Gauss の法則

電磁気学入門　第2章 §2.2　★★★ 電場の流束と中の電荷を結ぶ法則。対称性があれば積分なしで電場が求まり、微分形は Maxwell 方程式の1本になる

点電荷の電場の流束

閉じた曲面 $S$ を考え、外向きの単位法線ベクトルを $\hat{\bm{n}}$ とする。面を貫く電場の流束を

$$\Phi_E=\oint_S\bm{E}\cdot\hat{\bm{n}}\,\mathrm{d} S$$

で定義する。まず原点に置いた点電荷 $q$ の電場 $\bm{E}=q\hat{\bm{r}}/(4\pi\varepsilon_0r^2)$ について流束を計算する。

球面の場合

原点を中心とする半径 $R$ の球面では、$\hat{\bm{n}}=\hat{\bm{r}}$ で、電場の大きさは面上で一定である。よって

$$\Phi_E=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0R^2}\cdot4\pi R^2=\frac{q}{\varepsilon_0}$$

となり、半径 $R$ によらない。電場が $1/r^2$ で減る割合と、球の面積が $r^2$ で増える割合がちょうど打ち消し合うからである。

一般の閉曲面の場合

面要素 $\mathrm{d} S$ が原点に対して張る立体角は

$$\mathrm{d}\Omega=\frac{\hat{\bm{r}}\cdot\hat{\bm{n}}\,\mathrm{d} S}{r^2}$$

である。点電荷の電場の流束の要素はこれを使って

$$\bm{E}\cdot\hat{\bm{n}}\,\mathrm{d} S=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\,\mathrm{d}\Omega$$

と書ける。原点が $S$ の内側にあれば、$S$ は原点のまわりの全方向をちょうど1回覆う。よって立体角の合計は $4\pi$ である。

原点が外側にあれば、原点から出る半直線は $S$ と偶数回交わる。入る所と出る所で $\mathrm{d}\Omega$ の符号が逆になるので、合計はゼロになる。したがって

$$\oint_S\bm{E}\cdot\hat{\bm{n}}\,\mathrm{d} S= \begin{cases}q/\varepsilon_0 & (\text{電荷が }S\text{ の内側})\\ 0 & (\text{電荷が }S\text{ の外側})\end{cases}\tag{2.6}$$

が成り立つ。

積分形と微分形

重ね合わせの原理により、電荷がいくつあっても、流束は各電荷の寄与の和になる。式 (2.6) から、外側の電荷は寄与せず、内側の電荷はそれぞれ $q_i/\varepsilon_0$ を寄与する。連続分布では $S$ が囲む領域 $V$ の電荷の総和を使って、次の定理を得る。

証明

上で示したことの言い換えである。

電場 (2.5) の流束を、源の各体積要素 $\rho(\bm{r}')\mathrm{d}^3r'$ ごとに計算する。要素が $V$ の中にあれば、(2.6) より流束 $\rho\,\mathrm{d}^3r'/\varepsilon_0$ を寄与する。外にあれば寄与はゼロである。これを源の座標について積分すれば (2.7) になる。

面積分と体積積分の順序の交換は、電荷分布が有界で、面の上に点電荷が乗っていなければ許される。

左辺に第1章 §1.2 の Gauss の発散定理 $\oint_S\bm{E}\cdot\hat{\bm{n}}\,\mathrm{d} S=\int_V\nabla\cdot\bm{E}\,\mathrm{d}^3r$ を使うと、

$$\int_V\Bigl(\nabla\cdot\bm{E}-\frac{\rho}{\varepsilon_0}\Bigr)\mathrm{d}^3r=0$$

がすべての領域 $V$ について成り立つ。

被積分関数が連続なら、どこかで正の値をとると、その点のまわりの小さな $V$ で積分が正になって矛盾する。よって被積分関数そのものがゼロでなければならない。

微分形は、立体角の議論を経ずに (2.5) から直接確かめることもできる。観測点 $\bm{r}$ についての発散を積分の中に入れる。

$$\nabla\cdot\frac{\bm{r}-\bm{r}'}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert ^3}=-\nabla^2\frac{1}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }=4\pi\,\delta^3(\bm{r}-\bm{r}')$$

