積分定理

(1.3) より $\nabla f(\bm{r}(t))\cdot\frac{d \bm{r}}{d t}=\frac{d }{d t}f(\bm{r}(t))$ である。よって左辺は

$$\int_a^b\frac{d }{d t}f(\bm{r}(t))\,\mathrm{d} t=f(\bm{r}(b))-f(\bm{r}(a))$$

に等しい。

両辺は $\bm{A}$ について線形なので、$\bm{A}=A_z\bm{e}_z$ の場合

$$\int_V\frac{\partial A_z}{\partial z}\,\mathrm{d} V=\oint_{\partial V}A_z\,n_z\,\mathrm{d} S\tag{1.20}$$

を示し、$x$ 成分・$y$ 成分についても同じ式を示して足せばよい。

まず $V$ が「$z$ 方向に単純」な場合を考える。これは、$V$ を底の平面へ射影した領域を $D$ として

$$V=\{(x,y,z):(x,y)\in D,\ g_1(x,y)\le z\le g_2(x,y)\}$$

と書ける場合のことである。$z$ について先に積分すると、微分積分学の基本定理から

$$\int_V\frac{\partial A_z}{\partial z}\,\mathrm{d} V=\int_D\bigl[A_z(x,y,g_2(x,y))-A_z(x,y,g_1(x,y))\bigr]\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y$$

となる。境界の各部分で、面積要素を $xy$ 平面へ射影したものは次のとおりである。

• 上の面 $z=g_2$：外向き法線が上を向く（$n_z>0$）。よって $n_z\,\mathrm{d} S=\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y$。
• 下の面 $z=g_1$：外向き法線が下を向くので、$n_z\,\mathrm{d} S=-\mathrm{d} x\,\mathrm{d} y$。
• 側面（あれば）：$n_z=0$ なので寄与しない。

したがって右辺の第1項は上の面での $\oint A_zn_z\,\mathrm{d} S$ に等しい。第2項（負号を含めて）は下の面での $\oint A_zn_z\,\mathrm{d} S$ に等しく、(1.20) が成り立つ。

一般の領域は、有限個の「$z$ 方向に単純」な小領域に切り分けられるとする（入門で扱う領域はすべてこの形にできる）。各小領域で (1.20) が成り立ち、左辺を足すと $V$ 全体の積分になる。右辺を足すと、切り口の面は隣り合う2つの小領域の両方の表面に、逆向きの外向き法線で現れるので打ち消し合い、もとの境界 $\partial V$ の寄与だけが残る。

(1.14) で $f=\phi$、$\bm{A}=\nabla\psi$ とおくと

$$\nabla\cdot(\phi\nabla\psi)=\phi\nabla^2\psi+\nabla\phi\cdot\nabla\psi$$

である。これを発散定理に入れると (1.21) を得る。(1.22) の証明は確認テスト 1.2-3 とする。

$P$ の項を示す。$D$ が $v$ 方向に単純で、次の形に書けるとする。

$$D=\{a\le u\le b,\ h_1(u)\le v\le h_2(u)\}$$

$v$ について先に積分すると

$$-\int_D\frac{\partial P}{\partial v}\,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v=-\int_a^b\bigl[P(u,h_2(u))-P(u,h_1(u))\bigr]\mathrm{d} u .$$

反時計回りにたどるとき、縁の各部分は次のように進む。

• 下の縁 $v=h_1(u)$：$u$ の増える向き。
• 上の縁 $v=h_2(u)$：$u$ の減る向き。
• 左右の縁（直線 $u=a$, $u=b$ の上の線分。あれば）：$\mathrm{d} u=0$ なので寄与しない。

したがって

$$\oint P\,\mathrm{d} u=\int_a^bP(u,h_1)\,\mathrm{d} u-\int_a^bP(u,h_2)\,\mathrm{d} u$$

となり、上の式と一致する。

$Q$ の項も $u$ 方向に単純な形で同様に示せる。一般の $D$ は単純な小領域に切り分け、内側の切り口が逆向きに2回たどられて打ち消し合うことを使う。

曲面 $S$ を、平面の領域 $D$ からの写像で表す。写像を $\bm{r}(u,v)$ と書く。偏微分を $\bm{r}_u=\frac{\partial \bm{r}}{\partial u}$、$\bm{r}_v=\frac{\partial \bm{r}}{\partial v}$ と書くと、面積要素ベクトルは

$$\mathrm{d}\bm{S}=(\bm{r}_u\times\bm{r}_v)\,\mathrm{d} u\,\mathrm{d} v$$

である。パラメータは、$D$ の縁を反時計回りにたどると $\partial S$ が定理の向きにたどられるように選んでおく。縁の上では $\mathrm{d}\bm{r}=\bm{r}_u\,\mathrm{d} u+\bm{r}_v\,\mathrm{d} v$ なので、右辺は

$$\oint_{\partial S}\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{r}=\oint_{\partial D}\bigl[(\bm{A}\cdot\bm{r}_u)\,\mathrm{d} u+(\bm{A}\cdot\bm{r}_v)\,\mathrm{d} v\bigr]$$

となる。補題 1.10 を $P=\bm{A}\cdot\bm{r}_u$、$Q=\bm{A}\cdot\bm{r}_v$ で使うと、

$$\frac{\partial Q}{\partial u}-\frac{\partial P}{\partial v}=\frac{\partial \bm{A}}{\partial u}\cdot\bm{r}_v+\bm{A}\cdot\bm{r}_{vu}-\frac{\partial \bm{A}}{\partial v}\cdot\bm{r}_u-\bm{A}\cdot\bm{r}_{uv} =\frac{\partial \bm{A}}{\partial u}\cdot\bm{r}_v-\frac{\partial \bm{A}}{\partial v}\cdot\bm{r}_u$$

となる（2階の混合偏微分 $\bm{r}_{uv}=\bm{r}_{vu}$ の項が消えた）。一方、任意のベクトル $\bm{a},\bm{b}$ について (1.17) から

$$(\nabla\times\bm{A})\cdot(\bm{a}\times\bm{b})=\sum_{i,j,k,l,m}\epsilon_{ijk}\epsilon_{ilm}\,\partial_jA_k\,a_lb_m =\bm{b}\cdot\bigl((\bm{a}\cdot\nabla)\bm{A}\bigr)-\bm{a}\cdot\bigl((\bm{b}\cdot\nabla)\bm{A}\bigr)\tag{1.25}$$

が成り立つ。ここで $(\bm{a}\cdot\nabla)\bm{A}$ は、場を $\bm{a}$ 方向に方向微分したベクトルである。$\bm{a}=\bm{r}_u$、$\bm{b}=\bm{r}_v$ とすると、連鎖律から

$$(\bm{r}_u\cdot\nabla)\bm{A}=\frac{\partial \bm{A}}{\partial u},\qquad (\bm{r}_v\cdot\nabla)\bm{A}=\frac{\partial \bm{A}}{\partial v}$$

なので、

$$(\nabla\times\bm{A})\cdot(\bm{r}_u\times\bm{r}_v)=\frac{\partial \bm{A}}{\partial u}\cdot\bm{r}_v-\frac{\partial \bm{A}}{\partial v}\cdot\bm{r}_u$$

となる。これは上で得た $\frac{\partial Q}{\partial u}-\frac{\partial P}{\partial v}$ に等しい。$D$ で積分すれば左辺 $\int_S(\nabla\times\bm{A})\cdot\mathrm{d}\bm{S}$ に一致する。曲面全体を1つのパラメータで覆えないときは、覆える小片に分け、内側の縁が逆向きに2回たどられて打ち消し合うことを使う。