この章のまとめ

電磁気学入門　第8章 §8.5

(1) Maxwell 方程式

Ampère の法則は定常電流を前提に導かれたもので、電荷密度が時間変化する状況では連続の式と矛盾する。Gauss の法則が時間変化する場でも成り立つと仮定すると、$\bm{J}+\varepsilon_0\partial\bm{E}/\partial t$ が常に発散ゼロになることが分かる。この量を Ampère の法則の右辺に置いたものが Ampère–Maxwell の法則 (8.9) である。

こうして得た4本の Maxwell 方程式 (8.6)–(8.9) では、発散の2本が時間発展の2本と両立する制約になっている（定理 8.2）。方程式は電荷の保存を含んでいる。物質の中では、分極電流 $\partial\bm{P}/\partial t$ と磁化電流 $\nabla\times\bm{M}$ を繰り込んで、電束密度と磁場 H を使った形 (8.13) に書ける。

(2) ポテンシャルとゲージ

源を含まない2本は、ポテンシャル (8.16) を使うと自動的に満たされる。ポテンシャルにはゲージ変換 (8.17) の自由度がある。

• Coulomb ゲージ $\nabla\cdot\bm{A}=0$ を選ぶと、$\phi$ は瞬時の Coulomb 電位になる。
• Lorenz ゲージ (8.22) を選ぶと、4つのポテンシャルが同じ波動方程式に従う。

$$\Box\phi=\frac{\rho}{\varepsilon_0},\qquad \Box\bm{A}=\mu_0\bm{J} .$$

Lorenz ゲージへは常に移ることができ、移ったあとにも $\Box\Lambda=0$ の自由度が残る。

(3) 保存則

電荷に働く力がする仕事と力そのものを、Maxwell 方程式で場だけの式に書き直すと、2つの局所的な保存則が得られる。

• エネルギー：Poynting の定理 (8.27)。密度と流れは

$$u=\frac{\varepsilon_0}{2}E^2+\frac{1}{2\mu_0}B^2,\qquad \bm{S}=\frac{\bm{E}\times\bm{B}}{\mu_0}.$$

• 運動量：密度 $\bm{g}=\bm{S}/c^2$ と応力 $T_{ij}$ の保存則 (8.37)。

導線の Joule 熱のエネルギーが側面から流れ込むこと、2つの電荷の間の Coulomb 力が中間の面の圧力として読めること、光が物体を押すことは、いずれもこれらの保存則から導かれる。

(4) 次の章へ

第9章では、源の無い Maxwell 方程式から電磁波の波動方程式を導き、平面波の性質・物質中の伝播・境界での反射と屈折を調べる。そこでは §8.3 の Poynting ベクトルと §8.1 の境界条件 (8.14) を使う。

第10章では、Lorenz 条件と波動方程式 (8.24)、電荷の連続の式が4元ベクトルの式にまとまることを示す。エネルギー密度・Poynting ベクトル・応力テンソルは、エネルギー運動量テンソルにまとまる。第11章では、(8.24) を遅延ポテンシャルで解き、遠方へ流れ出る Poynting ベクトルの流束として放射電力を求める。