を使う。最初の等号は $\nabla\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert ^{-1}=-(\bm{r}-\bm{r}')/\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert ^3$ によるもので、2つめの等号は (2.1) である。これを代入すると

$$\nabla\cdot\bm{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\rho(\bm{r}')\,4\pi\,\delta^3(\bm{r}-\bm{r}')\,\mathrm{d}^3r'=\frac{\rho(\bm{r})}{\varepsilon_0}$$

となる。点電荷の電場は原点以外では発散がゼロで、原点にだけデルタ関数の湧き出しを持つ。Gauss の法則の中身はこの事実である。

対称性からの計算

電荷分布の対称性から、電場の向きと「大きさが一定になる面」が先に分かる場合には、Gauss の法則だけで電場が求まる。典型は球対称・円柱対称（無限に長い）・平面対称（無限に広い）の3つである。手順は次のとおりである。

1. 電場の向きを決める：対称性の操作（回転・鏡映・平行移動）で分布が変わらないなら、電場もその操作で変わらない。これから電場の向きを絞り込む。
2. 閉曲面を選ぶ：電場が面に垂直で大きさが一定の部分と、面に平行（流束ゼロ）の部分だけからなる閉曲面を選ぶ。
3. 法則を適用する：流束は「電場の大きさ×面積」になるので、(2.7) から電場の大きさが代数的に求まる。

球対称の場合を例にとる。電荷密度が中心からの距離 $r$ だけの関数 $\rho(r)$ なら、中心を通る任意の軸のまわりの回転で分布は変わらない。この回転で電場の接線成分は向きを変えてしまうので、電場は動径方向 $E_r(r)\hat{\bm{r}}$ に限られる。半径 $r$ の球面に (2.7) を使うと

$$4\pi r^2E_r(r)=\frac{Q(r)}{\varepsilon_0},\qquad Q(r)=\int_0^r4\pi r'^2\rho(r')\,\mathrm{d} r'\tag{2.9}$$

となる。半径 $r$ より外の電荷は、$r$ での電場に寄与しない。とくに分布の外側では、全電荷が中心に集まった点電荷と同じ電場になる。

晴天時の地表付近には、鉛直下向きに約 $100$ V/m の電場がある。この電場から地球の全電荷を見積もる計算は、第1章の例題 1.3 で発散定理を使って行った。(2.9) を地球の半径 $R_{\mathrm E}=6.37\times10^6$ m の球面で使い、外向きの成分を $E_r=-100$ V/m とおくと、同じ結果が1行で出る。

$$Q=4\pi\varepsilon_0R_{\mathrm E}^2E_r\approx-4.5\times10^5\ \mathrm C$$

確認テスト

オリジナル

1. 2.2-1 一辺の長さ $L$ の立方体の中心に点電荷 $q$ を置く。立方体の1つの面を貫く電場の流束を、対称性を使って求めよ。
2. 2.2-2 平面 $\left\vert x\right\vert <d$ にはさまれた無限に広い板の中に、一様な電荷密度 $\rho_0$ の電荷がある。電場 $E_x(x)$ をすべての $x$ について求めよ。
3. 2.2-3 $z$ 軸上に線電荷密度 $\lambda$ の無限に長い直線電荷がある。それを囲む半径 $b$ の無限に長い円筒面には、単位長さあたり $-\lambda$ の電荷が一様に分布している。軸からの距離 $s$ の点の電場を、円筒の内側と外側に分けて求めよ。
4. 2.2-4 ある球対称な電荷分布の電場が、半径 $a$ の内側で $E_r=E_0(r/a)^2$ である。内側の電荷密度 $\rho(r)$ を求めよ。
5. 2.2-5 半径 $a$ の球殻に全電荷 $Q$ が一様に分布している。球殻の内部で電場がゼロになることを Gauss の法則で示せ。あわせて、議論のどこで球対称性を使ったかを述べよ。