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基本量と誘導量

2026年10月15日7分で読めますAI生成教科書『基礎理論』第2章 単位と次元
目次
  1. SI の定義定数（2019年改定）
  2. 木下の層

AI 生成・木下が未勉強

次元解析入門　第2章 §2.2　★★★ 力学では M,L,T\mathsf{M},\mathsf{L},\mathsf{T} の3つ。流体の問題もすべてこの3つで足りる

面積は「長さ×長さ」で定義され、力は運動方程式 F=maF=ma によって「質量×長さ÷時間2^2」と結びつく。このように、定義や物理法則を通じて他の量から作られる量を誘導量と呼び、その単位を組立単位と呼ぶ。定義や法則で結びつけても最後まで他の量に還元できずに残る、互いに独立な量を基本量、その単位を基本単位と呼ぶ。

SI（国際単位系）の基本量は、長さ・質量・時間・電流・熱力学温度・物質量・光度の7つである。力学の問題だけを扱うなら長さ・質量・時間の3つで足り、熱を含むなら温度、電磁気を含むなら電流を加える。

定義 （title=定義：次元）

基本量を長さ L\mathsf{L}、質量 M\mathsf{M}、時間 T\mathsf{T} とするとき、物理量 QQ の単位が基本単位のべきの積kga mb sc\mathrm{kg}^{a}\,\mathrm{m}^{b}\,\mathrm{s}^{c} で書けるならば、

[ Q ]=MaLbTc\left[\,Q\,\right] = \mathsf{M}^{a}\mathsf{L}^{b}\mathsf{T}^{c}

と書き、これを QQ の次元と呼ぶ。指数の組 (a,b,c)(a,b,c) を次元の指数と呼ぶ。a=b=c=0a=b=c=0 のとき QQ は無次元であるという。

次元とは、基本単位を取り替えたときに QQ の数値が何倍になるかを表す記号である。長さの単位を 1/λL1/\lambda_L 倍、質量の単位を 1/λM1/\lambda_M 倍、時間の単位を 1/λT1/\lambda_T 倍にすると、QQ の数値は λMaλLbλTc\lambda_M^{a}\lambda_L^{b}\lambda_T^{c} 倍になる。無次元量の数値は、どの単位系で測っても変わらない。これが無次元量の最も大事な性質である。

力学と流体でよく出てくる量の次元を表にしておく。どれも「定義式か物理法則を1つ書けば次元が出る」ことを確かめておくとよい。

物理量次元次元が出る式
速さ vvLT−1\mathsf{L}\mathsf{T}^{-1}v=dx/dtv=\mathrm{d} x/\mathrm{d} t
加速度、重力加速度 ggLT−2\mathsf{L}\mathsf{T}^{-2}a=dv/dta=\mathrm{d} v/\mathrm{d} t
力 FFMLT−2\mathsf{M}\mathsf{L}\mathsf{T}^{-2}F=maF=ma
エネルギー EEML2T−2\mathsf{M}\mathsf{L}^{2}\mathsf{T}^{-2}E=FxE=Fx
圧力・応力 P, σP,\ \sigmaML−1T−2\mathsf{M}\mathsf{L}^{-1}\mathsf{T}^{-2}力÷面積
密度 ρ\rhoML−3\mathsf{M}\mathsf{L}^{-3}質量÷体積
ばね定数 kkMT−2\mathsf{M}\mathsf{T}^{-2}F=−kxF=-kx
抵抗係数 aa（速度に比例する抵抗）MT−1\mathsf{M}\mathsf{T}^{-1}F=−ax˙F=-a\dot x
線密度 λ\lambdaML−1\mathsf{M}\mathsf{L}^{-1}質量÷長さ
表面張力 γ\gammaMT−2\mathsf{M}\mathsf{T}^{-2}力÷長さ
粘性係数 μ\muML−1T−1\mathsf{M}\mathsf{L}^{-1}\mathsf{T}^{-1}τ=μ du/dy\tau=\mu\,\mathrm{d} u/\mathrm{d} y（第5.2節）
動粘性係数 ν=μ/ρ\nu=\mu/\rhoL2T−1\mathsf{L}^{2}\mathsf{T}^{-1}μ\mu と ρ\rho の比
体積流量 QQL3T−1\mathsf{L}^{3}\mathsf{T}^{-1}体積÷時間
振動数 ff、角振動数 ω\omegaT−1\mathsf{T}^{-1}回数÷時間（角度は無次元）
プランク定数 h, ℏh,\ \hbarML2T−1\mathsf{M}\mathsf{L}^{2}\mathsf{T}^{-1}E=hνE=h\nu

title=角度は無次元

角度（ラジアン）は「弧の長さ÷半径」で定義されるので、長さどうしの比であり無次元である。振り子の振幅 θ0\theta_0 のような角度は、そのまま1つの無次元量として扱う（第4.1節）。

SI の定義定数（2019年改定）

★★　5つの定数を有効数字3桁・単位つきで書けるようにしておく

2019年5月20日から、SI の7つの基本単位は、7つの物理定数の値を誤差のない定義値として固定し、そこから逆に決める方式に変わった。たとえば 1 m は「真空中の光速 cc の数値を、単位 m/s でちょうど 299792458 とする」ことで決まる。1 s を決めるセシウムの周波数と組み合わせれば、1 m は「光が真空中を 1/2997924581/299792458 秒に進む距離」になる。1 kg は、かつては国際キログラム原器という金属の塊の質量だったが、プランク定数 hh の値を固定する方式に改められた。

表 2.1　SI の7つの定義定数。有効数字3桁で書いた値。
定数定義値（誤差なし）有効数字3桁決める単位
セシウム133の超微細遷移周波数 ΔνCs\Delta\nu_\mathrm{Cs}9192631770 Hz9192631770\ \mathrm{Hz}9.19×109 Hz9.19\times10^{9}\ \mathrm{Hz}s
真空中の光速 cc299792458 m s−1299792458\ \mathrm{m\,s^{-1}}3.00×108 m s−13.00\times10^{8}\ \mathrm{m\,s^{-1}}m
プランク定数 hh6.62607015×10−34 J s6.62607015\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}6.63×10−34 J s6.63\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}kg
電気素量 ee1.602176634×10−19 C1.602176634\times10^{-19}\ \mathrm{C}1.60×10−19 C1.60\times10^{-19}\ \mathrm{C}A
ボルツマン定数 kBk_\mathrm{B}1.380649×10−23 J K−11.380649\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}1.38×10−23 J K−11.38\times10^{-23}\ \mathrm{J\,K^{-1}}K
アボガドロ定数 NAN_\mathrm{A}6.02214076×1023 mol−16.02214076\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}6.02×1023 mol−16.02\times10^{23}\ \mathrm{mol^{-1}}mol
視感効果度 KcdK_\mathrm{cd}（540 THz の光）683 lm W−1683\ \mathrm{lm\,W^{-1}}683 lm W−1683\ \mathrm{lm\,W^{-1}}cd

木下の勉強ステータス

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AI（Claude）が書いた教材を、木下が勉強しながら公開しています。式と数値は検算していますが、誤りが残っているかもしれません。誤りのご指摘・削除のご依頼をいただければ直します。 連絡先：support@tecktom.com

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