相互作用項から頂点を読む

場の量子論入門　第5部 第3章 §5.3.1　★★★ 頂点因子は $-\mathrm{i} e\gamma^\mu$。導出は $\mathrm{i}\mathcal{L}_{\rm int}$ を読むだけ

第1章で Lagrangian 密度が決まり、第2章で光子の伝播関数が得られた。あとは第3部で $\phi^4$ 理論について確立した手続き（Dyson 級数、Wick の定理、連結ダイアグラム）を QED に適用すればよい。本章では規則を列挙し、振幅を書く手順を固定する。以後の第4章から第6章は、この手順を実行するだけである。

QED の Lagrangian 密度は

$$\mathcal{L}_{\rm QED}=\bar\psi \bigl(\mathrm{i}\not\partial-m\bigr)\psi-\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} -e\,\bar\psi \gamma^\mu\psi\,A_\mu$$

であった。相互作用項は $\mathcal{L}_{\rm int}=-e\bar\psi \gamma^\mu\psi A_\mu$ の1つだけである。Dyson 級数の展開に現れるのは $\mathrm{i}\int\mathrm{d}^4x\,\mathcal{L}_{\rm int}$ なので、頂点因子は

$$\mathrm{i}\times(-e\gamma^\mu)=-\mathrm{i} e\gamma^\mu$$

となる。$\gamma^\mu$ は行列なので、フェルミオン線に沿って正しい順序で並べる必要がある（第 5.3.3 節）。$\mu$ は頂点に付く光子線の Lorentz 添字であり、伝播関数や偏極ベクトルと縮約される。

頂点は3本の線（フェルミオン線が入って出る、光子線が1本）が集まる点であり、QED にはこの1種類しかない。$\phi^4$ 理論の頂点 $-\mathrm{i}\lambda$ が4本のスカラー線を結んだのと比べると、線の種類が増えた分だけ規則が細かくなるが、構造は同じである。