電流と連続の式・Ohm の法則

電磁気学入門　第5章 §5.1　★★★ 電荷の保存を局所的な式 $\partial\rho/\partial t+\nabla\cdot\bm{J}=0$ に書き、導体の中の電流を $\bm{J}=\sigma_{\mathrm c}\bm{E}$ で電場に結びつける

第2章から第4章までは、止まっている電荷とそれが作る電場を扱った。この章では電荷が動いている場合に進む。ただし動き方は、どの点でも電流密度が時間によらない定常電流に限る。定常電流が作る場は時間によらず、静磁場と呼ばれる。

最初に、電荷の流れを電流密度 $\bm{J}$ で表し、電荷の保存を連続の式 $\partial\rho/\partial t+\nabla\cdot\bm{J}=0$ として書く。金属の中で電流と電場を結ぶ Ohm の法則も、電子の運動の簡単な模型から導く。次に、動いている電荷に働く力（Lorentz 力）によって磁束密度 $\bm{B}$ を定義し、電流の作る磁場を与える Biot–Savart の法則を述べる。この法則から、静電場の Gauss の法則と $\nabla\times\bm{E}=\bm{0}$ に対応する2本の方程式

$$\nabla\cdot\bm{B}=0,\qquad \nabla\times\bm{B}=\mu_0\bm{J}$$

を導く。後者を積分形にしたものが Ampère の法則である。

さらに、$\nabla\cdot\bm{B}=0$ から $\bm{B}=\nabla\times\bm{A}$ と書けることを使い、ベクトルポテンシャルを導入する。その選び方に残る自由度（ゲージ）も調べる。最後に、小さな電流ループが遠方に作る場を展開し、磁気双極子の場と、磁気双極子が磁場から受けるトルク・力を求める。

前の章から使う結果は次のとおりである。第1章 §1.2 の発散定理と Stokes の定理、§1.3 のデルタ関数の公式と Helmholtz の定理、§1.4 の円柱座標での発散と回転を使う。第2章からは、点電荷の電場の形と Poisson 方程式の解

$$\nabla^2u=-f\quad\Longrightarrow\quad u(\bm{r})=\frac{1}{4\pi}\int\frac{f(\bm{r}')}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }\,\mathrm{d} V'\tag{5.1}$$

（$f$ が有界な範囲に収まり、$u$ が遠方で 0 になる場合）を借りる。その根拠である次の公式も使う。

$$\nabla^2\frac{1}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }=-4\pi\delta^3(\bm{r}-\bm{r}') .$$

第3章 §3.5 の電気双極子の電場は、§5.5 の磁気双極子の場と比べるときに使う。

この章の結果は、残りの章で繰り返し使う。第6章（磁性体）は物質の中の小さな電流ループを §5.5 の磁気双極子の集まりとみなし、磁化と磁場 $\bm{H}$ を導入する。第7章（電磁誘導）は、ループを貫く磁束 $\int\bm{B}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=\oint\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}$ の時間変化を扱う。第8章は $\nabla\times\bm{B}=\mu_0\bm{J}$ に変位電流を足して Maxwell 方程式を完成させ、§5.4 のゲージの議論を時間変化する場へ広げる。

電流と電流密度

ある面を単位時間に通過する電荷を、その面を通る電流と呼び、$I$ と書く。単位はアンペア（$\mathrm A=\mathrm{C/s}$）である。電流が空間にどう分布しているかを表すには、各点での流れの向きと強さを持つベクトルが要る。

電荷 $q$ を持つ粒子が数密度 $n$ で分布しているとする。粒子は平均速度 $\bm{v}$ で動いている。単位法線 $\bm{n}$ の面 $\Delta S$ を考える。時間 $\Delta t$ にこの面を通過するのは、この面を底面とし、斜めの高さが $\bm{v}\Delta t$ の柱の中にあった粒子である。その数は

$$n\,(\bm{v}\cdot\bm{n})\,\Delta t\,\Delta S$$

である。したがって

$$\bm{J}=nq\bm{v}=\rho\bm{v}\tag{5.2}$$

が成り立つ（$\rho=nq$ は電荷密度）。粒子の種類が複数あるときは、種類ごとの $n_aq_a\bm{v}_a$ を足す。

面 $S$ を通る電流は、面の各部分を通る電流を足したもので、

$$I=\int_S\bm{J}\cdot\mathrm{d}\bm{S}\tag{5.3}$$

と書ける。電流は電流密度の流束である。

電流が細い導線に沿って流れる場合は、導線の断面を通る電流 $I$ だけで流れが決まる。断面積を $A$、電流の向きの線素を $\mathrm{d}\bm{l}$ とする。導線に沿った長さ $\mathrm{d} l$ の部分では

$$\bm{J}\,\mathrm{d} V=\bm{J}\,(A\,\mathrm{d} l)=I\,\mathrm{d}\bm{l}$$

となる。

電流が厚さの無視できる面に沿って流れる場合は、面の上で流れに垂直な単位長さの線分を単位時間に横切る電荷を面電流密度 $\bm{K}$（単位 $\mathrm{A/m}$）と呼ぶ。このときは $\bm{J}\,\mathrm{d} V$ を $\bm{K}\,\mathrm{d} S$ に置き換える。この章の積分の式は $\bm{J}\,\mathrm{d} V$ で書くので、次のように読み替えてよい。

