磁気双極子

電磁気学入門　第5章 §5.5　★★ 小さな電流ループの遠方の場は磁気モーメント $\bm{\mu}$ だけで決まり、電気双極子と同じ形になる。磁性体と原子の磁性の出発点

遠方でのベクトルポテンシャルの展開

第3章 §3.5 では、有界な範囲にある電荷分布の電位を $1/\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert$ の展開から多重極に分けた。ベクトルポテンシャルにも同じ展開を使う。

原点の近くにある細い閉じた導線に、電流 $I$ が流れているとする。観測点 $\bm{r}$ は、導線上の点 $\bm{r}'$ に比べて十分遠いとする。つまり $r\gg r'$ である。展開

$$\frac{1}{\left\vert \bm{r}-\bm{r}'\right\vert }=\frac1r+\frac{\hat{\bm{r}}\cdot\bm{r}'}{r^2}+\mathcal{O}\Bigl(\frac{r'^2}{r^3}\Bigr)$$

（$\hat{\bm{r}}=\bm{r}/r$）を (5.21) の線電流の形に入れると

$$\bm{A}(\bm{r})=\frac{\mu_0I}{4\pi}\Bigl[\frac1r\oint\mathrm{d}\bm{l}'+\frac{1}{r^2}\oint(\hat{\bm{r}}\cdot\bm{r}')\,\mathrm{d}\bm{l}'+\cdots\Bigr]\tag{5.35}$$

となる。第1項の $\oint\mathrm{d}\bm{l}'$ は閉曲線を1周したときの変位なので $\bm{0}$ である。電位の展開で全電荷に当たる「磁荷」の項は現れない。第2項を計算するために、次の補題を用意する。

証明

任意の定ベクトル $\bm{c}$ との内積をとる。Stokes の定理を $f\bm{c}$ に使い、$\nabla\times(f\bm{c})=\nabla f\times\bm{c}$ を使うと

$$\bm{c}\cdot\oint_Cf\,\mathrm{d}\bm{l}=\oint_C(f\bm{c})\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\int_S(\nabla f\times\bm{c})\cdot\mathrm{d}\bm{S}=\bm{c}\cdot\int_S\mathrm{d}\bm{S}\times\nabla f$$

となる（最後はスカラー三重積の巡回）。$\bm{c}$ は任意なので (5.36) を得る。$f=\bm{c}\cdot\bm{r}$ なら $\nabla f=\bm{c}$ である。このとき右辺は $\bm{a}\times\bm{c}$ になる。

(5.37) を示す。$\bm{c}\cdot(\bm{r}\times\mathrm{d}\bm{l})=(\bm{c}\times\bm{r})\cdot\mathrm{d}\bm{l}$ に Stokes の定理を使う。さらに $\nabla\times(\bm{c}\times\bm{r})=2\bm{c}$（一様な磁場の例と同じ計算）を使うと

$$\bm{c}\cdot\oint\bm{r}\times\mathrm{d}\bm{l}=\int2\bm{c}\cdot\mathrm{d}\bm{S}=2\bm{c}\cdot\bm{a}$$

である。平面の閉曲線では面 $S$ を平面の中にとれば、$\mathrm{d}\bm{S}$ はすべて同じ法線を向くので最後の主張が従う。

補題を $\bm{c}=\hat{\bm{r}}$ として (5.35) の第2項に使うと、$\oint(\hat{\bm{r}}\cdot\bm{r}')\,\mathrm{d}\bm{l}'=\bm{a}\times\hat{\bm{r}}$ なので、次の定義と定理を得る。

証明

(5.35) の第2項に補題を使うと $\bm{A}=\frac{\mu_0I}{4\pi r^2}\bm{a}\times\hat{\bm{r}}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\bm{\mu}\times\hat{\bm{r}}}{r^2}$ である。磁場を計算するため $\bm{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\bm{\mu}\times\bm{g}$、$\bm{g}=\bm{r}/r^3$ と書く。$\bm{\mu}$ は定ベクトルなので、恒等式$\nabla\times(\bm{\mu}\times\bm{g})=\bm{\mu}(\nabla\cdot\bm{g})-(\bm{\mu}\cdot\nabla)\bm{g}$ が使える。$r\neq0$ では $\nabla\cdot(\bm{r}/r^3)=0$ で、

$$(\bm{\mu}\cdot\nabla)\frac{\bm{r}}{r^3}=\frac{(\bm{\mu}\cdot\nabla)\bm{r}}{r^3}+\bm{r}\,(\bm{\mu}\cdot\nabla)r^{-3}=\frac{\bm{\mu}}{r^3}-\frac{3(\bm{\mu}\cdot\bm{r})\bm{r}}{r^5}$$

