Helmholtz の分解とデルタ関数

$1/r$ は原点で発散する。そこで $\varepsilon >0$ を使って $u_{\varepsilon }(\bm{r})=(r^2+\varepsilon ^2)^{-1/2}$ と滑らかにし、その極限として意味を与える。$x$ で微分すると

$$\frac{\partial u_{\varepsilon }}{\partial x}=-x(r^2+\varepsilon ^2)^{-3/2},\qquad \frac{\partial ^2u_{\varepsilon }}{\partial x^2}=-(r^2+\varepsilon ^2)^{-3/2}+3x^2(r^2+\varepsilon ^2)^{-5/2}$$

である。$y,z$ についても同様なので、3つを足して

$$\nabla^2u_{\varepsilon }=-3(r^2+\varepsilon ^2)^{-3/2}+3r^2(r^2+\varepsilon ^2)^{-5/2}=-\frac{3\varepsilon ^2}{(r^2+\varepsilon ^2)^{5/2}}\tag{1.30}$$

を得る。この関数には2つの性質がある。

第一に、$r\neq0$ を固定して $\varepsilon \to0$ とする。このとき (1.30) は $-3\varepsilon ^2/r^5\to0$ となり、例題 1.1 の結果と合う。

第二に、全空間での積分は $\varepsilon$ によらない。球殻に分けて $r=\varepsilon t$ と置換すると

$$\int\nabla^2u_{\varepsilon }\,\mathrm{d} V=-\int_0^\infty\frac{3\varepsilon ^2}{(r^2+\varepsilon ^2)^{5/2}}4\pi r^2\,\mathrm{d} r=-12\pi\int_0^\infty\frac{t^2}{(1+t^2)^{5/2}}\,\mathrm{d} t .$$

$t=\tan\alpha$ と置換すると

$$\mathrm{d} t=\frac{\mathrm{d}\alpha}{\cos^2\alpha},\qquad 1+t^2=\frac{1}{\cos^2\alpha}$$

なので、最後の積分は

$$\int_0^{\pi/2}\sin^2\alpha\cos\alpha\,\mathrm{d}\alpha=\frac13$$

となる。よって全空間での積分は $-4\pi$ である。

以上から、$\nabla^2u_{\varepsilon }$ は半径 $\varepsilon$ 程度の範囲に集中する関数の列である。その積分は $-4\pi$ である（図 1.3）。

連続な $f$ について、積分 $\int f\nabla^2u_{\varepsilon }\,\mathrm{d} V$ を2つの範囲に分けて評価する。

• $r>\varepsilon ^{1/2}$ の範囲：$\left\vert \nabla^2u_{\varepsilon }\right\vert \le3\varepsilon ^2/r^5$ を使う。$f$ が有界なら、寄与はその最大値の $\mathcal{O}(\varepsilon ^{1/2})$ 倍で抑えられる。
• $r\le\varepsilon ^{1/2}$ の範囲：$f(\bm{r})=f(\bm{0})+o(1)$ と置ける。

よって $\varepsilon \to0$ で $\int f\nabla^2u_{\varepsilon }\,\mathrm{d} V\to-4\pi f(\bm{0})$ となる。

第2の形は、例題 1.1 の $n=-1$ の場合 $\nabla(1/r)=-\bm{r}/r^3$ による。これから

$$\nabla\cdot\frac{\bm{r}}{r^3}=-\nabla^2\frac1r$$

となる。

ラプラシアンは $\bm{r}$ についての微分なので、積分の中へ入れられる。(1.29) をずらしたものを使うと

$$\nabla^2\phi=\frac{1}{4\pi}\int s(\bm{r}')\bigl(-4\pi\delta^{(3)}(\bm{r}-\bm{r}')\bigr)\mathrm{d} V'=-s(\bm{r})$$

となる。

3 $\Rightarrow$ 1 は (1.12) である。

1 $\Rightarrow$ 2：同じ端点を結ぶ2つの道 $C_1,C_2$ をとる。前者をたどってから後者を逆にたどる閉曲線を $C$ とする。領域が単連結なので、$C$ を縁とする曲面 $S$ を領域の中にとれる（入門の範囲では、この事実を認めて使う）。Stokes の定理から

$$\int_{C_1}\bm{F}\cdot\mathrm{d}\bm{r}-\int_{C_2}\bm{F}\cdot\mathrm{d}\bm{r}=\oint_C\bm{F}\cdot\mathrm{d}\bm{r}=\int_S(\nabla\times\bm{F})\cdot\mathrm{d}\bm{S}=0$$

