減衰のある振動：無次元量の物理的な意味

次元解析入門　第4章 §4.3　★★ 無次元量を「何と何の比か」と読む論法は、実験の考察で何度も使う

質量 $m$ の物体がばね（弾性力 $-kx$）と速度に比例する抵抗（$-a\dot x$）を受けて振動する。周期 $\tau$ の形を次元解析で調べる。第3章の例のとおり、量は $m,k,a,\tau$ の4つ、次元行列の階数は2なので、無次元量は2個である。

求めたい $\tau$ は $\Pi_1$ にだけ入れ、ばね弾性に対する抵抗の効果を表す量は $a,m,k$ だけで $\Pi_2$ に作る。

$$\Pi_1 = \tau\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad \Pi_2 = \frac{a}{\sqrt{mk}},\qquad \tau = \sqrt{\frac{m}{k}}\;\phi\!\left(\frac{a}{\sqrt{mk}}\right).$$

無次元量の物理的な意味

振動の時間スケールを $\tau$、振幅の大きさを $x$ とすると、慣性力 $m\ddot x$ はおよそ $mx/\tau^2$、ばね弾性力は $kx$、抵抗力 $a\dot x$ はおよそ $ax/\tau$ の大きさを持つ。これらの比をとると

$$\Pi_1^2 = \frac{k\tau^2}{m} = \frac{kx}{mx/\tau^2} = \frac{\text{ばね弾性力}}{\text{慣性力}},\qquad \Pi_2 = \frac{a x/\tau}{kx}\bigg|_{\tau=\sqrt{m/k}} = \frac{\text{抵抗力}}{\text{ばね弾性力}}$$

となる。$\Pi_1$ は単振動の特徴（ばね弾性力と慣性力のつり合い）を、$\Pi_2$ はばね弾性力に対する抵抗の強さを表す。$\Pi_2\ll1$（$a\ll\sqrt{mk}$）なら抵抗は無視でき、$\Pi_1$ だけで決まる単振動、すなわち $\tau\propto\sqrt{m/k}$ になると予想できる。

運動方程式との対応

運動方程式 $m\ddot x=-kx-a\dot x$ を $\ddot x+2\gamma\dot x+\omega_0^2x=0$ と書くと、ばねだけのときの角振動数は $\omega_0=\sqrt{k/m}$（周期の逆数の目安）、減衰率は $\gamma=a/(2m)$（寿命の逆数）であり、

$$\frac{\gamma}{\omega_0} = \frac{a}{2\sqrt{mk}} = \frac{\Pi_2}{2}$$

となる。$\Pi_2$ は「減衰の速さ」と「振動の速さ」の比にほかならない。$\gamma<\omega_0$ のとき解は$x=A\mathrm{e}^{-\gamma t}\cos(\omega t+\varphi)$、$\omega=\omega_0\sqrt{1-(\Pi_2/2)^2}$ なので、次元解析で残った関数は

$$\phi(\Pi_2) = \frac{2\pi}{\sqrt{1-\Pi_2^2/4}}$$

と決まる。$\Pi_2=2$ が臨界減衰で、これより大きいと振動せずに減衰する（過減衰）。

第2.4節で述べたように、「抵抗 $a$ が大きい」という言い方には意味がなく、意味を持つのは $\gamma\gg\omega_0$、つまり $\Pi_2\gg1$ という比較である。