静電エネルギー

電磁気学入門　第2章 §2.4　★★★ 電荷を集めるのに要する仕事を、電荷の配置の式と、空間に分布する場のエネルギー密度 $\varepsilon_0E^2/2$ の2通りに書く

点電荷の配置のエネルギー

電荷を無限遠から1つずつ運んできて、決まった配置を作るのに必要な仕事を求める。運ぶ途中で運動エネルギーが生じないように、電荷はゆっくり運ぶとする。

1つめの電荷 $q_1$ を位置 $\bm{r}_1$ へ運ぶときは、ほかに電荷が無いので仕事はゼロである。2つめの電荷 $q_2$ は、$q_1$ の電位の中を無限遠から運ぶ。その仕事は

$$\frac{q_2\,q_1}{4\pi\varepsilon_0r_{12}},\qquad r_{ij}=\left\vert \bm{r}_i-\bm{r}_j\right\vert$$

である。3つめの電荷は、すでにある2つの電荷の電位の中を運ぶので、その仕事は

$$\frac{q_3}{4\pi\varepsilon_0}\Bigl(\frac{q_1}{r_{13}}+\frac{q_2}{r_{23}}\Bigr)$$

である。これを続けると、$N$ 個の電荷の配置を作る仕事の合計は

$$W=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i<j}\frac{q_iq_j}{r_{ij}} =\frac12\sum_{i=1}^N\sum_{j\ne i}\frac{q_iq_j}{4\pi\varepsilon_0r_{ij}}\tag{2.17}$$

となる。2つめの形では、組 $(i,j)$ を順序つきで2回数えるので $1/2$ を付けた。電荷を運ぶ順序を変えても、どの組も1回ずつ現れることに変わりはないので、結果は順序によらない。これは静電場が保存力の場であること（(2.13)）の帰結である。

ほかの電荷すべてが位置 $\bm{r}_i$ に作る電位を $\phi_i=\sum_{j\ne i}q_j/(4\pi\varepsilon_0r_{ij})$ と書くと、(2.17) は

$$W=\frac12\sum_{i=1}^Nq_i\phi_i\tag{2.18}$$

とまとまる。連続分布では和を積分に置き換えて

$$W=\frac12\int\rho(\bm{r})\,\phi(\bm{r})\,\mathrm{d}^3r\tag{2.19}$$

を得る。

場のエネルギー密度

(2.19) を電場だけで書き直す。Gauss の法則 $\rho=\varepsilon_0\nabla\cdot\bm{E}$ を代入し、恒等式 $\nabla\cdot(\phi\bm{E})=\phi\nabla\cdot\bm{E}+\bm{E}\cdot\nabla\phi$ を使う。

$$\begin{aligned}W&=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_V\phi\,\nabla\cdot\bm{E}\,\mathrm{d}^3r\\ &=\frac{\varepsilon_0}{2}\int_V\nabla\cdot(\phi\bm{E})\,\mathrm{d}^3r-\frac{\varepsilon_0}{2}\int_V\bm{E}\cdot\nabla\phi\,\mathrm{d}^3r\\ &=\frac{\varepsilon_0}{2}\oint_S\phi\,\bm{E}\cdot\hat{\bm{n}}\,\mathrm{d} S+\frac{\varepsilon_0}{2}\int_V\left\vert \bm{E}\right\vert ^2\,\mathrm{d}^3r \qquad(\text{発散定理と }\nabla\phi=-\bm{E}).\end{aligned}$$

ここで $V$ は電荷をすべて含む半径 $R$ の球とした。半径 $R$ を大きくしていくと、面積分は次の3つの因子で決まる。

• 面の上の電位：$1/R$ のように小さくなる。
• 電場：$1/R^2$ のように小さくなる。
• 面積：$R^2$ のように増える。

したがって面積分は $1/R$ のように減ってゼロになる。一方、体積積分は $V$ を広げるにつれて増えていき、全空間の積分に近づく。したがって

$$W=\int u\,\mathrm{d}^3r,\qquad u=\frac{\varepsilon_0}{2}\left\vert \bm{E}\right\vert ^2\tag{2.20}$$

を得る。$u$ を電場のエネルギー密度（単位 J/m$^3$）と呼ぶ。

2つの式 (2.19) と (2.20) は同じ量を表すが、エネルギーの在りかについて異なる見方を与える。前者では、エネルギーは電荷のある場所に付随している。後者では、電荷の無い真空も含めて電場のある所すべてにエネルギーが分布している。

静電場の範囲ではどちらの見方でも同じ数値が出るので、区別はできない。しかし第8章で電磁波を扱うと、電荷から遠く離れた真空をエネルギーが運ばれていくので、後者の見方が必要になる。

確認テスト

オリジナル

1. 2.4-1 一辺 $a$ の正三角形の3頂点に電荷 $q$ を1つずつ置く配置の静電エネルギーを求めよ。
2. 2.4-2 半径 $a$ の球面に全電荷 $Q$ が一様に分布している。静電エネルギーを場のエネルギー密度から求めよ。また、電荷を保ったまま半径を $a$ から $a/2$ に縮めるのに必要な仕事を求めよ。
3. 2.4-3 点電荷 $q$ の電場のエネルギーを、電荷を中心とする半径 $b$ の球の外側についてだけ積分して求めよ。$b\to0$ で何が起きるかを述べよ。
4. 2.4-4 2つの電荷分布 $\rho_1,\rho_2$ を考える。それぞれが単独で作る電位を $\phi_1,\phi_2$ とし、電場を $\bm{E}_1,\bm{E}_2$ とする。両者を重ねたときの静電エネルギーは $W=W_1+W_2+W_{12}$ と分かれることを示せ。ここで $W_1,W_2$ はそれぞれ単独のエネルギーで、相互作用のエネルギーは$W_{12}=\varepsilon_0\int\bm{E}_1\cdot\bm{E}_2\,\mathrm{d}^3r=\int\rho_1\phi_2\,\mathrm{d}^3r$である。