電位と Poisson 方程式

電磁気学入門　第2章 §2.3　★★★ 静電場は回転がゼロで、スカラーの電位1つで書ける。電位は Poisson 方程式を満たし、境界条件を与えれば解はただ1つに決まる

電場の回転はゼロ

式 (2.5) の被積分関数の中の因子は、勾配の形に書き直せる。観測点 $\bm{r}$ について微分すると

$$\nabla\frac{1}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }=-\frac{\bm{r}-\bm{r}'}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert ^3}\tag{2.10}$$

である（$\bm{R}=\bm{r}-\bm{r}'$ と置くと $\partial_x(R^2)^{-1/2}=-\tfrac12(R^2)^{-3/2}\cdot2R_x$ になる）。勾配を積分の外へ出すと、電場は

$$\bm{E}(\bm{r})=-\nabla\phi(\bm{r}),\qquad \phi(\bm{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\rho(\bm{r}')}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }\,\mathrm{d}^3r'\tag{2.11}$$

と書ける。スカラー関数 $\phi$ を静電ポテンシャルまたは電位と呼ぶ。単位は V（$=$ J/C）である。勾配の回転は恒等的にゼロ（$\nabla\times\nabla\phi=\bm{0}$）なので、静電場について

$$\nabla\times\bm{E}=\bm{0}\tag{2.12}$$

が成り立つ。これは Gauss の法則と並ぶ静電場の基本方程式である。第7章で電磁誘導を扱うと、右辺は $-\partial\bm{B}/\partial t$ に変わる。

電位と仕事

第1章 §1.2 の Stokes の定理を (2.12) に使うと、任意の閉曲線 $C$ について $\oint_C\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=0$ が成り立つ。したがって、2点 $A,B$ を結ぶ線積分 $\int_A^B\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}$ は経路によらない。$\bm{E}=-\nabla\phi$ を使えば、その値は

$$\int_A^B\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=-\int_A^B\nabla\phi\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\phi(A)-\phi(B)\tag{2.13}$$

である。電荷 $q$ を2点のあいだでゆっくり運ぶ。電場の力に逆らって運ぶのに必要な仕事は

$$W_{A\to B}=-q\int_A^B\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=q\bigl[\phi(B)-\phi(A)\bigr]$$

となる。電位は「単位電荷あたりの位置エネルギー」である。

電位は定数を足しても同じ電場を与えるので、どこか1点を基準に選んで値を決める必要がある。電荷分布が有界なら、(2.11) の積分は無限遠でゼロになるように基準を選んだものに当たる。点電荷 $q$ の電位は

$$\phi(\bm{r})=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }$$

である。電荷分布が無限遠まで広がっている場合（無限に長い直線電荷など）は、無限遠を基準にすると積分が発散するので、有限の点を基準に選ぶ。

Poisson 方程式と Laplace 方程式

$\bm{E}=-\nabla\phi$ を Gauss の法則 (2.8) に代入すると

$$\nabla^2\phi=-\frac{\rho}{\varepsilon_0}\tag{2.14}$$

を得る。これを Poisson 方程式と呼び、電荷の無い領域での $\nabla^2\phi=0$ を Laplace 方程式と呼ぶ。(2.11) の積分が実際に (2.14) を満たすことは、(2.1) から直接確かめられる。

$$\nabla^2\phi=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\rho(\bm{r}')\,\nabla^2\frac{1}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }\,\mathrm{d}^3r' =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\rho(\bm{r}')\bigl(-4\pi\delta^3(\bm{r}-\bm{r}')\bigr)\mathrm{d}^3r'=-\frac{\rho(\bm{r})}{\varepsilon_0}.$$

電場の発散と回転についての2本の方程式が、スカラー $\phi$ についての1本の2階偏微分方程式にまとまった。これは第1章 §1.3 の Helmholtz の分解で、回転のない場はポテンシャルの勾配で書けることの具体例である。

境界条件

電荷が面の上に面密度 $\sigma$ で分布していると、電場は面をまたいで不連続になる。その跳びの大きさを、2つの基本方程式から求める（図 2.3）。面の上の1点で、面の法線 $\hat{\bm{n}}$ を領域1から領域2へ向けてとる。

法線成分

面をはさむ薄い円筒（底面積 $\Delta S$、高さ $h$）に Gauss の法則 (2.7) を使う。$h\to0$ で側面の流束は消え、上下の底面の流束と中の電荷 $\sigma\Delta S$ だけが残る。

$$(\bm{E}_2-\bm{E}_1)\cdot\hat{\bm{n}}\,\Delta S=\frac{\sigma\,\Delta S}{\varepsilon_0} \quad\Longrightarrow\quad E_{2n}-E_{1n}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}.$$

