単振り子の周期

次元解析入門　第4章 §4.1　★★ 質量が結果から消える論法は、第4.4節の流出速度でもそのまま使う

長さ $\ell$ の糸に質量 $m$ のおもりをつけ、振幅（最大の振れ角）$\theta_0$ で振らせる。周期 $T$ に関係しうる量は、$\ell$、$m$、重力加速度 $g$、$\theta_0$ である。

$T,m,g$ の列から作る $3\times3$ 小行列式は $1\neq0$ なので階数は3、無次元量は $5-3=2$ 個である。$\theta_0$ はそれ自体が無次元なので $\Pi_2=\theta_0$ とし、$T$ を含む $\Pi_1 = T\,\ell^{x}m^{y}g^{z}$ を作る。$\mathsf{M}:y=0$、$\mathsf{L}:x+z=0$、$\mathsf{T}:1-2z=0$ より$z=\tfrac12,\ x=-\tfrac12,\ y=0$ で、

$$\Pi_1 = T\sqrt{\frac{g}{\ell}},\qquad T = \sqrt{\frac{\ell}{g}}\;f(\theta_0)$$

を得る。

分かったこと

• 周期は質量によらない。質量の次元 $\mathsf{M}$ を持つ量は $m$ だけなので、$\mathsf{M}$ の指数を0にする条件が$m$ の指数 $y$ を0にしてしまう。$\mathsf{M}$ を打ち消す相手がいない量は、無次元量に入れない。第4.4節の流出速度で密度 $\rho$ が消えるのも同じ理由である。
• 周期は $\sqrt{\ell/g}$ に比例する（振幅を固定したとき）。糸を4倍にすれば周期は2倍になる。
• 振幅への依存は関数 $f$ に押し込まれ、次元解析では決まらない。

関数 $f$ は運動方程式 $\ddot\theta=-(g/\ell)\sin\theta$ を解いて決まり、第1種完全楕円積分 $K$ を使って $f(\theta_0)=4K(\sin^2(\theta_0/2))$ となる（$K(m)=\int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\varphi/\sqrt{1-m\sin^2\varphi}$）。$\theta_0\to0$ で $f\to2\pi$ となり、よく知られた $T=2\pi\sqrt{\ell/g}$ に戻る。振幅10°では $2\pi$ からのずれは0.19%、90°では $f=7.42$ である（図 4.1）。

図 4.1　単振り子の $T/\sqrt{\ell/g}=f(\theta_0)$。点線が楕円積分による厳密値、実線が小振幅の値 $2\pi$。橙の点は $\theta_0=30^\circ,60^\circ,90^\circ$ での値 $6.39,\ 6.74,\ 7.42$。