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曲線座標

2026年10月15日18分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第1章 ベクトル解析の道具
目次
  1. 直交曲線座標とスケール因子
  2. 一般の公式
  3. 円柱座標と球座標の公式
  4. 確認テスト
  5. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

電磁気学入門　第1章 §1.4　★★ 球対称・軸対称な問題を解くための円柱座標と球座標の公式

点電荷や導体球のまわりの場は球対称であり、直線電流や同軸ケーブルのまわりの場は軸対称である。こうした問題では、対称性に合った座標を使うと方程式が1変数の常微分方程式に帰着する。この節では直交曲線座標の一般論から始め、円柱座標と球座標での勾配・発散・回転・ラプラシアンを導く。

直交曲線座標とスケール因子

3つの数 (u1,u2,u3)(u_1,u_2,u_3) で空間の点 r(u1,u2,u3)\bm{r}(u_1,u_2,u_3) を表すとする。uiu_i だけを動かしたときに点が描く曲線を uiu_i 曲線と呼ぶ。その接ベクトルを

∂r∂ui=hi ei,hi=∣∂r∂ui∣(1.34)\frac{\partial \bm{r}}{\partial u_i}=h_i\,\bm{e}_i,\qquad h_i=\left\vert \frac{\partial \bm{r}}{\partial u_i}\right\vert\tag{1.34}

と書く。hih_i をスケール因子と呼ぶ。ei\bm{e}_i は uiu_i 方向の単位ベクトルである。

各点で e1,e2,e3\bm{e}_1,\bm{e}_2,\bm{e}_3 が互いに直交し、この順に右手系をなすとき、(u1,u2,u3)(u_1,u_2,u_3) を直交曲線座標という。直交座標と違い、ei\bm{e}_i の向きは点ごとに変わる。

微小変位は dr=∑ihi dui ei\mathrm{d}\bm{r}=\sum_ih_i\,\mathrm{d} u_i\,\bm{e}_i と書ける。長さの2乗と体積要素は、直交性から

ds2=h12du12+h22du22+h32du32,dV=h1h2h3 du1du2du3(1.35)\mathrm{d} s^2=h_1^2\mathrm{d} u_1^2+h_2^2\mathrm{d} u_2^2+h_3^2\mathrm{d} u_3^2,\qquad\mathrm{d} V=h_1h_2h_3\,\mathrm{d} u_1\mathrm{d} u_2\mathrm{d} u_3\tag{1.35}

となる。u1=u_1= 一定の面の面積要素は h2h3 du2du3h_2h_3\,\mathrm{d} u_2\mathrm{d} u_3 である。

円柱座標 (s,φ,z)(s,\varphi,z) は次の式で定める。

x=scos⁡φ,y=ssin⁡φ,z=zx=s\cos\varphi,\qquad y=s\sin\varphi,\qquad z=z

ss は zz 軸からの距離である。電荷密度の記号と区別するため、この本ではこの距離を ss と書く。r\bm{r} を微分すると

∂r∂s=(cos⁡φ,sin⁡φ,0),∂r∂φ=s(−sin⁡φ,cos⁡φ,0),∂r∂z=(0,0,1)\frac{\partial \bm{r}}{\partial s}=(\cos\varphi,\sin\varphi,0),\quad\frac{\partial \bm{r}}{\partial \varphi}=s(-\sin\varphi,\cos\varphi,0),\quad\frac{\partial \bm{r}}{\partial z}=(0,0,1)

なので、スケール因子は (hs,hφ,hz)=(1,s,1)(h_s,h_\varphi,h_z)=(1,s,1) である。

球座標 (r,θ,φ)(r,\theta,\varphi) は次の式で定める（図 1.4）。

x=rsin⁡θcos⁡φ,y=rsin⁡θsin⁡φ,z=rcos⁡θx=r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y=r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z=r\cos\theta

θ\theta は zz 軸から測った角である。その範囲は 0≤θ≤π0\le\theta\le\pi である。φ\varphi は、点を xyxy 平面へ射影したものが横軸となす角である。微分すると

∂r∂r=(sin⁡θcos⁡φ, sin⁡θsin⁡φ, cos⁡θ),∂r∂θ=r(cos⁡θcos⁡φ, cos⁡θsin⁡φ, −sin⁡θ),∂r∂φ=rsin⁡θ(−sin⁡φ, cos⁡φ, 0)\begin{aligned}\frac{\partial \bm{r}}{\partial r}&=(\sin\theta\cos\varphi,\ \sin\theta\sin\varphi,\ \cos\theta),\\ \frac{\partial \bm{r}}{\partial \theta}&=r(\cos\theta\cos\varphi,\ \cos\theta\sin\varphi,\ -\sin\theta),\\ \frac{\partial \bm{r}}{\partial \varphi}&=r\sin\theta(-\sin\varphi,\ \cos\varphi,\ 0)\end{aligned}