（$(\bm{\mu}\cdot\nabla)\bm{r}=\bm{\mu}$、$\nabla r^{-3}=-3\bm{r}/r^5$）。したがって

$$\bm{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\Bigl(\frac{3(\bm{\mu}\cdot\bm{r})\bm{r}}{r^5}-\frac{\bm{\mu}}{r^3}\Bigr)$$

で、(5.40) を得る。

磁気双極子の場 (5.40) は、第3章 §3.5 の電気双極子の電場

$$\bm{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{3(\bm{p}\cdot\hat{\bm{r}})\hat{\bm{r}}-\bm{p}}{r^3}$$

で $\bm{p}/\varepsilon_0$ を $\mu_0\bm{\mu}$ に置き換えたものと同じ形をしている。$\bm{\mu}=\mu\hat{\bm{z}}$ とすると、極座標の成分は

$$B_r=\frac{\mu_0\mu}{4\pi}\frac{2\cos\theta}{r^3},\qquad B_\theta=\frac{\mu_0\mu}{4\pi}\frac{\sin\theta}{r^3}$$

である。磁力線の方程式は

$$\frac{\mathrm{d} r}{r\,\mathrm{d}\theta}=\frac{B_r}{B_\theta}=2\cot\theta$$

で、これを解くと $r=C\sin^2\theta$ の形の曲線になる（図 5.3）。

軸上の円電流の場 (5.20) で確かめる。磁気モーメントは $\bm{\mu}=I\pi a^2\hat{\bm{z}}$ で、軸上の正の側では $\hat{\bm{r}}=\hat{\bm{z}}$ である。したがって (5.40) は

$$\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{2I\pi a^2}{z^3}\hat{\bm{z}}=\frac{\mu_0Ia^2}{2z^3}\hat{\bm{z}}$$

となり、(5.20) の $z\gg a$ の極限と一致する。

磁場の中の磁気双極子：トルク・エネルギー・力

磁気双極子が外部の磁場 $\bm{B}$ から受ける作用を求める。一様な磁場の中では、ループが受ける力の合計は $\bm{0}$ である（確認テスト 5.2-4）。しかしトルクは 0 にならない。

証明

線素 $\mathrm{d}\bm{l}$ が受ける力は $I\,\mathrm{d}\bm{l}\times\bm{B}$ である。そのモーメントは $\bm{r}\times(I\,\mathrm{d}\bm{l}\times\bm{B})$ である。ベクトル三重積の公式から

$$\bm{r}\times(\mathrm{d}\bm{l}\times\bm{B})=\mathrm{d}\bm{l}\,(\bm{r}\cdot\bm{B})-\bm{B}\,(\bm{r}\cdot\mathrm{d}\bm{l})$$

となる。第2項の $\bm{r}\cdot\mathrm{d}\bm{l}=\mathrm{d}(r^2/2)$ は全微分なので、閉曲線を1周すると 0 になる。第1項は補題 5.12 で $\bm{c}=\bm{B}$ とおいたものなので

$$\bm{N}=I\oint(\bm{B}\cdot\bm{r})\,\mathrm{d}\bm{l}=I\,\bm{a}\times\bm{B}=\bm{\mu}\times\bm{B}$$

を得る。トルクの大きさは $\mu B\sin\theta$ である。向きは角を減らす向き、つまり $\bm{\mu}$ を $\bm{B}$ にそろえる向きである。

角を $\mathrm{d}\theta$ だけ増やすのに外から加える仕事は $\mu B\sin\theta\,\mathrm{d}\theta$ である。したがって、定数を除いて

$$U(\theta)=\int\mu B\sin\theta\,\mathrm{d}\theta=-\mu B\cos\theta$$

である。

磁場が場所によって変わる場合は、トルクに加えて力が働く。

証明

ループの中心を原点にとり、$\bm{B}(\bm{r})\simeq\bm{B}(\bm{0})+(\bm{r}\cdot\nabla)\bm{B}$ と1次まで展開する。一様な部分の力の合計は $\bm{0}$ なので、成分で書くと（同じ添字について和をとる）

$$F_i=I\oint\epsilon_{ijk}\,\mathrm{d} l_j\,r_l\,\partial_lB_k=I\epsilon_{ijk}\,\partial_lB_k\oint r_l\,\mathrm{d} l_j$$

である（$\partial_lB_k$ は原点での値で定数）。補題 5.12 で $\bm{c}=\hat{\bm{e}}_l$ とおくと $\oint r_l\,\mathrm{d}\bm{l}=\bm{a}\times\hat{\bm{e}}_l$ となる。その $j$ 成分は $\epsilon_{jml}a_m$ である。第1章の公式

$$\epsilon_{ijk}\epsilon_{jml}=\epsilon_{jki}\epsilon_{jml}=\delta_{km}\delta_{il}-\delta_{kl}\delta_{im}$$