接線成分

面をまたぐ細長い長方形の閉曲線を考え、面に平行な辺の長さを $\Delta l$、それと垂直な辺の長さを $h$ とする。この閉曲線で $\oint\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=0$ を使う。$h\to0$ で面に垂直な辺の寄与は消える。面に平行な2辺の寄与は、接線方向の単位ベクトル $\hat{\bm{t}}$ を使って $(\bm{E}_2-\bm{E}_1)\cdot\hat{\bm{t}}\,\Delta l$ になる。これがゼロなので、$\hat{\bm{t}}$ が面内の任意の向きであることから

$$\bm{E}_{2t}=\bm{E}_{1t}$$

を得る。電場の接線成分は連続である。

電位

電位の差は $\phi_2-\phi_1=-\int_1^2\bm{E}\cdot\mathrm{d}\bm{l}$ で、経路の長さ $h\to0$ とともにゼロになる（電場は有限なので）。したがって面電荷があっても電位は連続であり、法線方向の微分だけが跳ぶ。

$$\phi_2=\phi_1,\qquad \frac{\partial\phi_2}{\partial n}-\frac{\partial\phi_1}{\partial n}=-\frac{\sigma}{\varepsilon_0}.\tag{2.16}$$

解の一意性

Poisson 方程式を有界な領域 $V$ で解くとき、境界 $S$ でどんな条件を与えれば解がただ1つに決まるかを考える。第3章では、この定理を使って「条件を満たす関数を1つ見つけたら、それが答えである」と結論する（鏡像法がその典型である）。

証明

同じ電荷密度と同じ境界条件を満たす解が2つ、$\phi_1$ と $\phi_2$ があったとする。差 $u=\phi_1-\phi_2$ は $V$ で

$$\nabla^2u=0$$

を満たす。境界 $S$ の各点では、$u$ とその法線微分のどちらかがゼロである。恒等式 $\nabla\cdot(u\nabla u)=\left\vert \nabla u\right\vert ^2+u\nabla^2u$ を $V$ で積分し、発散定理を使うと

$$\int_V\left\vert \nabla u\right\vert ^2\,\mathrm{d}^3r=\oint_Su\,\frac{\partial u}{\partial n}\,\mathrm{d} S-\int_Vu\,\nabla^2u\,\mathrm{d}^3r$$

となる。右辺の体積積分は $\nabla^2u=0$ により消える。面積分も、境界の各点で $u$ か法線微分がゼロなので消える。よって左辺の積分はゼロである。

被積分関数は非負の連続関数だから、$V$ 全体で $\nabla u=\bm{0}$ である。したがって $u$ は定数で、2つの解の電場は一致する。境界の一部でも Dirichlet 条件があれば、そこで $u=0$ なので定数はゼロになり、$\phi_1=\phi_2$ である。

確認テスト

オリジナル

1. 2.3-1 $k$ を定数として、次の2つのベクトル場を考える。

$$\bm{E}_1=k(y,-x,0),\qquad \bm{E}_2=k(y,x,0)$$

静電場になりうるのはどちらかを、回転を計算して判定せよ。また、そちらの電位を求めよ。2. 2.3-2 線電荷密度 $\lambda$ の無限に長い直線電荷の電位を、軸からの距離 $s_0$ の点を基準にして求めよ。また、無限遠を基準にできない理由を述べよ。3. 2.3-3 平面 $z=0$ に一様な面電荷密度 $\sigma$ がある。さらに外から一様な電場 $E_0\hat{\bm{z}}$ がかかっている。$z>0$ と $z<0$ の電場を求め、境界条件 (2.16) の法線成分の跳びを満たすことを確かめよ。4. 2.3-4 厚さ $d$ の無限に広い板の中に、一様な密度 $\rho_0$ の電荷がある。板の面を $z=0$ と $z=d$ にとる。境界条件 $\phi(0)=\phi(d)=0$ のもとで Poisson 方程式を解き、電位が最大になる位置とその値を求めよ。5. 2.3-5 定理 2.3 の証明で、境界の全体で Neumann 条件を与えたとき、2つの解の差がゼロとは限らず定数になる理由を説明せよ。また、そのとき与える Neumann 条件が満たすべき条件 $\oint_S(\partial\phi/\partial n)\,\mathrm{d} S=-Q_{\mathrm{in}}/\varepsilon_0$ を導け。