で、3つは互いに直交する。スケール因子は (hr,hθ,hφ)=(1,r,rsin⁡θ)(h_r,h_\theta,h_\varphi)=(1,r,r\sin\theta) である。体積要素と、半径 RR の球面の面積要素は

dV=r2sin⁡θ dr dθ dφ,dS=R2sin⁡θ dθ dφ\mathrm{d} V=r^2\sin\theta\,\mathrm{d} r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi,\qquad \mathrm{d} S=R^2\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi

となる。

図

図 1.4　球座標 (r,θ,φ)(r,\theta,\varphi) と、点ごとに向きの変わる単位ベクトル er,eθ,eφ\bm{e}_r,\bm{e}_\theta,\bm{e}_\varphi。この順に右手系をなす。

一般の公式

定理 1.17（直交曲線座標での微分演算）

直交曲線座標 (u1,u2,u3)(u_1,u_2,u_3) をとる。スカラー場 ff とベクトル場 A=∑iAiei\bm{A}=\sum_iA_i\bm{e}_i について次が成り立つ。

∇f=∑i=131hi∂f∂uiei,∇⋅A=1h1h2h3[∂∂u1(h2h3A1)+∂∂u2(h3h1A2)+∂∂u3(h1h2A3)],(∇×A)1=1h2h3[∂∂u2(h3A3)−∂∂u3(h2A2)](ほかの成分は添字を 1→2→3→1 と巡回),∇2f=1h1h2h3[∂∂u1 ⁣(h2h3h1∂f∂u1)+∂∂u2 ⁣(h3h1h2∂f∂u2)+∂∂u3 ⁣(h1h2h3∂f∂u3)].\begin{align*}\nabla f&=\sum_{i=1}^3\frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial u_i}\bm{e}_i,\tag{1.36}\\\nabla\cdot\bm{A}&=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left[\frac{\partial }{\partial u_1}(h_2h_3A_1)+\frac{\partial }{\partial u_2}(h_3h_1A_2)+\frac{\partial }{\partial u_3}(h_1h_2A_3)\right],\tag{1.37}\\(\nabla\times\bm{A})_1&=\frac{1}{h_2h_3}\left[\frac{\partial }{\partial u_2}(h_3A_3)-\frac{\partial }{\partial u_3}(h_2A_2)\right]\quad(\text{ほかの成分は添字を }1\to2\to3\to1\text{ と巡回}),\tag{1.38}\\\nabla^2f&=\frac{1}{h_1h_2h_3}\left[\frac{\partial }{\partial u_1}\!\left(\frac{h_2h_3}{h_1}\frac{\partial f}{\partial u_1}\right)+\frac{\partial }{\partial u_2}\!\left(\frac{h_3h_1}{h_2}\frac{\partial f}{\partial u_2}\right)+\frac{\partial }{\partial u_3}\!\left(\frac{h_1h_2}{h_3}\frac{\partial f}{\partial u_3}\right)\right].\tag{1.39}\end{align*}

証明

勾配：ff の変化を2通りに書く。

df=∑i∂f∂uidui,（偏微分の定義）df=∇f⋅dr=∑i(∇f)ihi dui.（(1.3) と dr=∑ihiduiei）\begin{aligned}\mathrm{d} f&=\sum_i\frac{\partial f}{\partial u_i}\mathrm{d} u_i, &&\text{（偏微分の定義）}\\ \mathrm{d} f&=\nabla f\cdot\mathrm{d}\bm{r}=\sum_i(\nabla f)_ih_i\,\mathrm{d} u_i. &&\text{（(1.3) と $\mathrm{d}\bm{r}=\sum_ih_i\mathrm{d} u_i\bm{e}_i$）}\end{aligned}

dui\mathrm{d} u_i の係数を比べて (∇f)i=1hi∂f∂ui(\nabla f)_i=\frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial u_i} を得る。

発散：(1.6) を、座標の値が uiu_i から ui+Δuiu_i+\Delta u_i までの小さな体積要素に使う。u1u_1 一定の2つの面では、外向き法線が ±e1\pm\bm{e}_1 である。面積は h2h3Δu2Δu3h_2h_3\Delta u_2\Delta u_3 である。ここでスケール因子も場所によって変わることに注意すると、2つの面からの流出の和は

