小孔から流出する液体の速さ

(1) 各量の次元は $\left[\,v\,\right]=\mathsf{L}\mathsf{T}^{-1}$、$\left[\,\Delta h\,\right]=\mathsf{L}$、$\left[\,\rho\,\right]=\mathsf{M}\mathsf{L}^{-3}$、$\left[\,g\,\right]=\mathsf{L}\mathsf{T}^{-2}$ なので、

$$\begin{array}{c|cccc} & v & \Delta h & \rho & g\\\hline M & 0 & 0 & 1 & 0\\ L & 1 & 1 & -3 & 1\\ T & -1 & 0 & 0 & -2 \end{array}$$

(2) $\Delta h,\rho,g$ の列の小行列式は$\det\begin{pmatrix}0&1&0\\1&-3&1\\0&0&-2\end{pmatrix}=2\neq0$ なので階数は3であり、$\Pi$ 定理より独立な無次元量は $4-3=1$ 個である。

$\Pi=v^{a}(\Delta h)^{b}\rho^{c}g^{d}$ とおくと、無次元の条件は

$$M:\ c=0,\qquad L:\ a+b-3c+d=0,\qquad T:\ -a-2d=0 .$$

$a=2$ とすると $d=-1$、$b=-1$、$c=0$ となり、

$$\Pi = \frac{v^2}{g\,\Delta h}.$$

無次元量が1個だけなので、物理法則 $F(\Pi)=0$ は $\Pi$ が定数であることを意味し、

$$v = C\sqrt{g(H-h)}\qquad(C\text{ は無次元の定数})$$

となる。

考察。

• 流出速度は液体の密度によらない。4つの量のうち質量の次元を持つのは $\rho$ だけなので、$M$ の指数の条件が $c=0$ を強制する。水銀でも水でも、同じ高さからは同じ速さで出てくる。
• 流出速度は液面からの深さの平方根に比例する。深さを4倍にすると速さは2倍になる。
• 定数 $C$ は次元解析では決まらない。粘性を無視したベルヌーイの定理（液面と小孔でエネルギー保存）$\tfrac12\rho v^2=\rho g\Delta h$ から $C=\sqrt2$、つまり $v=\sqrt{2g(H-h)}$ となる（トリチェリの定理）。これは高さ $H-h$ から自由落下した物体の速さと同じであり、密度によらないことも自由落下と同じ理由（重力も慣性も質量に比例する）で理解できる。

検算：$\left[\,v^2/(g\Delta h)\,\right]=\mathsf{L}^2\mathsf{T}^{-2}/(\mathsf{L}\mathsf{T}^{-2}\cdot\mathsf{L})=1$。$\Delta h=0.5$ m なら $v\approx3.13$ m/s。