Coulomb の法則と重ね合わせ

電磁気学入門　第2章 §2.1　★★★ 点電荷どうしの力の法則と、それを足し合わせて任意の電荷分布の電場を積分で書く式

この章では、時間によらない電荷の分布が作る電場（静電場）を扱う。出発点は2つの点電荷のあいだに働く力を与える Coulomb の法則と、力が電荷ごとに足し合わされるという重ね合わせの原理の2つだけである。そこから、電場の発散を電荷密度に結びつける Gauss の法則、電場の回転がゼロであることと電位の存在、電位が満たす Poisson 方程式とその解の一意性、そして電荷を集めるのに要した仕事を電場のエネルギーとして読み直す式を、順に導く。

道具としては、第1章で用意したベクトル解析を使う。具体的には、§1.2 の Gauss の発散定理と Stokes の定理、§1.3 のデルタ関数の公式

$$\nabla^2\frac{1}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }=-4\pi\,\delta^3(\bm{r}-\bm{r}'),\tag{2.1}$$

そして §1.4 の球座標・円柱座標での発散とラプラシアンである。

この章で得る結果は、巻の残りのほとんどで使う。第3章（導体と境界値問題）は、この章の §2.3 で示す境界条件と一意性定理を用いて、鏡像法や変数分離で Poisson 方程式を解く。第4章（誘電体）は Gauss の法則を分極電荷を含む形に書き直し、第5章は静磁場について同じ形の議論を繰り返す。

第8章では、§2.4 の場のエネルギー密度 $\varepsilon_0E^2/2$ が、時間変化する場のエネルギー保存則の一部として現れる。単位は全編を通して SI で、真空の誘電率 $\varepsilon_0$ を式に残す。

Coulomb の法則

真空中の2つの点電荷のあいだに働く力について、C.-A. de Coulomb はねじれ秤の実験で次の法則を見いだした（1785年）。源となる電荷 $q'$ が位置 $\bm{r}'$ にあるとする。この電荷が、位置 $\bm{r}$ にある電荷 $q$ に及ぼす力は

$$\bm{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{qq'}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert ^2}\,\frac{\bm{r}-\bm{r}'}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert } =\frac{qq'}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\bm{r}-\bm{r}'}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert ^3}\tag{2.2}$$

である。この式は3つの事実を含んでいる。

1. 向き：力は2つの電荷を結ぶ直線に沿う。同符号なら $q'$ から遠ざかる向き（斥力）、異符号なら近づく向き（引力）になる。
2. 距離依存：大きさは距離の2乗に反比例する。
3. 比例：大きさは2つの電荷の積に比例する。

比例係数の $\varepsilon_0$ を真空の誘電率と呼び、その値は

$$\varepsilon_0=8.8541878\ldots\times10^{-12}\ \mathrm{F/m},\qquad \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}=8.98755\ldots\times10^{9}\ \mathrm{N\,m^2/C^2}$$

である。SI では電荷の単位クーロン（C）を電流の単位アンペアから定めるので、$\varepsilon_0$ は実験で決まる定数として式に残る。

式 (2.2) で2つの電荷の位置を入れ替えると、ベクトル $\bm{r}-\bm{r}'$ の符号だけが反転する。したがって逆向きの力は $-\bm{F}$ で、Coulomb 力は作用・反作用の法則を満たす。

電場

式 (2.2) は、力を受ける電荷 $q$ に比例している。そこで $q$ で割った量

$$\bm{E}(\bm{r})=\frac{q'}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\bm{r}-\bm{r}'}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert ^3}\tag{2.3}$$

を、電荷 $q'$ が位置 $\bm{r}$ に作る電場と定義する。電場を使うと、位置 $\bm{r}$ に置いた電荷 $q$ が受ける力は

$$\bm{F}=q\bm{E}(\bm{r})$$

と書ける。電場の単位は N/C で、これは V/m と同じである（§2.3 で電位を定義すると分かる）。

電場を定義する意味は、力を「源の電荷」と「受ける電荷」の2つの因子に分けられることにある。静電場の範囲では、電場は力を計算するための中間の量にすぎないように見える。しかし第8章で時間変化を許すと、電場はエネルギーと運動量を運ぶ独立した物理量として扱う必要が出てくる。この章の §2.4 で、その最初の手がかりとして静電エネルギーを電場の言葉で書き直す。

重ね合わせの原理

電荷が複数あるとき、ある電荷が受ける力は、ほかの電荷が1つずつ単独で及ぼす力のベクトル和になる。これを重ね合わせの原理と呼ぶ。Coulomb の法則と同じく実験事実であり、論理的に導くことはできない。真空中の古典電磁気学の範囲では、精密な実験で破れは見つかっていない。

電場の言葉でいうと、点電荷 $q_1,\dots,q_N$ が位置 $\bm{r}_1,\dots,\bm{r}_N$ にあるときの電場は

$$\bm{E}(\bm{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i=1}^N q_i\,\frac{\bm{r}-\bm{r}_i}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}_i\right\vert ^3}\tag{2.4}$$

である。電荷が連続的に分布しているときは、体積要素 $\mathrm{d}^3r'$ の中の電荷 $\rho(\bm{r}')\,\mathrm{d}^3r'$ を1つの点電荷とみなして和を積分に置き換える。

$$\bm{E}(\bm{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\rho(\bm{r}')\,\frac{\bm{r}-\bm{r}'}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert ^3}\,\mathrm{d}^3r'\tag{2.5}$$

ここで $\rho$ は電荷密度（単位 C/m$^3$）である。電荷が面に集中しているときは面電荷密度 $\sigma$（単位 C/m$^2$）を使う。線に集中しているときは線電荷密度 $\lambda$（単位 C/m）を使う。積分の中では次の置き換えを行う。

$$\rho\,\mathrm{d}^3r'\to\sigma\,\mathrm{d} S'\quad(\text{面}),\qquad \rho\,\mathrm{d}^3r'\to\lambda\,\mathrm{d} l'\quad(\text{線})$$

点電荷の集まりも、第1章 §1.3 のデルタ関数を使えば

$$\rho(\bm{r}')=\sum_i q_i\,\delta^3(\bm{r}'-\bm{r}_i)$$

と書けて、(2.5) に代入すると (2.4) に戻る。したがって (2.5) 1本ですべての場合を扱える。図 2.1 に、源の点と電場を測る点の位置関係を示す。

確認テスト

オリジナル

1. 2.1-1 式 (2.2) の $\bm{r}$ と $\bm{r}'$ を入れ替えると力がどう変わるかを書き、Coulomb 力が作用・反作用の法則を満たすことを1行で示せ。
2. 2.1-2 点 $(\pm a,0,0)$ に電荷 $q$ を1つずつ置く。$y$ 軸上の点 $(0,y,0)$ での電場を求めよ。また、電場の大きさが最大になる $\left\vert y\right\vert$ を求めよ。
3. 2.1-3 $z$ 軸に沿って無限に長い直線上に、線電荷密度 $\lambda$ の電荷が一様に分布している。軸からの距離 $s$ の点の電場を、式 (2.5) の積分を直接計算して求めよ。
4. 2.1-4 点 $(0,0,d/2)$ に電荷 $q$ を置く。$z$ 軸上の点 $z=-d/2$ には逆符号の電荷を置く。$z$ 軸上で $z>d/2$ の点の電場を求めよ。さらに、双極子モーメントを $p=qd$ と置き、$z\gg d$ で次の式が成り立つことを示せ。

$$E_z\approx\frac{2p}{4\pi\varepsilon_0z^3}$$