[(h2h3A1)∣u1+Δu1−(h2h3A1)∣u1]Δu2Δu3≈∂∂u1(h2h3A1) Δu1Δu2Δu3\bigl[(h_2h_3A_1)\bigr|_{u_1+\Delta u_1}-(h_2h_3A_1)\bigr|_{u_1}\bigr]\Delta u_2\Delta u_3\approx\frac{\partial }{\partial u_1}(h_2h_3A_1)\,\Delta u_1\Delta u_2\Delta u_3

となる。3組の面を足し、体積 h1h2h3Δu1Δu2Δu3h_1h_2h_3\Delta u_1\Delta u_2\Delta u_3 で割れば (1.37) を得る。

回転：(1.10) を、u1u_1 一定の面上の小さな長方形に使う。その辺の長さは、2番目の座標の方向に h2Δu2h_2\Delta u_2、3番目の方向に h3Δu3h_3\Delta u_3 である。e1\bm{e}_1 の向きに右ねじが進む向きにたどると、(1.9) と同じ組み合わせ方で、循環は

[∂∂u2(h3A3)−∂∂u3(h2A2)]Δu2Δu3\left[\frac{\partial }{\partial u_2}(h_3A_3)-\frac{\partial }{\partial u_3}(h_2A_2)\right]\Delta u_2\Delta u_3

となる。辺の長さに含まれるスケール因子が微分の中に入る点が直交座標との違いである。面積 h2h3Δu2Δu3h_2h_3\Delta u_2\Delta u_3 で割れば (1.38) を得る。

ラプラシアン：(1.37) に Ai=1hi∂f∂uiA_i=\frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial u_i} を入れればよい。

ここでの導出は、発散と回転が座標によらず (1.6) と (1.10) で決まることを使っている。1.2 節の積分定理が、その座標によらない性格を保証している。

円柱座標と球座標の公式

スケール因子を (1.36)〜(1.39) に入れると、次の公式を得る。

円柱座標 (s,φ,z)(s,\varphi,z)、(hs,hφ,hz)=(1,s,1)(h_s,h_\varphi,h_z)=(1,s,1)

∇f=∂f∂ses+1s∂f∂φeφ+∂f∂zez,∇⋅A=1s∂∂s(sAs)+1s∂Aφ∂φ+∂Az∂z,∇×A=(1s∂Az∂φ−∂Aφ∂z)es+(∂As∂z−∂Az∂s)eφ+1s(∂∂s(sAφ)−∂As∂φ)ez,∇2f=1s∂∂s ⁣(s∂f∂s)+1s2∂2f∂φ2+∂2f∂z2.\begin{aligned}\nabla f&=\frac{\partial f}{\partial s}\bm{e}_s+\frac1s\frac{\partial f}{\partial \varphi}\bm{e}_\varphi+\frac{\partial f}{\partial z}\bm{e}_z,\\ \nabla\cdot\bm{A}&=\frac1s\frac{\partial }{\partial s}(sA_s)+\frac1s\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi}+\frac{\partial A_z}{\partial z},\\ \nabla\times\bm{A}&=\left(\frac1s\frac{\partial A_z}{\partial \varphi}-\frac{\partial A_\varphi}{\partial z}\right)\bm{e}_s+\left(\frac{\partial A_s}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial s}\right)\bm{e}_\varphi+\frac1s\left(\frac{\partial }{\partial s}(sA_\varphi)-\frac{\partial A_s}{\partial \varphi}\right)\bm{e}_z,\\ \nabla^2f&=\frac1s\frac{\partial }{\partial s}\!\left(s\frac{\partial f}{\partial s}\right)+\frac{1}{s^2}\frac{\partial ^2f}{\partial \varphi^2}+\frac{\partial ^2f}{\partial z^2}.\end{aligned}

球座標 (r,θ,φ)(r,\theta,\varphi)、(hr,hθ,hφ)=(1,r,rsin⁡θ)(h_r,h_\theta,h_\varphi)=(1,r,r\sin\theta)

