この章のまとめ

電磁気学入門　第1章 §1.5

この章では、ベクトル場を調べるための微分と積分の道具をそろえた。勾配 $\nabla f$ はスカラー場がもっとも速く増える向きを指し、等値面に垂直である。発散 $\nabla\cdot\bm{A}$ は単位体積あたりの外への流出、回転 $\nabla\times\bm{A}$ は単位面積あたりの循環であり、この2つの意味は小さな直方体と小さな長方形についての計算 (1.5)、(1.9) から導かれた。この局所的な関係を領域全体で足し合わせたものが、Gauss の発散定理 (1.19) と Stokes の定理 (1.23) である。

第2章では、点電荷の場の発散が原点に集中していることを、$\nabla^2(1/r)=-4\pi\delta^{(3)}(\bm{r})$ という形で使う。そこで示すのは次の3つである。

1. この式と発散定理から、Coulomb の法則と Gauss の法則の微分形・積分形が互いに導けること。
2. 系 1.13 の積分が、電荷分布の作る電位を与えること。
3. Green の恒等式 (1.21) から、Poisson 方程式の解の一意性が出ること。

第3章では球座標のラプラシアンを変数分離して Legendre 多項式を導き、第5章では Helmholtz の分解の発散なしの部分としてベクトルポテンシャルを導入する。定理 1.14 と単連結でない領域の反例は、静電場がポテンシャルで書けることと、電流のまわりの磁場の循環が $0$ にならないことの違いに対応している。第8章では発散定理を Poynting ベクトルの流束に、第9章では恒等式 (1.16) を波動方程式の導出に使う。