac1{\sqrt2}\right)\\&=\frac1v\left(\sin\alpha-\frac1{\sqrt2}\right)\end{aligned}$$

です（$\alpha$ は X の法線と XA のなす角）。§2 と同じく $T'(x)$ は単調に増加し、$T'(x)=0$ となるのは $\sin\alpha=\dfrac1{\sqrt2}$、すなわち $\alpha=\dfrac\pi4$、$x=a\tan\dfrac\pi4=a$ のときです。この点が $0\leqq x\leqq b$ に入る条件は $a\leqq b$ です。$a>b$ のときは区間全体で $T'(x)<0$ なので、$x=b$（船で C へ直行する）が最小になります。

図3　沖の地点 A から岸へ。H は A から岸に下ろした垂線の足。上陸点 X では法線と XA のなす角が $\frac\pi4$。X から C までは岸沿いに速さ $\sqrt2\,v$ で進む

屈折の法則の側から見ると、岸沿いに歩く部分は「速さ $\sqrt2\,v$ の側を、境界に沿って進む」経路なので、屈折角が $\beta=\dfrac\pi2$ の場合にあたります。法則の式に入れると

$$\begin{aligned}&\frac{\sin\alpha}{v}=\frac{\sin\dfrac\pi2}{\sqrt2\,v}\quad \text{より}\quad \sin\alpha=\frac1{\sqrt2},\quad \alpha=\frac\pi4\end{aligned}$$

となり、微分で求めた答えと一致します。

塾の授業で配った補足資料をもとに、問題を類題に差し替えて書き直しました。

この記事が含まれている連載

連載塾講師木下木下が作成して塾で配布した補足プリントを公開用にちょっと書き直して置いていきます。結構面白いっしょ。46本の記事・木下 智貴