この章のまとめ

電磁気学入門　第2章 §2.5　★★★ 静電場の基本方程式は $\nabla\cdot\bm{E}=\rho/\varepsilon_0$ と $\nabla\times\bm{E}=\bm{0}$ の2本で、どちらも Coulomb の法則と重ね合わせから出る

この章は、Coulomb の法則 (2.2) と重ね合わせの原理という2つの実験事実から出発した。任意の電荷分布の電場は積分 (2.5) で書け、原理的にはこれですべての静電場が計算できる。しかしこの積分は対称性の高い場合を除いて計算しにくく、また境界のある問題にはそのままでは使えない。そこで、積分の式を微分方程式の形に書き直した。

書き直しの要点は、逆2乗の点電荷の場が原点以外で発散ゼロ・回転ゼロであり、原点にだけデルタ関数の湧き出しを持つことである。発散から Gauss の法則 (2.8) が、回転から電位の存在 (2.11) が出て、2つを合わせると Poisson 方程式 (2.14) になる。

積分形の Gauss の法則を使えば、球・円柱・平面の対称性がある分布の電場を積分なしで求めることができた。面電荷をまたぐと電場の法線成分が $\sigma/\varepsilon_0$ だけ跳び、接線成分と電位は連続である。一意性定理 2.3 により、領域の中の電荷と境界での電位（またはその法線微分）を与えれば電位はただ1つに決まる。

エネルギーについては、点電荷を1つずつ集める仕事 (2.17) から出発し、連続分布の式 (2.19) を経て、エネルギーを空間に分布する場のエネルギー密度 $u=\varepsilon_0E^2/2$ の積分 (2.20) として書き直した。一様な球の自己エネルギーを2通りで計算して一致を確かめ、点電荷の自己エネルギーが発散することも見た。

次の第3章では、電荷が自由に動ける導体を導入する。導体の内部では電場がゼロで、表面は等電位面になる。これを境界条件として Poisson 方程式・Laplace 方程式を解くのが境界値問題で、その解がただ1つであることを、この章の一意性定理が保証する。第4章では物質の分極を Gauss の法則に組み込み、第5章では静磁場について Gauss の法則と回転の式に当たる2本の方程式を導く。