この章のまとめ

電磁気学入門　第5章 §5.6

電荷の流れは電流密度 $\bm{J}=\rho\bm{v}$ で表し、電荷の保存は連続の式 $\partial\rho/\partial t+\nabla\cdot\bm{J}=0$ になる（定理 5.2）。定常電流では $\nabla\cdot\bm{J}=0$ で、電流は閉じた回路を回る。導体の中の電流は、Drude の模型が示すように電子が衝突を繰り返しながら電場に流されることで生じ、$\bm{J}=\sigma_{\mathrm c}\bm{E}$、$\sigma_{\mathrm c}=ne^2\tau/m_{\mathrm e}$ と書ける。一様な導体の内部には電荷がたまらず、電位は Laplace 方程式を満たすので、抵抗の計算は第3章の容量の計算と同じ形の境界値問題になり、両者は $RC=\varepsilon_0/\sigma_{\mathrm c}$ で結ばれる。

動く電荷は Lorentz 力 $q(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B})$ を受け、この力で磁束密度 $\bm{B}$ を定義した。磁気的な力は速度に垂直で仕事をしないので、一様な磁場の中で荷電粒子は角振動数 $\left\vert q\right\vert B/m$ で回る。電流が作る磁場は Biot–Savart の法則（定理 5.5）で与えられ、直線電流では $\mu_0I/(2\pi s)$、円電流の軸上では$\mu_0Ia^2/[2(a^2+z^2)^{3/2}]$ になる。

Biot–Savart の積分は $\bm{B}=\nabla\times\bm{A}$ の形に書き直せる。そこから2本の方程式

$$\nabla\cdot\bm{B}=0,\qquad \nabla\times\bm{B}=\mu_0\bm{J}$$

が従う（定理 5.6）。静電場が湧き出しを持ち渦を持たないのに対して、静磁場は渦を持ち湧き出しを持たない。積分形の Ampère の法則を使うと、対称性の高い配置（太い導線・ソレノイド・トロイド・面電流）の磁場を積分なしで求められる。面電流を挟む磁場の接線成分は $\mu_0\bm{K}\times\bm{n}$ だけ跳ぶ。

ベクトルポテンシャル $\bm{A}$ には、ゲージ変換 $\bm{A}\to\bm{A}+\nabla\Lambda$ の自由度がある。Coulomb ゲージ $\nabla\cdot\bm{A}=0$ をとると、方程式は3つの Poisson 方程式 $\nabla^2\bm{A}=-\mu_0\bm{J}$ になる。磁束は $\oint\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}$ で与えられる。ソレノイドの外のように磁場が 0 の所でも、$\bm{A}$ は 0 にならないことがある。

小さな電流ループの遠方の場は、磁気モーメント $\bm{\mu}=I\bm{a}$ だけで決まる双極子の場で、電気双極子と同じ形をしている。磁気双極子が磁場から受ける作用は次の3つである。

• 一様な磁場からトルク $\bm{\mu}\times\bm{B}$ を受ける。
• エネルギーは $-\bm{\mu}\cdot\bm{B}$ である。
• 非一様な磁場では力 $\nabla(\bm{\mu}\cdot\bm{B})$ を受ける。

軌道運動する電荷の磁気モーメントは角運動量に比例し、電子では Bohr 磁子 $e\hbar/(2m_{\mathrm e})$ が単位になる。

第6章では、物質の中の原子の磁気モーメントを単位体積あたりに足し合わせた磁化 $\bm{M}$ を導入する。§5.5 の双極子のベクトルポテンシャルを足し合わせると、磁化は磁化電流 $\nabla\times\bm{M}$ と同じ磁場を作り、第4章で分極を分極電荷に置き換えたのと同じ形の議論になる。第7章では、ループを貫く磁束 $\Phi=\oint\bm{A}\cdot\mathrm{d}\bm{l}$ が時間変化すると起電力が生じることを扱い、自己インダクタンスや磁場のエネルギーを、この章の磁場とベクトルポテンシャルから計算する。第8章では、確認テスト 5.3-5 で見た Ampère の法則と電荷の保存の食い違いを、変位電流を加えて解消する。