∇f=∂f∂rer+1r∂f∂θeθ+1rsin⁡θ∂f∂φeφ,∇⋅A=1r2∂∂r(r2Ar)+1rsin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ Aθ)+1rsin⁡θ∂Aφ∂φ,∇×A=1rsin⁡θ(∂∂θ(sin⁡θ Aφ)−∂Aθ∂φ)er+1r(1sin⁡θ∂Ar∂φ−∂∂r(rAφ))eθ+1r(∂∂r(rAθ)−∂Ar∂θ)eφ,∇2f=1r2∂∂r ⁣(r2∂f∂r)+1r2sin⁡θ∂∂θ ⁣(sin⁡θ∂f∂θ)+1r2sin⁡2θ∂2f∂φ2.\begin{aligned}\nabla f&=\frac{\partial f}{\partial r}\bm{e}_r+\frac1r\frac{\partial f}{\partial \theta}\bm{e}_\theta+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\bm{e}_\varphi,\\ \nabla\cdot\bm{A}&=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(r^2A_r)+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}(\sin\theta\,A_\theta)+\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi},\\ \nabla\times\bm{A}&=\frac{1}{r\sin\theta}\left(\frac{\partial }{\partial \theta}(\sin\theta\,A_\varphi)-\frac{\partial A_\theta}{\partial \varphi}\right)\bm{e}_r +\frac1r\left(\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial A_r}{\partial \varphi}-\frac{\partial }{\partial r}(rA_\varphi)\right)\bm{e}_\theta\\ &\quad+\frac1r\left(\frac{\partial }{\partial r}(rA_\theta)-\frac{\partial A_r}{\partial \theta}\right)\bm{e}_\varphi,\\ \nabla^2f&=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\!\left(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}\!\left(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial ^2f}{\partial \varphi^2}.\end{aligned}

球座標の勾配の公式を使うと、たとえば ∇(1/r)=−er/r2\nabla(1/r)=-\bm{e}_r/r^2 がすぐに得られる。発散の公式で Ar=1/r2A_r=1/r^2、Aθ=Aφ=0A_\theta=A_\varphi=0 とすると、発散は

1r2∂∂r(1)=0\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}(1)=0

となり、例題 1.1 の 3 と一致する。

単位ベクトルの微分

曲線座標の単位ベクトルは場所によって向きが変わるので、ベクトル場を微分するときは単位ベクトルも微分しなければならない。球座標の単位ベクトルを直交座標の成分で書くと

er=(sin⁡θcos⁡φ, sin⁡θsin⁡φ, cos⁡θ),eθ=(cos⁡θcos⁡φ, cos⁡θsin⁡φ, −sin⁡θ),eφ=(−sin⁡φ, cos⁡φ, 0)\begin{aligned}\bm{e}_r&=(\sin\theta\cos\varphi,\ \sin\theta\sin\varphi,\ \cos\theta),\\ \bm{e}_\theta&=(\cos\theta\cos\varphi,\ \cos\theta\sin\varphi,\ -\sin\theta),\\ \bm{e}_\varphi&=(-\sin\varphi,\ \cos\varphi,\ 0)\end{aligned}

であり、これを微分すると次の関係が得られる。

  • ∂er∂θ=eθ\frac{\partial \bm{e}_r}{\partial \theta}=\bm{e}_\theta、∂er∂φ=sin⁡θ eφ\frac{\partial \bm{e}_r}{\partial \varphi}=\sin\theta\,\bm{e}_\varphi。
  • ∂eθ∂θ=−er\frac{\partial \bm{e}_\theta}{\partial \theta}=-\bm{e}_r、∂eθ∂φ=cos⁡θ eφ\frac{\partial \bm{e}_\theta}{\partial \varphi}=\cos\theta\,\bm{e}_\varphi。
  • ∂eφ∂φ=−sin⁡θ er−cos⁡θ eθ\frac{\partial \bm{e}_\varphi}{\partial \varphi}=-\sin\theta\,\bm{e}_r-\cos\theta\,\bm{e}_\theta。
  • ほかの組み合わせはすべて 0\bm{0}。

このため、ベクトル場のラプラシアン ∇2A\nabla^2\bm{A} を曲線座標の成分ごとに (∇2Ar,∇2Aθ,∇2Aφ)(\nabla^2A_r,\nabla^2A_\theta,\nabla^2A_\varphi) と計算すると誤りになる。曲線座標で ∇2A\nabla^2\bm{A} が必要なときは、(1.16) を逆に使って ∇2A=∇(∇⋅A)−∇×(∇×A)\nabla^2\bm{A}=\nabla(\nabla\cdot\bm{A})-\nabla\times(\nabla\times\bm{A}) から求める。

