方程式をほとんど使わずに大きな結論を出す例

次元解析入門　第4章 §4.5　★ 次元解析がどう使われてきたかの例。この方法の力がよく分かる

爆発のエネルギーを写真から見積もる

1945年、アメリカは最初の原爆実験を行い、のちに火球が広がっていく様子の連続写真を公開した。爆発のエネルギーは機密だったが、イギリスの物理学者 G. I. テイラーは1950年に、写真だけからそれを見積もる論文を発表した。

爆発の直後、火球の半径 $R$ は、時刻 $t$、放出されたエネルギー $E$、まわりの空気の密度 $\rho$ で決まると考える（火球の中の圧力は大気圧よりはるかに大きいので、大気圧は関係しないとする）。4つの量 $R,E,t,\rho$ の次元は $\mathsf{L},\ \mathsf{M}\mathsf{L}^2\mathsf{T}^{-2},\ \mathsf{T},\ \mathsf{M}\mathsf{L}^{-3}$、次元行列の階数は3なので、無次元量は1個で、

$$\Pi = \frac{\rho R^5}{E t^2},\qquad R = C\left(\frac{E t^2}{\rho}\right)^{1/5}$$

となる。半径は時刻の $2/5$ 乗で広がり、写真の $R$ と $t$ を読めば $E\approx\rho R^5/t^2$ が分かる。$t=25$ ms で $R\approx140$ m と読むと、$\rho=1.2\ \mathrm{kg/m^3}$、$C=1$ として $E\approx1\times10^{14}$ J、TNT 火薬に換算して約25キロトンになる。テイラーが流体の方程式から $C$ を求めて出した見積もりは約17キロトン、後に公表された値は約20キロトンとされ、次元解析だけで桁まで正しい値が出ている。

原子の大きさ

水素原子の大きさを決める量として、電子の質量 $m$、電子と陽子の間のクーロン力の強さ$e'^2=e^2/(4\pi\varepsilon_0)$（次元 $\mathsf{M}\mathsf{L}^3\mathsf{T}^{-2}$。$e'^2/r^2$ が力になる）を考える。この2つだけでは長さを作れない（$m$ だけが $\mathsf{M}$ を持ち、$e'^2$ だけでは $\mathsf{T}$ を消せない）。古典力学の範囲では、原子に決まった大きさがないことになる。

量子力学のプランク定数 $\hbar$（次元 $\mathsf{M}\mathsf{L}^2\mathsf{T}^{-1}$）を加えると、量は $a,\hbar,m,e'^2$ の4つ、階数3で無次元量が1個でき、

$$a = C\,\frac{\hbar^2}{m e'^2}$$

となる。$C=1$ とおいた値 $\hbar^2/(me'^2)=0.529$ Å はボーア半径そのものであり、エネルギーの目安 $e'^2/a=27.2$ eV は水素原子のイオン化エネルギー 13.6 eV の2倍にあたる。原子に大きさがあることは、量子力学（$\hbar$）が必要であることの次元からの証拠になっている。