• 導線なら $I\,\mathrm{d}\bm{l}$ に読み替える。
• 面電流なら $\bm{K}\,\mathrm{d} S$ に読み替える。

電荷の保存と連続の式

電荷は生まれも消えもしない。この事実を式にする。空間に固定した領域 $V$ をとると、その中の電荷が減る速さは、境界 $\partial V$ から外へ出ていく電流に等しい。

$$-\frac{d }{d t}\int_V\rho\,\mathrm{d} V=\oint_{\partial V}\bm{J}\cdot\mathrm{d}\bm{S} .$$

領域は時間によらないので左辺の微分は積分の中に入れてよく、右辺には第1章の発散定理を使える。

$$\int_V\Bigl(\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\bm{J}\Bigr)\mathrm{d} V=0 .$$

この等式は任意の領域 $V$ について成り立つ。被積分関数が連続で、ある点で正なら、その点のまわりの小さな球で積分は正になってしまう。負の場合も同じなので、被積分関数はいたるところで 0 である。

定常電流の条件 (5.5) を、導線がつながる点を囲む小さな閉曲面に当てはめると、その点に流れ込む電流の和と流れ出す電流の和が等しいというKirchhoff の電流則になる。また、閉曲面の内側に電荷がたまり続けることはないので、定常電流は必ず閉じた回路を回るか、無限遠から来て無限遠へ去る。

Ohm の法則と Drude の模型

金属の両端に電位差をかけると電流が流れ、多くの物質では、電場がそれほど強くない範囲で電流密度が電場に比例する。

$$\bm{J}=\sigma_{\mathrm c}\bm{E} .\tag{5.6}$$

これを Ohm の法則（局所形）と呼び、比例係数 $\sigma_{\mathrm c}$ を電気伝導率と呼ぶ。単位は $\mathrm{S/m}$（$\mathrm S=\mathrm{A/V}$）である。添字 c は、第3章の表面電荷密度 $\sigma$ と区別するために付ける。逆数 $1/\sigma_{\mathrm c}$ を抵抗率と呼ぶ。

比例関係が生じる理由を、P. Drude の模型（1900年）で説明する。金属の中には、原子から離れて動き回れる電子（伝導電子）が数密度 $n$ で存在する。

1個の電子の電荷を $q=-e$、質量を $m_{\mathrm e}$ とする。電子は電場 $\bm{E}$ の中で加速される。しかし格子の振動や不純物に衝突して、平均して時間 $\tau$ ごとに向きをばらばらにされる。この衝突による減速を、速度に比例する抵抗の力 $-m_{\mathrm e}\bm{v}/\tau$ で置き換えると、平均速度 $\bm{v}$ の運動方程式は

$$m_{\mathrm e}\frac{d \bm{v}}{d t}=q\bm{E}-\frac{m_{\mathrm e}}{\tau}\bm{v}\tag{5.7}$$

になる。定常状態では左辺が 0 になるので、平均速度（ドリフト速度）は

$$\bm{v}_{\mathrm d}=\frac{q\tau}{m_{\mathrm e}}\bm{E}$$

である。電流密度は (5.2) より

$$\bm{J}=nq\bm{v}_{\mathrm d}=\frac{nq^2\tau}{m_{\mathrm e}}\bm{E},\qquad \sigma_{\mathrm c}=\frac{nq^2\tau}{m_{\mathrm e}}=\frac{ne^2\tau}{m_{\mathrm e}}\tag{5.8}$$

となる。$q^2=e^2$ なので、伝導率は電荷の符号によらず正である。電子は電場と逆向きに動くが、負の電荷が逆向きに動くので、電流は電場の向きに流れる。

(5.7) は、電場をかけてから定常状態に達するまでに時間 $\tau$ 程度かかることも示している。初期速度 0 から解くと $\bm{v}(t)=\bm{v}_{\mathrm d}(1-\mathrm{e}^{-t/\tau})$ である。金属の $\tau$ は $10^{-14}\,\mathrm s$ 程度（例題 5.1）なので、日常の時間の尺度では電流は電場に瞬時に追随する。