例題 1.6　球座標のラプラシアンと調和関数 ★★

オリジナル

  1. r>0r>0 で f=cos⁡θr2f=\dfrac{\cos\theta}{r^2} のラプラシアンを球座標の公式で計算せよ。
  2. 同じ関数を直交座標で z/r3z/r^3 と書き、例題 1.1 と恒等式を使って ∇2(z/r3)\nabla^2(z/r^3) を計算し、1 と一致することを確かめよ。
  3. F=−∇f\bm{F}=-\nabla f を球座標の成分で求めよ。
解答
  1. ff は φ\varphi によらない。動径の項は

1r2∂∂r ⁣(r2⋅−2cos⁡θr3)=1r2∂∂r ⁣(−2cos⁡θr)=2cos⁡θr4\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\!\left(r^2\cdot\frac{-2\cos\theta}{r^3}\right)=\frac{1}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\!\left(-\frac{2\cos\theta}{r}\right)=\frac{2\cos\theta}{r^4}

であり、角度の項は

1r2sin⁡θ∂∂θ ⁣(sin⁡θ⋅−sin⁡θr2)=−2sin⁡θcos⁡θr4sin⁡θ=−2cos⁡θr4\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial }{\partial \theta}\!\left(\sin\theta\cdot\frac{-\sin\theta}{r^2}\right)=\frac{-2\sin\theta\cos\theta}{r^4\sin\theta}=-\frac{2\cos\theta}{r^4}

である。足して ∇2f=0\nabla^2f=0 となる。よって ff は r>0r>0 で調和関数である。

  1. ∂∂zr−1=−z/r3\frac{\partial }{\partial z}r^{-1}=-z/r^3 より、z/r3=∂∂z(−1r)z/r^3=\frac{\partial }{\partial z}\left(-\dfrac1r\right) である。ラプラシアンと ∂∂z\frac{\partial }{\partial z} は交換するので

∇2zr3=−∂∂z∇21r\nabla^2\frac{z}{r^3}=-\frac{\partial }{\partial z}\nabla^2\frac1r

である。例題 1.1 の n=−1n=-1 の計算から、原点の外では ∇2(1/r)=0\nabla^2(1/r)=0 である。よって結果は 0 となり、1 と一致する。

  1. 勾配の公式から

F=−∇f=−∂f∂rer−1r∂f∂θeθ=2cos⁡θr3er+sin⁡θr3eθ.\bm{F}=-\nabla f=-\frac{\partial f}{\partial r}\bm{e}_r-\frac1r\frac{\partial f}{\partial \theta}\bm{e}_\theta=\frac{2\cos\theta}{r^3}\bm{e}_r+\frac{\sin\theta}{r^3}\bm{e}_\theta .

これは第3章 §3.5 で扱う電気双極子の電場と同じ角度依存性を持つ。

確認テスト

オリジナル

  1. 1.4-1 円柱座標で、半径 aa、高さ LL の円柱の側面積と体積を、(1.35) の面積要素と体積要素を積分して求めよ。

  2. 1.4-2 rnr^n の球座標でのラプラシアンを求めよ。また、r>0r>0 で調和関数になる nn をすべて求めよ。

  3. 1.4-3 円柱座標で次を計算せよ。

    1. （a） A=s es\bm{A}=s\,\bm{e}_s の発散と回転。
    2. （b） B=s eφ\bm{B}=s\,\bm{e}_\varphi の回転と、F=eφ/s\bm{F}=\bm{e}_\varphi/s の回転。後者は s>0s>0 で考える。

  4. 1.4-4 円柱座標の単位ベクトルは次のとおりである。

es=(cos⁡φ,sin⁡φ,0),eφ=(−sin⁡φ,cos⁡φ,0)\bm{e}_s=(\cos\varphi,\sin\varphi,0),\qquad \bm{e}_\varphi=(-\sin\varphi,\cos\varphi,0)

∂es∂φ\frac{\partial \bm{e}_s}{\partial \varphi} と ∂eφ∂φ\frac{\partial \bm{e}_\varphi}{\partial \varphi} を求めよ。それを使い、A=Ases\bm{A}=A_s\bm{e}_s の発散を直交座標の発散の定義から計算せよ。ただし AsA_s は ss だけの関数とする。結果が円柱座標の公式と一致することを示せ。

木下の勉強ステータス

木下はまだこの記事を勉強していません。

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この記事が含まれている連載

連載AI生成教科書『基礎理論』量子力学・統計熱力学・信号処理などの入門を、分野ごとに AI（Claude）が書き、木下が勉強しながら公開しています。上の段は AI が書いた本文、下の段は木下が勉強したあとに書いた文です。961本の記事・木下 智貴
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