運動量保存と Maxwell 応力テンソル

電磁気学入門　第8章 §8.4　★★★ 電荷に働く力を場だけで書くと、運動量密度 $\varepsilon_0\bm{E}\times\bm{B}$ と運動量の流れ（応力テンソル）の保存則になる

場は運動量を持つ

§8.3 ではエネルギーについて、電荷の力学的エネルギーと場のエネルギーの和が保存することを見た。運動量についても同じことを考える。

離れた2つの電荷が互いに及ぼす電磁的な力は、一般には作用・反作用の法則を満たさない。例えば、ある瞬間に一方の電荷がもう一方の位置につくる磁場はその電荷の速度と位置で決まり、2つの電荷に働く Lorentz 力は大きさが同じで向きが逆になるとは限らない。それでも全運動量が保存するためには、電荷の運動量の不足分を場が持っていなければならない。§8.3 と同じ方法で、Lorentz 力を場だけで書き直すと、その運動量の形が分かる。

力の密度を場で書く

電荷と電流が場から受ける力の密度（単位体積あたりの力）は

$$\bm{f}=\rho\bm{E}+\bm{J}\times\bm{B}\tag{8.31}$$

である。(8.6) と (8.9) で、源を場で置き換える。

$$\rho=\varepsilon_0\nabla\cdot\bm{E},\qquad \bm{J}=\frac{1}{\mu_0}\nabla\times\bm{B}-\varepsilon_0\frac{\partial \bm{E}}{\partial t}.$$

すると

$$\bm{f}=\varepsilon_0(\nabla\cdot\bm{E})\bm{E}+\frac{1}{\mu_0}(\nabla\times\bm{B})\times\bm{B}-\varepsilon_0\frac{\partial \bm{E}}{\partial t}\times\bm{B} .$$

最後の項は、積の微分と (8.8) を使って

$$\frac{\partial \bm{E}}{\partial t}\times\bm{B}=\frac{\partial }{\partial t}(\bm{E}\times\bm{B})-\bm{E}\times\frac{\partial \bm{B}}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}(\bm{E}\times\bm{B})+\bm{E}\times(\nabla\times\bm{E})$$

と書き換える。さらに $(\nabla\times\bm{B})\times\bm{B}=-\bm{B}\times(\nabla\times\bm{B})$ とする。電場と磁場の式の形をそろえるために、0 に等しい項 $\mu_0^{-1}(\nabla\cdot\bm{B})\bm{B}$ を足すと

$$\bm{f}=\varepsilon_0\bigl[(\nabla\cdot\bm{E})\bm{E}-\bm{E}\times(\nabla\times\bm{E})\bigr] +\frac{1}{\mu_0}\bigl[(\nabla\cdot\bm{B})\bm{B}-\bm{B}\times(\nabla\times\bm{B})\bigr]-\varepsilon_0\frac{\partial }{\partial t}(\bm{E}\times\bm{B})\tag{8.32}$$

となる。

括弧の中を発散の形に直す。第1章 §1.1 の $\epsilon_{kij}\epsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}$ を使うと、任意のベクトル場 $\bm{V}$ について

$$[\bm{V}\times(\nabla\times\bm{V})]_i=\epsilon_{ijk}V_j\epsilon_{klm}\partial_lV_m=(\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl})V_j\partial_lV_m =V_j\partial_iV_j-V_j\partial_jV_i =\frac12\partial_i(V^2)-(\bm{V}\cdot\nabla)V_i$$

となる（同じ添字について 1 から 3 まで和をとる）。したがって

$$(\nabla\cdot\bm{V})V_i-[\bm{V}\times(\nabla\times\bm{V})]_i=(\partial_jV_j)V_i+V_j\partial_jV_i-\frac12\partial_i(V^2) =\partial_j\Bigl(V_iV_j-\frac12\delta_{ij}V^2\Bigr).\tag{8.33}$$

(8.33) を電場と磁場のそれぞれに使い、$\varepsilon_0\bm{E}\times\bm{B}=\bm{S}/c^2$ に注意すると、(8.32) は

$$f_i=\partial_jT_{ij}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial S_i}{\partial t}\tag{8.35}$$

となる。

運動量保存則

証明

(8.37) は (8.35) を移項したものである。体積の中の電荷が受ける力の合計 $\int_V\bm{f}\,\mathrm{d} V$ は、Newton の運動方程式により $\mathrm{d}\bm{P}_{\mathrm{mech}}/\mathrm{d} t$ に等しい。(8.35) を体積で積分し、応力の項に発散定理を使えば (8.38) を得る。発散定理は、$i$ ごとにベクトル $(T_{i1},T_{i2},T_{i3})$ へ適用する。

(8.37) をエネルギーの式 (8.27) と並べると、次のように対応している。

したがって $-T_{ij}$ は「運動量の $i$ 成分が、単位時間に、ある方向の単位面積を通って流れる量」を表す。その方向が添字 $j$ である。

(8.38) の右辺は、体積の外の場が表面を通して中へ及ぼす力として読める。外向き法線が $\bm{n}$ の面素に働く力は、$\mathrm{d} F_i=T_{ij}n_j\,\mathrm{d} S$ である。

運動量密度 $\bm{g}=\bm{S}/c^2$ とエネルギーの流れの関係は、静止質量を持たない粒子の関係 $p=E/c$ と同じ形をしている。エネルギー密度 $u$ が光速で進むとき、その流れは $S=cu$ である。その運動量密度は $g=u/c$ になる。

放射圧

平面波が物体の表面に垂直に当たると、場の運動量が物体に移り、物体は押される。これが放射圧である。$+z$ 向きに進む平面波では、電場と磁場はともに $z$ 軸に垂直である。$E_z=B_z=0$ だから

$$T_{zz}=-\frac{\varepsilon_0}{2}E^2-\frac{1}{2\mu_0}B^2=-u$$

である。

$-T_{zz}=u$ は、進む向きの運動量が、単位時間にその向きの単位面積を通って流れる量である。これは $c\cdot g=c\cdot u/c=u$ と一致する。光を完全に吸収する面では、流れ込んだ運動量がすべて面に移るので、面が受ける圧力は時間平均で $\langle u \rangle =\langle S \rangle /c$ である。完全に反射する面では、運動量の向きが逆になるので、圧力はその2倍の $2\langle S \rangle /c$ になる。

確認テスト

オリジナル

1. 8.4-1 運動量密度 $\bm{g}=\varepsilon_0\bm{E}\times\bm{B}$ の単位が $\mathrm{kg/(m^2\cdot s)}$（運動量／体積）であることを確かめよ。また、エネルギー $U$ を運ぶ光のパルスが壁に完全に吸収されたとき、壁が受け取る運動量の大きさを求めよ。
2. 8.4-2 出力 $1.0\,\mathrm W$ のレーザー光を鏡に垂直に当てて完全に反射させる。鏡が受ける力を求めよ。
3. 8.4-3 内部に一様な磁場 $B=10\,\mathrm T$ をつくる長いソレノイドがある。外部の磁場は無視できるとする。巻き線の単位面積が外向きに受ける力（磁気圧）を応力テンソルから求め、気圧（$1\,\mathrm{atm}=1.013\times10^{5}\,\mathrm{Pa}$）で表せ。
4. 8.4-4 任意の（滑らかな）ベクトル場 $\bm{V}$ について、恒等式 (8.33) を、$\bm{V}\times(\nabla\times\bm{V})$ を経由せず成分の計算で直接確かめよ。すなわち右辺 $\partial_j(V_iV_j-\frac12\delta_{ij}V^2)$ を展開し、左辺に一致することを示せ。