抵抗と Joule 熱

断面積 $A$、長さ $L$ の一様な導線を考える。その両端に電位差 $V$ をかける。導線の中の電場は一様で、大きさは $E=V/L$ である。電流は

$$I=JA=\frac{\sigma_{\mathrm c}AV}{L}$$

である。したがって $V=RI$ が成り立ち、

$$R=\frac{L}{\sigma_{\mathrm c}A}\tag{5.9}$$

が導線の抵抗である。単位はオーム（$\Omega=\mathrm{V/A}$）である。

電場は動いている電荷に仕事をする。電荷 $q$ の粒子が受ける力は $q\bm{E}$ である。その仕事率は $q\bm{E}\cdot\bm{v}$ なので、単位体積あたりでは

$$p=nq\bm{v}\cdot\bm{E}=\bm{J}\cdot\bm{E}\tag{5.10}$$

になる。定常状態では電子の運動エネルギーは増えないので、この仕事は衝突を通じて格子の振動、つまり熱に変わる。これを Joule 熱と呼ぶ。

Ohm の法則のもとでは $p=\sigma_{\mathrm c}E^2\ge0$ である。一様な導線全体では

$$pAL=\frac{I}{A}\cdot\frac{V}{L}\cdot AL=IV=RI^2$$

になる。

導体の中の定常電流

一様な伝導率 $\sigma_{\mathrm c}$ の導体の中を定常電流が流れているとする。(5.5) と (5.6) から $\nabla\cdot\bm{E}=0$ となる。第2章の Gauss の法則と合わせると $\rho=\varepsilon_0\nabla\cdot\bm{E}=0$ である。一様な導体の内部には電荷がたまらず、電荷は表面や伝導率の変わる所にだけ現れる。

定常な電場は $\nabla\times\bm{E}=\bm{0}$ を満たすので $\bm{E}=-\nabla\phi$ と書ける。電位は導体の内部で Laplace 方程式

$$\nabla^2\phi=0$$

を満たす。境界条件は2種類ある。

• 電極（伝導率がはるかに大きい導体）につながる面では、電位が与えられる。
• 絶縁体に接する面では、電流が外へ出られないので $J_n=0$、つまり $\partial\phi/\partial n=0$ である。

この混合した境界条件のもとでも、電位はただ1つに決まる。論法は第2章 §2.3 の一意性定理と同じで、2つの解の差 $u$ について

$$\int\left\vert \nabla u\right\vert ^2\,\mathrm{d} V=\oint u\,\frac{\partial u}{\partial n}\,\mathrm{d} S=0$$

となることを使う。

伝導率の異なる2つの導体（領域1の $\sigma_{\mathrm c1}$、領域2の $\sigma_{\mathrm c2}$）が接する面では、次の2つの条件が成り立つ。

• 面を挟む薄い円筒に $\nabla\cdot\bm{J}=0$ を積分すると、電流密度の法線成分が連続になる（$J_{1n}=J_{2n}$）。
• 面を挟む細い長方形に $\nabla\times\bm{E}=\bm{0}$ を積分すると、電場の接線成分が連続になる。

電場の法線成分は、両側で

$$E_{1n}=\frac{J_n}{\sigma_{\mathrm c1}},\qquad E_{2n}=\frac{J_n}{\sigma_{\mathrm c2}}$$

と異なる。そこで第2章の境界条件から、境界面には

$$\sigma=\varepsilon_0(E_{2n}-E_{1n})=\varepsilon_0J_n\Bigl(\frac{1}{\sigma_{\mathrm c2}}-\frac{1}{\sigma_{\mathrm c1}}\Bigr)\tag{5.11}$$

の面電荷が現れる（法線は領域1から2へ向け、$J_n$ もその向きの成分）。電流の流れを曲げたり強めたりする電場は、この面電荷と電極の電荷が作っている。

確認テスト

オリジナル

1. 5.1-1 電気伝導率 $\sigma_{\mathrm c}$ の単位が $\mathrm{S/m}=\mathrm{A/(V\cdot m)}$ であることを Ohm の法則 (5.6) から確かめよ。また、$\varepsilon_0/\sigma_{\mathrm c}$ の単位が秒になることを示せ。
2. 5.1-2 同軸ケーブルの内導体の半径を $a$、外導体の内半径を $b$ とする。ケーブルの長さは $L$ である。導体のあいだは、伝導率 $\sigma_{\mathrm c}$ のわずかに電流を通す絶縁物で満たされている。

導体間の抵抗（漏れ抵抗）$R$ を求めよ。また、次の値のときの $R$ を求めよ。

$$a=1.0\,\mathrm{mm},\quad b=4.0\,\mathrm{mm},\quad L=1.0\,\mathrm m,\quad \sigma_{\mathrm c}=1.0\times10^{-12}\,\mathrm{S/m}.$$ 3. 5.1-3 面積 $S$ の2枚の電極板のあいだに、2つの層を重ねて挟む。電極1の側の層は厚さ $d_1$、伝導率 $\sigma_{\mathrm c1}$ である。電極2の側の層は厚さ $d_2$、伝導率 $\sigma_{\mathrm c2}$ である。電極1を電位 $V$、電極2を電位 0 にする。電流 $I$ と、2つの層の境界面に現れる面電荷密度 $\sigma$ を求めよ。端の効果は無視する。4. 5.1-4 一様な伝導率 $\sigma_{\mathrm c}$ の物質の中に、2つの電極（形は任意）を置く。そのあいだの抵抗を $R$、物質を取り除いたときの容量を $C$ とする。$RC=\varepsilon_0/\sigma_{\mathrm c}$ を示せ。