である。

2 $\Rightarrow$ 3：基準点 $\bm{r}_0$ を1つ決め、

$$\phi(\bm{r})=-\int_{\bm{r}_0}^{\bm{r}}\bm{F}\cdot\mathrm{d}\bm{r}$$

と定める。2 より右辺は道筋によらないので、$\phi$ は矛盾なく定まる。

点 $\bm{r}$ から $x$ 方向へ少し進んだ点を考える。進んだ距離を $h$ とする。そこまでの道は、$\bm{r}$ までの道に線分を継ぎ足してとる。すると

$$\phi(\bm{r}+h\bm{e}_x)-\phi(\bm{r})=-\int_0^hF_x(x+t,y,z)\,\mathrm{d} t$$

である。これを $h$ で割って極限 $h\to0$ をとる。すると $\frac{\partial \phi}{\partial x}=-F_x$ を得る。$y,z$ 成分も同様で、$\bm{F}=-\nabla\phi$ となる。

$\varepsilon >0$ について $v=u+\varepsilon r^2$ とおくと

$$\nabla^2v=\nabla^2u+6\varepsilon =6\varepsilon >0$$

である。$v$ が内部の点で最大値をとったとすると、その点で1変数の最大の条件

$$\frac{\partial ^2v}{\partial x^2}\le0,\qquad \frac{\partial ^2v}{\partial y^2}\le0,\qquad \frac{\partial ^2v}{\partial z^2}\le0$$

が成り立つ。足すと $\nabla^2v\le0$ となって矛盾する。よって $v$ の最大値は境界でとられ、

$$\max_{\bar V}u\le\max_{\bar V}v=\max_{\partial V}v\le\max_{\partial V}u+\varepsilon \max_{\partial V}r^2$$

が成り立つ。$\varepsilon \to0$ とすれば $\max_{\bar V}u\le\max_{\partial V}u$ である。最小値は $-u$ に同じ議論を使えばよい。

存在：$\bm{G}=-\nabla\phi+\nabla\times\bm{A}$ とおく。系 1.13 より $\nabla^2\phi=-D$、成分ごとに $\nabla^2\bm{A}=-\bm{C}$ である。(1.13) を使うと

$$\nabla\cdot\bm{G}=-\nabla^2\phi+0=D$$

となる。回転は (1.12) と (1.16) から

$$\nabla\times\bm{G}=\nabla\times(\nabla\times\bm{A})=\nabla(\nabla\cdot\bm{A})-\nabla^2\bm{A}=\nabla(\nabla\cdot\bm{A})+\bm{C}$$

である。残りの $\nabla\cdot\bm{A}$ が 0 であることを示す。$\bm{r}'$ についての微分を $\nabla'$ と書くと

$$\nabla\frac{1}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }=-\nabla'\frac{1}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }$$

である。これに注意して、(1.14) と発散定理で部分積分すると

$$\nabla\cdot\bm{A}=\frac{1}{4\pi}\int\bm{C}(\bm{r}')\cdot\nabla\frac{1}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }\mathrm{d} V' =-\frac{1}{4\pi}\oint_{\infty}\frac{\bm{C}\cdot\mathrm{d}\bm{S}'}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }+\frac{1}{4\pi}\int\frac{\nabla'\cdot\bm{C}(\bm{r}')}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }\mathrm{d} V'$$

となる。$\bm{C}$ は遠方で 0 なので表面の項は消え、仮定 $\nabla\cdot\bm{C}=0$ から体積の項も消える。よって $\nabla\times\bm{G}=\bm{C}$ である。

$D,\bm{C}$ は有界な範囲に収まっている。そのため遠方で、ポテンシャル $\phi,\bm{A}$ は $1/r$ のように 0 に近づく。場 $\bm{G}$ は $1/r^2$ のように 0 に近づく。

一意性：(1.32) を満たす2つの場の差を $\bm{H}$ とする。差は $\nabla\cdot\bm{H}=0$、$\nabla\times\bm{H}=\bm{0}$ を満たす。よって (1.16) から

$$\nabla^2\bm{H}=\nabla(\nabla\cdot\bm{H})-\nabla\times(\nabla\times\bm{H})=\bm{0}$$

となり、各成分 $H_i$ は調和関数である。

半径 $R$ の球に補題 1.15 を使うと、球の内部の任意の点で $\left\vert H_i\right\vert \le\max_{r=R}\left\vert H_i\right\vert$ が成り立つ。$R\to\infty$ で右辺は 0 に近づくので $H_i=0$ である。