を使うと

$$F_i=Ia_m\,\partial_lB_k\,(\delta_{km}\delta_{il}-\delta_{kl}\delta_{im})=\mu_k\,\partial_iB_k-\mu_i\,\partial_kB_k .$$

第2項は $\nabla\cdot\bm{B}=0$ により 0 で、第1項は $\partial_i(\bm{\mu}\cdot\bm{B})$ である。

(5.43) は $\bm{F}=-\nabla U$ と $U=-\bm{\mu}\cdot\bm{B}$ が一致することを示している。磁気モーメントが磁場と同じ向きにそろった双極子は、磁場の強い所へ引き寄せられる。Stern と Gerlach の実験（1922年）は、非一様な磁場で銀原子のビームを曲げ、原子の磁気モーメントの成分がとびとびの値しかとらないことを示した。

磁気モーメントと角運動量

電荷 $q$、質量 $m$ の粒子を考える。この粒子が半径 $r$ の円軌道を速さ $v$ で回っているとする。1周の時間は $2\pi r/v$ なので、軌道を流れる電流は $I=qv/(2\pi r)$ である。磁気モーメントの大きさは

$$\mu=I\pi r^2=\frac{qvr}{2}$$

である。軌道の角運動量 $\bm{L}=m\bm{r}\times\bm{v}$ の大きさは $mvr$ である。向きは、電荷が正なら磁気モーメントと同じなので

$$\bm{\mu}=\frac{q}{2m}\bm{L}\tag{5.44}$$

が成り立つ。比 $q/(2m)$ を磁気回転比と呼ぶ。電子（$q=-e$）では磁気モーメントは角運動量と逆向きである。量子力学では軌道角運動量は $\hbar$ を単位とするので、電子の軌道運動の磁気モーメントの自然な単位は

$$\mu_{\mathrm B}=\frac{e\hbar}{2m_{\mathrm e}}=9.274\times10^{-24}\,\mathrm{J/T}\tag{5.45}$$

になる。これを Bohr 磁子と呼ぶ。電子のスピンも磁気モーメントを持つが、その大きさは (5.44) の約2倍（$g$ 因子 $\simeq2$）で、古典的な電流ループの模型では説明できない。第6章では、物質中の原子が持つこれらの磁気モーメントの集まりとして磁化を扱う。

確認テスト

オリジナル

1. 5.5-1 磁気モーメントの単位 $\mathrm{A\cdot m^2}$ が $\mathrm{J/T}$ と同じであることを確かめよ。エネルギーの式 $U=-\bm{\mu}\cdot\bm{B}$ と Lorentz 力の式を使え。
2. 5.5-2 水素原子の Bohr 模型で、電子が半径 $a_0=5.29\times10^{-11}\,\mathrm m$ の円軌道を速さ $v=2.19\times10^{6}\,\mathrm{m/s}$ で回っている。軌道の磁気モーメントの大きさを求め、Bohr 磁子 (5.45) と比べよ。また、角運動量 $m_{\mathrm e}va_0$ が $\hbar=1.055\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}$ にほぼ等しいことを確かめよ。2つの結果の関係を (5.44) で説明せよ。
3. 5.5-3 円電流の軸上の磁場 (5.20) を $a/z$ について展開し、次の式を示せ。

$$B_z=\frac{\mu_0Ia^2}{2z^3}\Bigl[1-\frac32\Bigl(\frac az\Bigr)^2+\mathcal{O}\Bigl(\Bigl(\frac az\Bigr)^4\Bigr)\Bigr]$$

$z=5a$ で、双極子の近似 (5.40) は正確な値を何パーセント上回るか。4. 5.5-4 $xy$ 平面に長方形のループがある。$x$ 方向の辺の長さは $a$ である。$y$ 方向の辺の長さは $b$ である。ループには電流 $I$ が、$+z$ から見て反時計回りに流れている。一様な磁場 $\bm{B}=B\hat{\bm{x}}$ の中で、4つの辺に働く力を求めよ。ループの中心のまわりのトルクを直接計算し、$\bm{\mu}\times\bm{B}$ に等しいことを確かめよ。5. 5.5-5 磁気モーメントの大きさが $\mu_1=\mu_2=1.0\,\mathrm{A\cdot m^2}$ の2つの小さな磁石がある。モーメントを同じ向きにそろえ、共通の軸の上に距離 $z$ だけ離して置く。相互作用のエネルギー $U(z)$ と力を求め、$z=5.0\,\mathrm{cm}$ での力の大きさを求めよ。引力か斥力かも答えよ。